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1、1.2命题的四种形式、充要条件高考数学高考数学1.四种命题及其关系(1)四种命题知识清单命题表述形式原命题若p,则q逆命题若q,则p否命题若p,则q逆否命题若q,则p(2)四种命题间的关系(3)四种命题的真假关系a.两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;b.两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系.2.充分条件与必要条件(1)如果pq,则p是q的充分条件,q是p的必要条件.(2)如果pq,qp,则p是q的充要条件.(3)从集合角度理解若p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现,即A=x|p(x),B=x|q(x),则a.若AB,则p是q的充分条件;b.若AB,则p是q的必要条
2、件;c.若A=B,则p是q的充要条件.四种命题的关系及真假的判断四种命题的关系及真假的判断1.命题真假的判断:对于命题真假的判断,首先要分清命题的条件与结论,再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假.2.掌握原命题和逆否命题,否命题和逆命题的等价性,当一个命题的真假不易判断时,可以判断其逆否命题的真假.3.“否命题”与“命题的否定”是两个不同的概念.如果原命题是“若p,则q”,那么这个命题的否定是“若p,则q”,只否定结论;而原命题的否命题是“若p,则q”,既否定命题的条件,又否定命题的结论.方法技巧方法1例1(1)命题“a,bR,若a2+b2=0,则a=b=0”的逆否命题是.(2)下列命题
3、是假命题的是(填序号).命题“若x1,则x2-3x+20”的逆否命题是“若x2-3x+2=0,则x=1”;若0x,xsinx1,则xsin2x2”是“-10”的充分不必要条件.解析(1)a=b=0的否定为a0或b0;a2+b2=0的否定为a2+b20,故原命题的逆否命题为“a,bR,若a0或b0,则a2+b20”.(2)命题,根据命题的四种形式,可知命题“若p,则q”的逆否命题是“若q,则p”,故该命题正确;命题,因为0x,所以0sinx1,故xsin2xxsinx,所以有xsin2xxsinx1,故该命题正确;命题,当两条平行线和投影面垂直时,两条平行线在这个平面内的射影是两个点,显然该命题
4、不正确;命题,由-10,得x2”是“-10”的充分不必要条件,该命题正确.故填.答案(1)“a,bR,若a0或b0,则a2+b20”(2) 充分条件与必要条件的判断充分条件与必要条件的判断1.利用定义判断:定条件:确定命题中的条件和结论;找推式:是AB的形式,还是BA的形式;下结论:根据定义下结论.2.利用集合判断:方法2记法A=x|p(x),B=x|q(x)关系ABBAA=BAB且BA结论p是q的充分不必要条件p是q的必要不充分条件p是q的充要条件p是q的既不充分也不必要条件3.利用等价转化法判断:AB与BA,BA与AB,AB与BA是等价关系.一般地,对于条件或结论是不等关系(否定式)的命题
5、,运用等价法.例2(1)(2016江苏南京、盐城一模,7)设函数f(x)=cos(2x+),则“f(x)为奇函数”是“=”的条件.(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)(2)(2016四川理改编,7,5分)设p:实数x,y满足(x-1)2+(y-1)22,q:实数x,y满足则p是q的条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”).解析(1)当=时,f(x)=-sin2x为奇函数,故必要性成立;而当=+2时,f(x)=-sin2x也为奇函数,所以充分性不成立.(2)如图,作出p,q表示的区域,其中M及其内部为p表示的区域,ABC及其内部(阴影部分)为
6、q表示的区域,故p是q的必要不充分条件.答案(1)必要不充分(2)必要不充分 根据充要条件求参数的取值范围根据充要条件求参数的取值范围解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解.例3已知p:x2-4x-320;q:x-(1-m)x-(1+m)0(m0).若“非p”是“非q”成立的必要但不充分条件.求m的取值范围.方法3解析p:-4x8,从而p为真时x的取值范围是集合P=-4,8.同理可得,q为真时x的取值范围是集合Q=1-m,1+m(m0).因为“非p”是“非q”成立的必要但不充分条件,所以“若非q,则非p”是真命题,即“若p,则q”为真,“若q,则p”为假,故PQ,从而或解得m7.故m的取值范围是7,+).评析一般地,在涉及参数的取值范围时,常常要从集合的包含、相等关系来考虑,这是解此类问题的关键.本题中要特别注意端点值的取舍,处理不当易出现漏解或增解现象.
