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1、北京工业大学电路北京工业大学电路5-65-6课课件件(1) U是与一个变量是与一个变量x 的变化区间的变化区间a, b有关的量有关的量;则可以考虑用定积分来表达这个量则可以考虑用定积分来表达这个量U.(2) U对于区间对于区间a, b具有可加性具有可加性.就是说就是说, 如果把区间如果把区间a, b分成许多部分区间分成许多部分区间,(3) 部分量部分量 的近似值可表示为的近似值可表示为当所求量当所求量U 符合下列条件：符合下列条件：则则U 相应地分成许多部分量相应地分成许多部分量, 而而U 等于所有部等于所有部分量之和分量之和.解解 两曲线的交点两曲线的交点选选 y 为积分变量为积分变量例例
2、计算由曲线计算由曲线 和直线和直线的图形的面积的图形的面积.所围成所围成所求面积所求面积如果曲边梯形的曲边为参数方程如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积曲边梯形的面积2. 参数方程情形参数方程情形下求平面图形的面积下求平面图形的面积在在 (或或 )上上与终点的参数值与终点的参数值.设设 和和 对应曲线起点对应曲线起点具有连续导数具有连续导数, 连续连续.解解1曲线的参数方程为曲线的参数方程为由对称性由对称性, 总面积等于总面积等于4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积.作变量代作变量代换换,例例 求椭圆求椭圆 的面积的面积.解解2其中其中由对称性由对称性,总面积等于总面积等于4倍第一象限
3、部分面积倍第一象限部分面积例例 求椭圆求椭圆 的面积的面积.解解 面积面积作变量代作变量代换换面积元素面积元素曲边扇形的面积曲边扇形的面积由极坐标方程由极坐标方程给出的平面曲线和射线给出的平面曲线和射线所围成的面积所围成的面积A.曲曲边边扇扇形形3. 极坐标系下求平面图形的面积极坐标系下求平面图形的面积解解由对称性知总面积由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积例例求双纽线求双纽线所围平面图形的面积所围平面图形的面积.解解 利用利用对称性对称性知知例例 求心形线求心形线图形的面积图形的面积.所围平面所围平面旋转体旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条就是由一个平面图形饶这平面内
4、一条圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台6.1.2 体积问题体积问题1. 旋转体的体积旋转体的体积直线旋转一周而成的立体直线旋转一周而成的立体. 这直线称为这直线称为旋转轴旋转轴旋转体的体积为旋转体的体积为如果旋转体是由连续曲线如果旋转体是由连续曲线直线直线及及 x 轴所围成的曲边梯形绕轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋轴旋x转一周而成的立体转一周而成的立体, 求体积求体积.取积分变量为取积分变量为x,为底的为底的小曲边梯形绕小曲边梯形绕 x 轴旋转而轴旋转而成的薄片的成的薄片的体积元素体积元素解解例例 求由椭圆求由椭圆 围成的图形绕围成的图形绕 x轴旋轴旋这个旋转椭球体可以看成是由上半椭圆这个旋转椭球体可以看
5、成是由上半椭圆转一周所得旋转体的体积转一周所得旋转体的体积.与与x 围成的图形绕围成的图形绕 x轴旋旋转而成轴旋旋转而成.所求体积为所求体积为解解体积元素体积元素例例取积分变量为取积分变量为x,oxy如果旋转体是由连续曲线如果旋转体是由连续曲线及及 y 轴所围成的曲边梯形绕轴所围成的曲边梯形绕 y 轴轴旋转一周而成的立体旋转一周而成的立体, 求体积求体积.直线直线体积元素体积元素旋转体的体积旋转体的体积解解 两曲线的交点为两曲线的交点为绕绕 y 轴旋转所得体积轴旋转所得体积y 轴轴旋转所得旋转体的体积旋转所得旋转体的体积.例例 求抛物线求抛物线 所围成图形所围成图形绕绕补充补充利用这个公式，可
6、知上例中利用这个公式，可知上例中公式见公式见P257 24解解体积元素为体积元素为2. 已知平行截面面积的立体的体积已知平行截面面积的立体的体积立体体积立体体积A(x)表示过点表示过点x且且垂直于垂直于x 轴的截面面积轴的截面面积，A(x) 为为x 的已知连续函数的已知连续函数.如果一个立体介于过如果一个立体介于过 而垂直于而垂直于x轴的两平面之间轴的两平面之间，体积元素体积元素解解 取坐标系如图取坐标系如图底圆方程底圆方程例例 一平面经过半径为一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中心的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角并与底面交成角计算这平面截圆柱体所得计算这平面截圆柱体所得立体的体积立体的体
7、积.垂直于垂直于x轴的截面为直角三角形轴的截面为直角三角形.底边底边高高截面面积截面面积立体体积立体体积作一下垂直于作一下垂直于y轴轴的截面是的截面是截面长为截面长为宽为宽为矩形矩形截面面积截面面积 可否选择可否选择y作积分变量作积分变量?此时截面面积函数是什么此时截面面积函数是什么?如何用定积分表示体积如何用定积分表示体积?弧长元素弧长元素弧长为弧长为6.1.3 平面曲线的弧长平面曲线的弧长1. 直角坐标情形直角坐标情形取积分变量为取积分变量为x, 上任取小区间上任取小区间x, x+dx,设曲线弧为设曲线弧为其中其中在在a, b上有一阶连续导数上有一阶连续导数. 在在a, b解解例例 计算曲
8、线计算曲线的弧长的弧长设曲线弧的参数方程为设曲线弧的参数方程为弧长为弧长为2. 参数方程情形参数方程情形其中其中 在上在上 具有连续导数具有连续导数.解解星形线的参数方程为星形线的参数方程为根据对称性根据对称性第一象限部分的弧长第一象限部分的弧长例例 求星形线求星形线 的全长的全长.设曲线弧的极坐标方程为设曲线弧的极坐标方程为弧长为弧长为3. 极坐标情形极坐标情形其中其中 在在 上具有连续导数上具有连续导数.由直角坐标与极坐标的关系可得由直角坐标与极坐标的关系可得 解解解解作业作业习题习题5.6 (2485.6 (248页页) ) 1.(1)(2)(4)(5) 3. (1)(2) 5.(1)(4) 6. 结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！36
