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1、第第2 2讲点、直线、平面之间的位置关系讲点、直线、平面之间的位置关系高考导航高考导航热点突破热点突破备选例题备选例题阅卷评析阅卷评析真题体验真题体验1.(1.(20182018全国全国卷卷, ,文文9 9) )在正方体在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,E,E为棱为棱CCCC1 1的中点的中点, ,则异面直则异面直线线AEAE与与CDCD所成角的正切值为所成角的正切值为( ( ) )C C高考导航高考导航 演真题演真题明备考明备考C C3.(3.(20182018全国全国卷卷, ,文文1616) )已知圆锥的顶点为已知圆锥的顶点为S,S,母线母线S
2、A,SBSA,SB互相垂直互相垂直,SA,SA与圆锥底与圆锥底面所成角为面所成角为30,30,若若SABSAB的面积为的面积为8,8,则该圆锥的体积为则该圆锥的体积为.答案答案: :884.4.(2018(2018全国全国卷卷, ,文文18)18)如图如图, ,在平行四边形在平行四边形ABCMABCM中中,AB=AC=3,ACM=90.,AB=AC=3,ACM=90.以以ACAC为折痕将为折痕将ACMACM折起折起, ,使点使点M M到达点到达点D D的位置的位置, ,且且ABDA.ABDA.(1)(1)证明证明: :平面平面ACDACD平面平面ABC;ABC;(1)(1)证明证明: :由已知
3、可得由已知可得,BAC=90,BAC=90,即即BAAC.BAAC.又又BAAD,BAAD,所以所以ABAB平面平面ACD.ACD.又又ABAB 平面平面ABC,ABC,所以平面所以平面ACDACD平面平面ABC.ABC.(2)(2)在线段在线段AMAM上是否存在点上是否存在点P,P,使得使得MCMC平面平面PBD?PBD?说明理由说明理由. .(2)(2)解解: :当当P P为为AMAM的中点时的中点时,MC,MC平面平面PBD.PBD.证明如下证明如下: :连接连接ACAC交交BDBD于于O.O.因为因为ABCDABCD为矩形为矩形, ,所以所以O O为为ACAC的中点的中点. .连接连接
4、OP,OP,因为因为P P为为AMAM的中点的中点, ,所以所以MCOP.MCOP.又又MCMC 平面平面PBD,OPPBD,OP 平面平面PBD,PBD,所以所以MCMC平面平面PBD.PBD.考情分析考情分析1.1.考查角度考查角度(1)(1)线、面位置关系的判断线、面位置关系的判断; ;(2)(2)异面直线所成的角异面直线所成的角; ;(3)(3)直线与平面所成的角直线与平面所成的角; ;(4)(4)空间平行、垂直关系的证明空间平行、垂直关系的证明; ;(5)(5)折叠和探究问题折叠和探究问题. .2.2.题型及难易度题型及难易度选择题、填空题、解答题选择题、填空题、解答题, ,中档题为
5、主中档题为主. .热点突破热点突破 剖典例剖典例促迁移促迁移热点一热点一空间线、面的位置关系空间线、面的位置关系考向考向1 1空间线、面位置关系的判断空间线、面位置关系的判断【例例1 1】 (2018(2018湖南省湘东五校联考湖南省湘东五校联考) )已知直线已知直线m,l,m,l,平面平面,且且m,lm,l ,给出下列命题给出下列命题: :若若,则则ml;ml;若若,则则ml;ml;若若ml,ml,则则.其中正确的命题是其中正确的命题是( () )(A)(A)(B)(B)(C)(C)(D)(D)解析解析: :对于对于,若若,m,l,m,l ,则则ml,ml,故故正确正确. .对于对于,若若,
6、则直线则直线m m与与l l可能异面、平行或相交可能异面、平行或相交, ,故故错误错误. .对于对于,若若ml,m,ml,m,则则l,l,又又l l ,所以所以,故故正确正确, ,故选故选D.D.方法技巧方法技巧(1)(1)空间线面位置关系判断的常用方法空间线面位置关系判断的常用方法:根据空间线面平行、垂直关系的根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题判定定理和性质定理逐项判断来解决问题; ;必要时可以借助空间几何模型必要时可以借助空间几何模型, ,如从长方体、四面体等模型中观察线面如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系位置关系, ,并结合有关定理来进行判断并结合有
7、关定理来进行判断. .(2)(2)求异面直线所成的角常用方法是平移法求异面直线所成的角常用方法是平移法, ,平移方法一般有三种类型平移方法一般有三种类型:利用图中已有的平行线平移利用图中已有的平行线平移; ;过特殊点过特殊点( (线段的端点或中点线段的端点或中点) )作平行线平移作平行线平移; ;补形平移补形平移. .热点训练热点训练1:1:( (20172017全国全国卷卷) )如图如图, ,在下列四个正方体中在下列四个正方体中,A,B,A,B为正方体的两个为正方体的两个顶点顶点,M,N,Q,M,N,Q为所在棱的中点为所在棱的中点, ,则在这四个正方体中则在这四个正方体中, ,直线直线ABA
8、B与平面与平面MNQMNQ不平行的不平行的是是( () )热点二热点二 线面平行、垂直的证明线面平行、垂直的证明【例例3 3】 ( (20182018石石家家庄庄市市质质检检一一) )如如图图, ,已已知知四四棱棱锥锥P-ABCD,P-ABCD,底底面面ABCDABCD为为正正方方形形, ,且且PAPA底底面面ABCD,ABCD,过过ABAB的的平平面面ABFEABFE与与侧侧面面PCDPCD的的交交线线为为EF,EF,且且满满足足S SPEFPEF S S四边形四边形CDEFCDEF=13.=13.(1)(1)证明证明:PB:PB平面平面ACE;ACE;(1)(1)证明证明: :由题知四边形
9、由题知四边形ABCDABCD为正方形为正方形, ,所以所以ABCD,ABCD,因为因为CDCD 平面平面PCD,ABPCD,AB 平面平面PCD,PCD,所以所以ABAB平面平面PCD.PCD.又又ABAB 平面平面ABFE,ABFE,平面平面ABFEABFE平面平面PCD=EF,PCD=EF,所以所以EFAB,EFAB,所以所以EFCD.EFCD.由由S SPEFPEFSS四边形四边形CDEFCDEF=13=13知知E,FE,F分别为分别为PD,PCPD,PC的中点的中点. .如图如图, ,连接连接BDBD交交ACAC于点于点G,G,则则G G为为BDBD的中点的中点, ,连接连接EG,EG
10、,则则EFPB.EFPB.又又EGEG 平面平面ACE,PBACE,PB 平面平面ACE,ACE,所以所以PBPB平面平面ACE.ACE.(2)(2)当当PA=2AD=2PA=2AD=2时时, ,求点求点F F到平面到平面ACEACE的距离的距离. .方法技巧方法技巧(1)(1)线面平行及线面垂直的证明方法线面平行及线面垂直的证明方法: :要证线面平行要证线面平行, ,主要有两个途径主要有两个途径: :一是证已知直线与平面内的某直线平行一是证已知直线与平面内的某直线平行; ;二是二是证过已知直线的平面与已知平面平行证过已知直线的平面与已知平面平行. .在这里转化思想在平行关系上起着重要的在这里
11、转化思想在平行关系上起着重要的作用作用, ,在寻求平行关系上在寻求平行关系上, ,利用中位线、平行四边形等是非常常见的方法利用中位线、平行四边形等是非常常见的方法; ;要证线面垂直要证线面垂直, ,关键是在这个平面内能找出两条相交直线和已知直线垂直关键是在这个平面内能找出两条相交直线和已知直线垂直, ,即线即线线垂直线垂直线面垂直线面垂直. .结合图形还要注意一些隐含的垂直关系结合图形还要注意一些隐含的垂直关系, ,如等腰三角形的三线如等腰三角形的三线合一、菱形的对角线以及经计算得出的垂直关系等合一、菱形的对角线以及经计算得出的垂直关系等. .(2)(2)求点到平面的距离的常用方法求点到平面的
12、距离的常用方法:直接作出点到平面的垂线段直接作出点到平面的垂线段, ,再计算再计算; ;通过线面平行通过线面平行, ,转化为其他点到平面的距离转化为其他点到平面的距离; ;等体积法等体积法. .热点训练热点训练3:3:(2018(2018南昌市重点中学一模南昌市重点中学一模) )已知四棱锥已知四棱锥P P- -ABCDABCD中中, ,平面平面PADPAD平平面面ABCD,E,FABCD,E,F分别为分别为AD,PCAD,PC上的点上的点,AD=3AE,PC=3PF,AD=3AE,PC=3PF,四边形四边形BCDEBCDE为矩形为矩形. .(1)(1)求证求证:PA:PA平面平面BEF;BEF
13、;热点三热点三立体几何中的折叠和探索性问题立体几何中的折叠和探索性问题(1)(1)求证求证:BC:BC平面平面ACD;ACD;(2)(2)点点F F在棱在棱CDCD上上, ,且满足且满足ADAD平面平面BEF,BEF,求几何体求几何体F-BCEF-BCE的体积的体积. .方法技巧方法技巧(1)(1)折叠问题中不变的数量和位置关系是解题的突破口折叠问题中不变的数量和位置关系是解题的突破口. .一般地一般地, ,在翻折后还在一个在翻折后还在一个平面上的性质不发生变化平面上的性质不发生变化, ,不在同一个平面上的性质发生变化不在同一个平面上的性质发生变化, ,解决这类问题就是要解决这类问题就是要根据
14、这些变与不变根据这些变与不变, ,去研究翻折以后的空间图形中的线面关系和各类几何量的度量去研究翻折以后的空间图形中的线面关系和各类几何量的度量值值, ,这是化解翻折问题的主要方法这是化解翻折问题的主要方法. .(2)(2)探求某些点的具体位置探求某些点的具体位置, ,使得满足平行或垂直关系使得满足平行或垂直关系, ,是一类逆向思维的题目是一类逆向思维的题目, ,一般一般可采用两种方法可采用两种方法: :一是先假设存在一是先假设存在, ,再去推理再去推理, ,下结论下结论; ;二是运用推理证明计算得出结二是运用推理证明计算得出结论论, ,或先利用条件特例得出结论或先利用条件特例得出结论, ,然后
15、再根据条件给出证明或计算然后再根据条件给出证明或计算. .(3)(3)存在探究性问题可先假设存在存在探究性问题可先假设存在, ,然后在此前提下进行逻辑推理然后在此前提下进行逻辑推理, ,得出矛盾或肯定得出矛盾或肯定结论结论. .热点训练热点训练4:4:(2016(2016全国全国卷卷) )如图如图, ,菱形菱形ABCDABCD的对角线的对角线ACAC与与BDBD交于点交于点O,O,点点E,FE,F分分别在别在AD,CDAD,CD上上,AE=CF,EF,AE=CF,EF交交BDBD于点于点H.H.将将DEFDEF沿沿EFEF折到折到DEFDEF的位置的位置. .(1)(1)证明证明:ACHD;:
16、ACHD;(2)(2)当点当点P P为为ABAB边中点时边中点时, ,求点求点B B到平面到平面MPCMPC的距离的距离. .备选例题备选例题 挖内涵挖内涵寻思路寻思路(2)(2)若若BCSD,BCSD,求点求点B B到平面到平面SADSAD的距离的距离. .【例例2 2】 (2018(2018武汉市四月调研武汉市四月调研) )在棱长为在棱长为3 3的正方体的正方体ABCDABCD- -A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,E,F,E,F分别分别在棱在棱AB,CDAB,CD上上, ,且且AE=CF=1.AE=CF=1.(1)(1)求异面直线求异面直线A A1 1E E与与C C
17、1 1F F所成角的余弦值所成角的余弦值; ;(2)(2)求四面体求四面体EFCEFC1 1A A1 1的体积的体积. .阅卷评析阅卷评析 抓关键抓关键练规范练规范(2)(2)若点若点M M在棱在棱BCBC上上, ,且且MC=2MB,MC=2MB,求点求点C C到平面到平面POMPOM的距离的距离. . 注注: :第第(1)(1)问得分说明问得分说明:由等腰三角形性质证明由等腰三角形性质证明OPAC,OPAC,得得1 1分分. .计算出计算出OP,OBOP,OB的长各得的长各得1 1分分. .根据勾股定理的逆定理证明根据勾股定理的逆定理证明OPOB,OPOB,得得1 1分分. .证明结论证明结
18、论, ,得得1 1分分. .第第(2)(2)问得分说明问得分说明:正确作出辅助线正确作出辅助线, ,得得1 1分分. .证明证明CHCH平面平面POM,POM,得得2 2分分. .由解三角形求出由解三角形求出OM,OM,得得2 2分分. .由由“面积法面积法”求出求出CH,CH,得得2 2分分. .【答题启示答题启示】 (1)(1)证明线线平行常用的方法证明线线平行常用的方法:利用平行公理利用平行公理, ,即证两直线同时和第三条直线即证两直线同时和第三条直线平行平行;利用平行四边形进行平行转换利用平行四边形进行平行转换;利用三角形的中位线定理证明利用三角形的中位线定理证明;利利用线面平行、面面
19、平行的性质定理进行平行转换用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换. .(2)(2)证明线线垂直常用的方法证明线线垂直常用的方法:利用等腰三角形底边中线即高线这一性质利用等腰三角形底边中线即高线这一性质;勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理;线面垂直的性质定理线面垂直的性质定理, ,即要证两直线垂直即要证两直线垂直, ,只需证明一条只需证明一条直线垂直于另一条直线所在的平面直线垂直于另一条直线所在的平面. .(3)(3)证线面垂直时证线面垂直时, ,一定证出该直线与平面内两条相交线垂直一定证出该直线与平面内两条相交线垂直, ,本题常不能熟练本题常不能熟练运用勾股定理的逆定理证明运用勾股定理的逆定理证明OPOBOPOB而失分而失分. .(4)(4)求点到平面的距离求点到平面的距离, ,要要“一作一作, ,二证二证, ,三求三求”缺一不可缺一不可, ,或利用或利用“等积法等积法”进进行求解行求解, ,本题在求点本题在求点C C到平面到平面POMPOM距离时距离时, ,往往作不出距离而无法求解往往作不出距离而无法求解, ,或忽视证或忽视证明明CHCH平面平面POMPOM而失分而失分. .
