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1、第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布2.1 2.1 随机变量随机变量2.2 2.2 离散型离散型随机变量随机变量及其及其概率概率分布分布律律2.3 2.3 随机变量随机变量的的分布函数分布函数2.4 2.4 连续连续型型随机变量随机变量及其及其概率概率密度密度2.5 2.5 随机变量随机变量的的函数函数的的分布分布第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 我们知道随机事件是由基本事件构成的，前面我们所我们知道随机事件是由基本事件构成的，前面我们所给出的定义无论是基本事件还是随机事件都是用文字叙述给出的定义无论是基本事件还是随机事件都是用文字叙述给出，这有两个缺憾，一是非常繁琐，
2、二是尽管事件可以给出，这有两个缺憾，一是非常繁琐，二是尽管事件可以看成子集（样本空间的子集）但是文字叙述却不符合数学看成子集（样本空间的子集）但是文字叙述却不符合数学的研究特点，因此为了更深入地研究随机现象，我们就需的研究特点，因此为了更深入地研究随机现象，我们就需要将随机试验的结果数量化，也就是用某一变量取得各种要将随机试验的结果数量化，也就是用某一变量取得各种不同的数值来描述随机试验的结果，这样就引进了随机变不同的数值来描述随机试验的结果，这样就引进了随机变量的概念量的概念2.1 2.1 随机变量随机变量 考察考察抛抛硬币试验硬币试验S S H,TH,T 其中其中H =H =出现正面出现正
3、面、T=T=出现反面出现反面， 若用若用数字数字“1”“1”代表事件代表事件“出现正面出现正面”， 用用数字数字“0”“0”代表事件代表事件“出现反面出现反面”， 则则构造随机变量构造随机变量X X：S S 0,10,1，即即X(H)=1X(H)=1， X(T)=0 X(T)=0 此时，此时，随机变量随机变量 X X 随随基本事件基本事件的的变化变化而而变化变化，当，当基本基本 事件确定事件确定，对应对应值值 X X 也也相应确定相应确定例例1 1例例 一袋中有一袋中有6 6个球，个球，分别分别标有标有 1,2,2,2,3,3 1,2,2,2,3,3，从袋中任，从袋中任 取取一个一个球，球，观
4、察出现观察出现的的数字数字解：解：解：解：样本样本空间空间 S Se e1 1，e e2 2，e e3 3, 其中其中e e1 1出现数字出现数字1 1，e e2 2出现数字出现数字2 2， e e3 3出现数字出现数字3 3. .构造随机变量构造随机变量X X：S S 1,2,31,2,3， 即即 X(eX(e1 1)=1)=1， X(e X(e2 2)=2)=2， X(e X(e3 3)=3)=3， 当当试验试验的的可能可能结果结果本身本身是用是用数量描述数量描述的，的，这时构造随机这时构造随机变变量最量最容易容易例例 对于一批对于一批灯泡，设每一灯泡在某灯泡，设每一灯泡在某固定条件固定条
5、件的的耐用耐用时时间为间为X X，则则X X ：S 0,+)S 0,+)随着随着取取不同不同灯泡的灯泡的试验试验结果结果不同不同，X X 取取不同不同的值的值. .取定灯取定灯泡，泡，X X 值值才能确定才能确定，故，故X X 是是随机变量随机变量例例4 4 某某射手射手每次每次射击打中射击打中目标的概率是目标的概率是P(0P1)P(0P1)，现在现在他他连续连续向一目标向一目标射击射击，直到第一次击中直到第一次击中目标目标为止为止，则，则射击射击次数次数X X是是一个随机变量一个随机变量，X X可以可以取到取到一切一切正整正整数数 设设E E是是随机试验随机试验，它的它的样本样本空间空间是是
6、S Se e ，如果如果对对于每于每一个一个 e Se S，都有都有一个实数一个实数X(e)X(e)与之与之对应对应，这样这样就就得到一个定义在得到一个定义在S S上的单值实值函数上的单值实值函数X=X(e), X=X(e), 称为称为 随机随机变量变量. . 常用字母常用字母X,Y,X,Y,等等表示随机变量表示随机变量 定义定义 随机变量随机变量是是定义定义在样本在样本空间空间上上的的实值集实值集函数函数，它与，它与普通普通的实的实函数函数有有本质本质的的区别区别一方面它的一方面它的取值是取值是随机随机的，的，而它取每而它取每一个可能一个可能值都有值都有一定一定的概率；的概率；另一方面另一方
7、面，它的它的定义域定义域是样本是样本空间空间S S，而而S S不一定不一定是是实数实数集集 随机变量随机变量的的概念概念在在概率论概率论与数理与数理统计统计中既是中既是基本基本的，的，又是又是非常重要非常重要的的后面后面将会将会看到看到，由于引入由于引入了了随机变量随机变量，高等高等数学数学的方法就的方法就可用可用来研究来研究随机现象随机现象了了我们通常将取有限个或可数个值的随机变量称为我们通常将取有限个或可数个值的随机变量称为离散型随离散型随机变量机变量其余的通常为其余的通常为非离散型的随机变量非离散型的随机变量在非离散型在非离散型随机变量中，有一类最重要的也是在实际中经常遇到的随随机变量中
8、，有一类最重要的也是在实际中经常遇到的随机变量，像灯泡寿命或零件长度这样的随机变量，它们所机变量，像灯泡寿命或零件长度这样的随机变量，它们所取的值连续地充满一个区间，我们将称它们为取的值连续地充满一个区间，我们将称它们为连续型随机连续型随机变量变量对于随机变量对于随机变量，我们主要讨论我们主要讨论离散型离散型随机变量随机变量和连和连续型续型随机变量随机变量两大类两大类1 1 1 1定义定义定义定义 如果随机变量如果随机变量X X全部可全部可能取到能取到的的值是值是有限有限个或可个或可列列个值时，则称个值时，则称X X是离散型是离散型随机变量随机变量2.22.2离散型离散型随机变量随机变量及其及
9、其分布分布律律一、基本概念一、基本概念如如2.12.1中的中的例例1 1、例、例2 2和例和例4 4都是都是离散型离散型随机变量随机变量 要掌握一个离散型要掌握一个离散型随机变量随机变量X X的统计规律，不仅需要的统计规律，不仅需要知道知道X X的所有可能取到的值，而且还需要知道取每一个可的所有可能取到的值，而且还需要知道取每一个可能值的概率能值的概率. .2.2.2.2.定义定义定义定义 设离散型设离散型随机变量随机变量X X所有所有可能可能取取的的值值为为 , , X X取取各个可能值各个可能值的概率的概率, , 即事件即事件 的概率为的概率为 P = P = ， (2.1) (2.1)称
10、称(2.1) (2.1) 式式为离散型为离散型随机变量随机变量X X 的的概率概率分布分布或或分布分布律律. .它清楚地它清楚地表示表示出出X X的取值的概率的取值的概率分布情况分布情况，为，为简便起见简便起见，随机变量随机变量X X的概率的概率分布情况分布情况也也可以可以用用表格表格的形式来表示：的形式来表示：3.3. X Xx x1 1 x x2 2 . . x xk k . p pk k p p1 1 p p2 2 . . p pk k .4.4. 由概率的由概率的定义可知定义可知，离散型，离散型随机变量随机变量的的分布分布律律具有如下具有如下性质性质: :1. 1. P Pk k0,
11、(k=1,2,.)0, (k=1,2,.)2. =12. =15. 判断下列各表是否为某一判断下列各表是否为某一随机变量随机变量的的分布分布律律X X 1 3 5 1 3 5 X X 1 2 n 1 2 n p pk k 0.1 0.3 0.5 0.1 0.3 0.5 p pk k 1/3 1/31/3 1/32 2 1/3 1/3n n X X 1 2 3 1 2 3 X X 1 2 n 1 2 n p pk k 0.7 0.1 0.2 0.7 0.1 0.2 p pk k 1/2 1/21/2 1/22 2 1/2 1/2n n 例例1 1 设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号灯设一
12、汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号灯, , 每盏信号灯以的概率每盏信号灯以的概率p p禁止汽车通过禁止汽车通过. . 以以X X表示汽车首次表示汽车首次停下时停下时, , 它已通过的信号灯的盏数它已通过的信号灯的盏数( (设各信号灯的工作是设各信号灯的工作是相互独立的相互独立的), ), 求求X X的分布律的分布律. .故故 X X的分布律为的分布律为 X X 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 p pk k p (1-p)p (1-p)p (1-p)p (1-p)2 2p (1-p)p (1-p)3 3p (1-p)p (1-p)4 4或写成或写成解解: X的可能取值为的可能取值为
13、0,1,2,3,4二、二、几种常见的离散型随机变量几种常见的离散型随机变量 离散型随机变量的概率分布或分布律完全刻划了离离散型随机变量的概率分布或分布律完全刻划了离散型随机变量的散型随机变量的情况情况，已知，已知X X的概率分布，可以求得这的概率分布，可以求得这个随机变量个随机变量X X所对应的样本空间中任何随机事件的概率所对应的样本空间中任何随机事件的概率1.1.(0-1)(0-1)分布分布如果随机变量如果随机变量X X只能取只能取0,10,1两个值，其分布律两个值，其分布律为为PX=1=PX=1=p p，PX=0=1-PX=0=1-p p (0 (0p p1)1)，即：即： X 0 X 0
14、 1 1 p pk k 1 1-p p-p p 则称则称X X服从参数为服从参数为p p的的(0-1)(0-1)分布或两点分布分布或两点分布 对于对于一次试验只有两种可能结果的概率分布都可用两点一次试验只有两种可能结果的概率分布都可用两点分布来描述如在射击中，只考虑分布来描述如在射击中，只考虑“击中击中”与与“不中不中”，我，我们可以令随机变量们可以令随机变量X X取值取值“1”“1”表示表示“击中击中”，取值，取值“0”“0”表示表示“不中不中”；对产品质量进行检验，如果我们只关心；对产品质量进行检验，如果我们只关心“合合格格” 与与“不合格不合格”，“合格合格”时规定时规定X X取值取值“
15、1”“1”，“不合格不合格”时时规定规定X X取值取值“0”“0”，则这类问题都可以归结为两点分布总之，则这类问题都可以归结为两点分布总之，两点分布是经常遇到的一种分布两点分布是经常遇到的一种分布(1)重复独立试验重复独立试验 将试验将试验E重复进行重复进行n次次, 若各次试验的结果若各次试验的结果互不影响互不影响, 即每次试验结果出现的概率都不依赖于其它各次即每次试验结果出现的概率都不依赖于其它各次试验的结果试验的结果, 则称这则称这n次试验是相互独立的次试验是相互独立的. 如连续掷骰子如连续掷骰子n次次, 观察出现的点数观察出现的点数.2 2. .贝努利试验、贝努利试验、二项分布二项分布(
16、2)(2) 贝努利试验贝努利试验 若试验若试验E的可能结果只有两个的可能结果只有两个, A及及A, 将将E独立地重复进行独立地重复进行n次次, 则称这一串重复的独立试验为则称这一串重复的独立试验为(n重重)贝努利试验贝努利试验.(3)贝努利试验的特性贝努利试验的特性 设设X表示表示n重贝努利试验中重贝努利试验中A事件发生事件发生的次数的次数. 则则X是一个随机变量是一个随机变量, X的可能值为的可能值为0,1,2,n.(2)(2) 当当n=1n=1时二项时二项分布化为分布化为(0-1)(0-1)分布分布(4)二项分布二项分布 若若随机变量随机变量X X的的分布分布律为律为 则称则称X X服从参
17、数服从参数为为 的二项的二项分布分布，记作，记作 注注 (1) 显然显然 PX=k0 k=0,1,2,.,n PX=k0 k=0,1,2,.,n ； 下面下面通过通过实例实例来来观察观察二项二项分布随着分布随着k k取值的取值的不同不同而而变化变化的的情况情况例例2 2 设有设有2020台台机床机床，独立地各，独立地各加工一件齿轮加工一件齿轮，若各，若各机床机床加加工的工的废品率都是废品率都是0.20.2，求，求2020件件齿轮产品中的废品齿轮产品中的废品数的数的分布分布律律? ?解解 本题本题可可看作看作是是2020次次重复重复独立独立试验试验 设设X X表示表示2020件件齿轮产品中的废品
18、个数齿轮产品中的废品个数，则，则X Xb(20,0.2)b(20,0.2) 故故 列表如下列表如下： X 0 1 2 3 4 5 6 X 0 1 2 3 4 5 6 p p 0.012 0.058 0.137 0.205 0.218 0.175 0.1090.012 0.058 0.137 0.205 0.218 0.175 0.109X X7 8 9 10 11 20 7 8 9 10 11 20 0.055 0.022 0.007 0.002 0.000 0.0000.055 0.022 0.007 0.002 0.000 0.000 表中当表中当k11k11时，时，PX=k0.001PX
19、=k00是常数是常数, , 则称则称X X服从参数服从参数为为的泊松的泊松分布分布，记作，记作 3.3.泊松泊松分布分布可以验证可以验证例例4 4 已知已知某某电话交换台电话交换台每每分钟接到分钟接到的的呼叫呼叫次数次数X X服从服从参参 数数=4=4的泊松的泊松分布分布，求：，求：(1) (1) 每每分钟恰好接到分钟恰好接到3 3次次呼唤呼唤的概率的概率 (2) (2) 每每分钟分钟内内接到呼唤接到呼唤的次数不的次数不超过超过4 4次的概率次的概率 解解 (1) (1) (2) (2) 对于对于非离散型非离散型随机变量随机变量，由于它的可能由于它的可能取值取值不能不能一一个个一个一个地地列举
20、出来列举出来，因而因而就就不能不能像离散型像离散型随机变量随机变量那样那样用用分布分布律来律来描述描述它，非离散型它，非离散型随机变量随机变量取取指定指定实实数值数值的概率的概率通常等于零通常等于零，因而我们因而我们主要主要来研究来研究随机随机变变量所取的值落在量所取的值落在一个区间一个区间内的概率，即内的概率，即对于任意对于任意的区的区间间( (x x1 1,x,x2 2 ，我们我们求求PPx1 1X X x2 2，但是但是 P P x1 1XXx2 2= P= PX X x2 2- PX - PX x1 1因而因而, ,只要知道只要知道P PX X x2 2和和PX PX x1 1, ,就
21、可就可知道知道P Px1 1X X x2 2了故对了故对P P x1 1X X x2 2的研究的研究转为转为研究对研究对任意实数任意实数x, ,求概率求概率P PX X x的的问题问题了了P PX X x是是x的的函数函数，从而从而引引入入下面下面的的定义定义2.3 2.3 随机变量随机变量的的分布函数分布函数设设X X是一是一随机变量随机变量，x 是是任意实数任意实数，函数函数 称为称为X X的的分布函数分布函数定义定义4. 4. F(F(x+0)=F(+0)=F(x) )， 即即 F(F(x) )是右是右连续连续的的性质性质1. 01. 0F(F(x)1 (- )1 (- x ) )2.
22、2. 若若 x1 1 x2 2，则则F(F(x1 1) F() F(x2 2) )，即即F(F(x) )是非是非减减函数函数. .3.3.由由定义定义，事件事件“x1 1X X x2 2”的概率可写成的概率可写成PPx1 1X X x2 2= PX = PX x2 2- PX- PXx1 1=F(=F(x2 2)- F()- F(x1 1) )PXPXx 1-PX 1-PX x 例例1 1 一袋中有一袋中有6 6个球，个球，其中其中2 2个个标标号为号为1 1，3 3个个标标号为号为2 2，1 1个个标号为标号为3, 3, 任取任取1 1个球，以个球，以X X表示表示取取出的出的球球的标号的标
23、号，求，求X X的分的分布函数；并求布函数；并求 P P2 X 32 X 3解解：由由已知已知X X的的可能可能值为值为1, 2, 31, 2, 3 PX=1= 2/6, PX=2=3/6, PX=3=1/6.PX=1= 2/6, PX=2=3/6, PX=3=1/6. 所以所以X X的的分布分布律为律为 X X 1 2 3 1 2 3 p pk k 2/6 3/6 1/62/6 3/6 1/6当当 时时,当当 时时,当当 时时,当当 时时,因而因而 0 1 2 3F(x)xF F( (x x) )的的图形图形为为它是一条阶梯形的曲线它是一条阶梯形的曲线, 其跳跃点为其跳跃点为x=1,2,3(
24、2)(2)解解法一法一解解法二法二 一般一般地，地，对于对于离散型离散型随机变量随机变量X 来讲来讲，如果如果其概率分其概率分布律为布律为 , , k=1,2, =1,2, 其中其中x1 1 x2 2则则X X的的分布函数分布函数为为 F( (x) )是是阶梯阶梯形曲线，形曲线，x = =x1 1，x2 2，为为F( (x) )的的跳跃跳跃点，其点，其跳跃跳跃值值分别分别为为p p1 1 , , p p2 2 , , 例例2 2 一个靶子一个靶子是是半径半径为为2 2米米的的圆盘圆盘, ,设设击中击中靶靶上任上任一一同心圆同心圆盘盘上上的的点的点的概率与该概率与该圆盘圆盘的的半径平方半径平方成
25、正比成正比, ,并设并设射击射击都能都能中靶中靶, ,以以X X表示弹着点表示弹着点与与圆心圆心的的距离距离. .试求试求随机变量随机变量X X的的分布分布函数函数解解 (1) (1) 当当x022时时, , X X x为为必然事件必然事件, ,于是于是 F(F(x)= PX )= PX x=1=1综上所述综上所述 x0 1 2 3F(x)的图形的图形F(x) 11/2 这这说明随机变量说明随机变量X 的的分布函数分布函数F( (x) )恰好恰好是是某个某个非负非负函数函数f( (x) )在在(-,(-,x 上的上的积分积分，这，这种种情况情况的的随机变量随机变量X称为称为连续连续型型随机变量
26、随机变量. .这这就是我们就是我们下节中要研究的下节中要研究的连续连续型型随机变量随机变量 本例本例中的分布函数中的分布函数F( (x) )的的图形图形是一条是一条连续连续曲线，且曲线，且对于任意对于任意x 均有均有其中其中2.4 2.4 连续连续型型随机变量随机变量的的概率概率密度密度注：注：(1)(1)由由定义知道定义知道，改变改变概率概率密度密度f( (x) )在在个别个别点的点的函数函数 值不值不影响分布函数影响分布函数F( (x) )的取值，的取值，因此因此概率概率密度密度不不 是是唯一唯一的的. .(2)(2)由由(4.1)(4.1)式知式知连续连续型型随机变量随机变量的的分布函数
27、分布函数是连续是连续 函数函数. .1.1.定义定义：如果如果对于对于随机变量随机变量X 的的分布函数分布函数F( (x) )，存在存在非非 负负函数函数f( (x) )，使使对于任意实数对于任意实数x 有有 则称则称X为为连续连续型型随机变量随机变量，称，称f( (x) )为为随机变量随机变量X的的概率概率密度函数密度函数，简称，简称概率概率密度密度 (4.1)(4.1)注注：公式公式(4.1)(4.1)和和(4.2)(4.2)表示表示了了分布函数分布函数与概率与概率密度密度间的间的 两个两个关系关系利用这些关系利用这些关系，可以可以根据根据分布函数分布函数和概和概 率率密度中的一个推出另一
28、个密度中的一个推出另一个2.概率概率密度密度f(x)的性质：的性质：(2)(2)(1)(1)(3)(3)(4) (4) 若若f( (x) )在点在点x 处处连续连续，则则有有 (4.2)(4.2)oxx x1 1 o x x2 2 o x 连续连续型型随机变量随机变量的的分布函数分布函数与概率与概率密度密度的的几何几何意义意义：F( (x) )等于等于曲线曲线f( (x) )在在(-(-，x 上的曲边上的曲边梯形梯形的的面积面积( (见见图图1). 1). 说说明曲线明曲线f( (x) )与与x 轴轴之间之间的的面积面积等于等于1(1(见图见图2).2).而而性质性质(3)(3)表示表示PPx
29、1 1 Xx2 2等于等于曲线曲线f( (x) )在在区间区间( (x1 1, ,x2 2) )上的曲边上的曲边梯形梯形的的面积面积( (见图见图3).3).图1图2图3xxF(x)f(x)f(x)f(x)1Px x1 1 X x x2 2 3.验证：验证： f( (x) )是是否是某个否是某个随机变量随机变量的概率的概率密度密度 主要主要验证验证(1)(1)(2)(2)例例1 已知已知 是是某个连续型某个连续型随机随机变量变量的概率的概率密度密度, , 试试确定常数确定常数c.c.解解: 由由概率概率密度密度函数函数的性质的性质 得得 即即 c=2c=2例例2 2 设设连续连续型型随机变量随
30、机变量X X的概率的概率密度密度为为 求求 (1) (1)系数系数A (2)P-1/2A (2)P-1/2X1/21/2 (3) (3)F( (x) )解解 (1) (1)由由性质性质，可知可知 故故 A=1/A=1/因此因此(2)(3)(3)当当x -1 -1时，时，当当-1-1x 100， P Pa-X-Xa= F(= F(a)- F()- F(a-)-) 在在不等式不等式 0 0 PX=PX=aPPa-X-Xa= F(= F(a)- F()- F(a-)-)中，中， 令令 0 0，由于由于F(F(x) )是是连续连续的，的，从而得到从而得到PX=PX=a=0=0 因此因此，在，在讨论连续
31、讨论连续型型随机变量落入某个区间随机变量落入某个区间内的概率内的概率时，时，可以不必可以不必分该分该区间区间是开是开区间区间、闭、闭区间区间或半开或半开区间区间，因，因为为 PPaXbXb= P= PaXbXb= P= PaXbXb= P= PaXbXb. .对于连续对于连续型型随机变量随机变量X来说来说，它取任一，它取任一给定给定值值a的概率为的概率为0 0，即即PX=PX=a=0 =0 4.4.5.几种常见的连续型随机变量几种常见的连续型随机变量 (一一)均匀分布均匀分布若连续型随机变量若连续型随机变量X的概率密度为的概率密度为则称则称X在区间在区间(a,b)上服从均匀分布，记作上服从均匀
32、分布，记作X(a,b). 若随机变量若随机变量X在区间在区间(a,b)上服从均匀分布，则对任意上服从均匀分布，则对任意 满足满足acdb的的c和和d，有有 上式说明上式说明X落入落入(a,b)中任一小区间的概率与该小区间中任一小区间的概率与该小区间的长度成正比，而与小区间的位置无关，这就是均匀的长度成正比，而与小区间的位置无关，这就是均匀分布的概率意义分布的概率意义. 显然，显然，f(x)0，且且 由由(4.1)式可得式可得X的分布函数为的分布函数为 a o b xf(x)及及F(x)的图形如图的图形如图1及图及图2所示所示. 图图1 图图2a o b xf(x)F(x) 1 例例3 3 设电
33、阻值设电阻值R是一个随机变量，均匀分布在是一个随机变量，均匀分布在800欧欧1000 欧，求欧，求R的概率密度及的概率密度及R落在落在850欧欧950欧的概率欧的概率.解解: 由题意，由题意，R的概率密度为的概率密度为而而(二二) 指数分布指数分布若随机变量若随机变量X的概率密度为的概率密度为 为常数且大于零为常数且大于零, 则称则称X服从参数为服从参数为 的指数分布的指数分布.显然，显然，f(x)0，且由且由(4.1)式可得式可得X的分布函数为：的分布函数为： f(x)及及F(x)的图形如图的图形如图1及图及图2所示所示图图3-10图图3-910 xF(x)f(x)0 x 指数分布有着重要应
34、用，如动植物的寿命、无线电元件指数分布有着重要应用，如动植物的寿命、无线电元件的寿命，以及随机服务系统中的服务时间等都可用指数分布的寿命，以及随机服务系统中的服务时间等都可用指数分布来描述来描述例例4 4 设某种灯泡的使用寿命为设某种灯泡的使用寿命为X，其概率密度为其概率密度为 求求(1)此种灯泡使用寿命超过此种灯泡使用寿命超过100小时的概率小时的概率. (2)任取任取5只产只产品品, 求有求有2只寿命大于只寿命大于100小时的概率小时的概率.或或(2)设设Y Y表示表示5 5只产品中寿命大于只产品中寿命大于100100小时的只数小时的只数, , 则则故故解解: (1)(三三) 正态分布正态
35、分布若随机变量若随机变量X的概率密度为的概率密度为其中其中 为常数，则称为常数，则称X服从参数为服从参数为 的正态的正态分布，记为分布，记为显然，显然，f(x)0，且可以证明且可以证明参数参数 的意义将在后面的章节中给出的意义将在后面的章节中给出由由(4.1)式可得正态分布的分布函数为式可得正态分布的分布函数为f(x)及及F(x)的图形如图的图形如图1及图及图2所示所示 图图10 xf(x)图图2F(x)0 x正态分布的概率密度函数正态分布的概率密度函数f(x)具有如下性质具有如下性质1. 曲线关于直线曲线关于直线 对称，当对称，当 时，有时，有2. 当当 时，时，f(x)取得最大值，取得最大
36、值，当当x离离 越远，越远， f( (x) )的值越小，说明同样长度的区的值越小，说明同样长度的区间，当区间离间，当区间离 越远，越远，X落入该区间的概率越小，落入该区间的概率越小，且且3. 在在 处处曲线曲线f(x)有拐点，且曲线以有拐点，且曲线以x轴为水轴为水 平渐近线平渐近线.4. 若固定若固定 ，而改变值，而改变值 ，则曲线，则曲线f(x)的图形沿的图形沿x轴平行轴平行 移动，而曲线形状不变，如图移动，而曲线形状不变，如图1所示所示.5. 若固定若固定 ，改变值，改变值 ， 越大，曲线越平坦，越大，曲线越平坦， 越越 小，曲线越陡峭，这时小，曲线越陡峭，这时 X 落入其附近的概率越大落
37、入其附近的概率越大. 如如 图图2所示所示.0 xf(x) 图图1f(x)图图20 x6.6.当参数当参数 时，称时，称X X服从标准正态分布，服从标准正态分布， 记作记作X XN(0,1)，对应的概率密度与分布函数分别对应的概率密度与分布函数分别 用用 与与 来表示来表示, ,即即0 x图图2图图10 x 与与 的性质的性质(1) 是偶函数，即是偶函数，即 (2) 当当x=0时，时， 取得最大值取得最大值 ; (3)(-x)=1-(x) 为了便于计算为了便于计算, 人们已经编制了人们已经编制了 的函数表的函数表即即439页附表页附表2 标准正态分布表标准正态分布表例例5 已知已知 , 求求解
38、解: 对于服从一般正态分布的随机变量对于服从一般正态分布的随机变量X，要计算要计算X落入落入区间区间(a,b)的概率，可以转化成标准正态分布的概率计算的概率，可以转化成标准正态分布的概率计算.引理引理 设设 ，则，则证明证明: : 因为因为 的分布函数为的分布函数为 令令 得得由此知由此知注注 1 ，则它的分布函数，则它的分布函数 可写成可写成2对于任意区间对于任意区间 ，有，有例例4 4 设设XN(1.5，4)，计算：计算：(1) PX3.5；(2) PX2；(4) PX3解解 (1) PX3.5=F(3.5)= ( )=(1)=0.8413(2) PX2=1PX2=1F(2)=1( ) =
39、1(0.25) =10.5987=0.4013(4) PX3= P3X0 时，时， = P X = 于是，得于是，得Y的概率密度为的概率密度为例如例如 , 设设 , 其概率密度为其概率密度为则则 的概率密度为的概率密度为注注: (1)此时称此时称Y服从自由度为服从自由度为1的的 分布分布(2)若若Y=g(X)中的中的g(.)是严格单调函数时是严格单调函数时, 可由下面定可由下面定 理求出理求出Y的概率密度的概率密度.定理定理 设随机变量设随机变量X具有概率密度具有概率密度 , 又设函数又设函数g(x)处处可导且有处处可导且有 (或恒有或恒有 ) 则则Y=g(X)是连续型随机变量是连续型随机变量
40、,其概率密度为其概率密度为 其中其中 h(y)是是g(x)的反函数的反函数.注注: 若若g(x)不是单调函数不能用此定理不是单调函数不能用此定理 若若 在有限区间在有限区间a，b以外等于零，则只需假设在以外等于零，则只需假设在 a，b上恒有上恒有 （或恒有（或恒有 ），此时），此时例例4 4 设电压设电压 , ,其中其中A A 是一个已知的正常数是一个已知的正常数, , 相相角角 是一个随机变量是一个随机变量, , 在区间在区间 服从均匀分布服从均匀分布, ,试试求电压求电压 V V 的概率密度的概率密度. .解解: 由于由于 在在 上恒有上恒有 , 且有反函数且有反函数 又又 的的概率密度为
41、概率密度为 由定理得由定理得 的概率密度为的概率密度为练习练习设随机变量设随机变量 . 试证明试证明X 的线性函数的线性函数Y=aX+b (a0)也服从正态分布也服从正态分布. 解解: X的概率函数为的概率函数为 现在现在y=g(x)=ax+b, 由这一式子解得由这一式子解得 , 且有且有 由定理得由定理得Y=aX+b的概率密度为的概率密度为 即即即有即有注注: (1) 正态随机变量的线性函数仍然服从正态分布正态随机变量的线性函数仍然服从正态分布. 则则(2) 若若2.2. 设设 与与 为两个随机事件为两个随机事件, ,求求3.3. 设设 与与 独立独立, ,求求练习题练习题1. 袋内放有袋内
42、放有2个伍分硬币个伍分硬币,3个贰分硬币和个贰分硬币和5个壹分硬币个壹分硬币,任取其中任取其中5个个,求钱额总数超过壹角的概率求钱额总数超过壹角的概率.5. 甲袋中放有甲袋中放有5只红球只红球,10只白球只白球;乙袋中放有乙袋中放有5只白球只白球,10只红球只红球.今先从甲袋中任取一球放入乙袋今先从甲袋中任取一球放入乙袋,然后从乙袋中任取一球放回甲然后从乙袋中任取一球放回甲袋袋.求再从甲袋中任取两球求再从甲袋中任取两球,全是红球的概率全是红球的概率.4. 设设 求求 和和 ，并问事件，并问事件 、 是否独立，是否独立， 为什么？为什么？6. 盒中有盒中有3 3个新晶体管和个新晶体管和2 2个旧晶体管个旧晶体管, ,某仪器需要安装上某仪器需要安装上3 3个晶体管个晶体管, ,若装上的都是新管若装上的都是新管, ,则仪器合格的概率为则仪器合格的概率为0.9;0.9;若装上的恰有若装上的恰有1 1个旧管个旧管, ,则仪器合格的概率为则仪器合格的概率为0.5;0.5;若装上的恰有若装上的恰有2 2个旧管个旧管, ,则仪器合格的概率则仪器合格的概率为为0.1.0.1.现从盒中任取现从盒中任取3 3个安装在个安装在仪器上仪器上,并已知仪器合格并已知仪器合格,问所安装问所安装的的3个都是新管的概率多大个都是新管的概率多大?
