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1、第三节第三节向量值函数在定向曲线上的积分向量值函数在定向曲线上的积分（第二类曲线积分）（第二类曲线积分）微积分ch本节要点本节要点一、第二类曲线积分的概念一、第二类曲线积分的概念二、第二类曲线积分的计算方法二、第二类曲线积分的计算方法微积分ch 在第一节中在第一节中, 讨论的是对弧长的曲线积分讨论的是对弧长的曲线积分, 这是一类这是一类 1.定向曲线及其切向量定向曲线及其切向量一、第二类曲线积分的概念一、第二类曲线积分的概念无方向的曲线积分无方向的曲线积分. 例如曲线的弧长、转动惯量等等例如曲线的弧长、转动惯量等等, 均与方向无关均与方向无关. 在这一节中在这一节中, 我们讨论与我们讨论与“方
2、向方向”有有关的关的曲线积分曲线积分.微积分ch 若曲线若曲线 由参数方程给出由参数方程给出:注意到注意到 对应曲线的起点对应曲线的起点, 对应曲线的终点对应曲线的终点. 给定一条曲线给定一条曲线, 并规定了走向并规定了走向, 如此曲线称为如此曲线称为定向曲定向曲线线. 当起点为当起点为 终点为终点为 一般用一般用 表示该曲表示该曲线线弧弧. 微积分ch 定向曲线定向曲线 的参数方程又可用向量方程的方式的参数方程又可用向量方程的方式 设曲线设曲线 是光滑的是光滑的, 在每一点切线有两个方向在每一点切线有两个方向,来表示来表示:规定规定: 定向光滑曲线上各点处的切定向光滑曲线上各点处的切向量的方
3、向与曲线的走向一致向量的方向与曲线的走向一致.微积分ch 设光滑曲线设光滑曲线 由参数方程由参数方程给出给出, 若参数若参数 从小变大从小变大确定了曲线的走向确定了曲线的走向. 则对任意增量则对任意增量 当当 时时, 点点与曲线的方向一致与曲线的方向一致: 若若 向量向量在点在点前方前方, 从而向量从而向量仍与曲线的方向一致仍与曲线的方向一致. 因而切向量为因而切向量为微积分ch 同理同理, 若参数若参数 从大到小确定了曲线的走向从大到小确定了曲线的走向, 则切向量则切向量为为微积分ch故故, 单位切向量为单位切向量为例例1 设曲线设曲线求任意一点处的单位求任意一点处的单位 切向量切向量.解解
4、 在任意点处的切向量为在任意点处的切向量为微积分ch 2.变力沿曲线的作功问题变力沿曲线的作功问题的作用的作用, 求在移动过程中求在移动过程中, 力力 所作的功所作的功. 设一质点从点设一质点从点 沿光滑的平面曲线沿光滑的平面曲线 移动到点移动到点 在移在移分析分析 若力若力 是常力是常力, 曲线为直线曲线为直线, 则功则功 为为若若 是变力是变力, 运动轨迹为曲运动轨迹为曲动过程中动过程中, 质点受到力质点受到力线弧线弧 则用则用 上的点上的点, 将将微积分ch于是，于是，在弧段上任取一点在弧段上任取一点 由假设力由假设力 是连续的是连续的, 故力故力是光滑的是光滑的, 故可近似地将弧段视为
5、长度为故可近似地将弧段视为长度为 的直线段的直线段,曲线弧分成曲线弧分成 个小弧段个小弧段, 对小弧段对小弧段 由条件由条件, 曲曲线线在小弧段上作的功近似为在小弧段上作的功近似为微积分ch抽去具体的物理意义抽去具体的物理意义, 即得到下述概念即得到下述概念.其中其中 表示定向曲线在点表示定向曲线在点 处的单位切向量处的单位切向量.力沿定向曲线弧力沿定向曲线弧 所作的功所作的功, 即即令令 则当则当 时时, 上式的极限即为变上式的极限即为变第一类曲线积分第一类曲线积分. 即即又注意到又注意到, 上式右端的极限为数量值函数在曲线上式右端的极限为数量值函数在曲线 上的上的微积分ch 3.第二类曲线
6、积分的定义第二类曲线积分的定义定义定义 设设 是是 平面上一条光滑的定向曲线弧平面上一条光滑的定向曲线弧, 向量向量在在 上有界上有界, 是定向曲线是定向曲线 在点在点 处的单位处的单位值函数值函数位切向量位切向量, 如果积分如果积分微积分ch即即:存在存在, 则称此积分为向量值函数则称此积分为向量值函数 在定向曲线在定向曲线上的积分上的积分, 记为记为微积分ch注注 向量值函数在定向曲线上的积分又称为向量值函数在定向曲线上的积分又称为第二类曲线第二类曲线积分积分. 也称为对也称为对坐标的曲线积分坐标的曲线积分.微积分ch 4.第二类曲线积分的积分表达式第二类曲线积分的积分表达式 设向量值函数
7、设向量值函数则则曲线曲线 在点在点 处的单位切向量为处的单位切向量为 即即 微积分ch若记若记由此得到第二类曲线积分的另一种表达式由此得到第二类曲线积分的另一种表达式上式又经常表达为上式又经常表达为微积分ch 在积分表达式中在积分表达式中, 称为称为定向弧元素定向弧元素: 由于由于曲线积分曲线积分. 若若 是封闭曲线是封闭曲线, 则积分经常表达为则积分经常表达为故记号故记号 分别称为定向弧分别称为定向弧 的的投影元素投影元素, 又称为定向又称为定向弧元素弧元素 的的坐标坐标, 因此第二类曲线积分又称为对因此第二类曲线积分又称为对坐标坐标的的微积分ch 5.积分性质积分性质一定存在一定存在, 且
8、且若若 在分段光滑曲线在分段光滑曲线 上连续上连续, 则曲线积分则曲线积分微积分ch若若 是是 的反向曲线的反向曲线, 则则即即: 改变曲线方向则积分变号改变曲线方向则积分变号.微积分ch二、第二类曲线积分的计算方法二、第二类曲线积分的计算方法 第二类曲线积分可通过下面的转换方法转换成定积分第二类曲线积分可通过下面的转换方法转换成定积分 若平面定向曲线若平面定向曲线 的方程为的方程为函数函数 在在 上连续上连续, 则则加以计算加以计算.微积分ch当当 时时, 设设 是定向曲线弧在点是定向曲线弧在点 处的单位切处的单位切向量向量, 则由则由微积分ch故故,又因又因微积分ch故故 而当而当 时时,
9、微积分ch同样有同样有由此得到由此得到:由此得到由此得到, 无论无论 的大小关系如何的大小关系如何, 总有总有微积分ch特殊地特殊地, 若平面曲线由方程若平面曲线由方程 则则微积分ch 设向量函数设向量函数 空间定向曲线空间定向曲线为曲线在点为曲线在点 处的单位切向量处的单位切向量, 则积分则积分称为向量值函数在空间曲线称为向量值函数在空间曲线 上的上的第二类曲线积分第二类曲线积分（又（又 平行地可以定义三元向量值函数在空间定向曲线平行地可以定义三元向量值函数在空间定向曲线 上上的第二类曲线积分的第二类曲线积分.称为称为对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分）.微积分ch若若:则则,微积分ch 对空
10、间曲线对空间曲线, 若曲线方程为若曲线方程为则相应的积分公式为则相应的积分公式为微积分ch微积分ch例例1 求求其中其中 自自 到到 的定向曲线弧的定向曲线弧.解解微积分ch例例2 求求解解 将将 分成两段分成两段 和和自自 到到 的折线段的折线段.其中其中 则则微积分ch所以所以微积分ch例例3 求求解解 的方程的方程: 则则的直线段的直线段.为从为从 到到 微积分ch微积分ch例例4 求求其中其中 为从为从 到到解解 积分曲线为积分曲线为 故故的直线段的直线段.微积分ch例例5 求求其中其中 自自 到到 的定向曲线弧的定向曲线弧.解解 的参数方程为的参数方程为所以所以微积分ch解解 例例6
11、 求作用力求作用力沿沿 轴自轴自 到到 再沿直线到再沿直线到沿沿 自自 到到沿下述路径所作的功沿下述路径所作的功,微积分ch微积分ch而在曲线而在曲线 上上, 有有例例7 由由 确定一力场确定一力场, 质点沿柱面质点沿柱面与平面与平面 的交线从的交线从解解 由第二类曲线积分的物理意义由第二类曲线积分的物理意义, 得场力所作的功得场力所作的功移动到点移动到点求场力作的功求场力作的功.为为微积分ch微积分ch例例8 试把第二类曲线积分试把第二类曲线积分解解 切向量为切向量为 单位切向量为单位切向量为故上面的积分为故上面的积分为化为对弧长的曲线积分化为对弧长的曲线积分, 其中其中 为曲线为曲线 相应
12、于相应于 从从0到到1的弧段的弧段.微积分ch微积分ch例例9 求求其中其中 为从为从解解 线段线段 的参数方程为的参数方程为相应的积分为相应的积分为 的线段的线段.到到 微积分ch微积分ch解解 线段的参数方程线段的参数方程例例10 求求为为 的一条折线的一条折线.其中其中微积分ch微积分ch例例11 计算积分计算积分中中 为圆柱面为圆柱面的交线的交线. 从从 轴正向看取逆时针方向轴正向看取逆时针方向.解解 将曲线方程化为参数方程将曲线方程化为参数方程:由积分公式由积分公式, 得得其其与与微积分ch微积分ch微积分ch例例12 计算曲线积分计算曲线积分其中其中 为连为连 及及解解 经圆弧经圆弧的那一段的那一段.微积分ch微积分ch例例13 求求1.2.3. 从从 再沿再沿其中其中 微积分ch解解 曲线为两线段连接而成的曲线为两线段连接而成的, 故故微积分ch 上例中上例中, 函数在两个定点沿不同曲线的积分值相同函数在两个定点沿不同曲线的积分值相同, 如如果令果令则有则有这是否能成为一般的判定条件这是否能成为一般的判定条件? 在下一节中我们将全面在下一节中我们将全面讨论这个问题讨论这个问题.微积分ch微积分ch
