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1、 106 高斯公式高斯公式 通量与散度通量与散度一、高斯公式一、高斯公式二、通量与散度二、通量与散度高斯公式的物理意义、散度散度的计算、通量、高斯公式的另一形式一、高斯公式 定理1 设空间闭区域W是由分片光滑的闭曲面S所围成，函数P(x, y, z)、Q(x, y, z)、R(x, y, z)在W上具有一阶连续偏导数，则有这里S是W的整个边界的外侧，cosa 、cosb 、cosg是S上点(x, y, z)处的法向量的方向余弦 这两个公式称为高斯公式证明 如图所示，把S看成由S1，S2和S3三部分组成，其中S1和S2的方程分别为zz1(x, y)和 zz2(x, y) ，S1 取下侧，S2 取
2、上侧，S3 取外侧设闭区域W在xOy面上的投影区域为D xy简要证明：x y zOWS2 ：zz2(x, y)S3S1 ：zz1(x, y)Dxy 根据三重积分的计算法，有 另一方面，有以上三式相加，得 类似地有把以上三式两端分别相加，即得高斯公式 解 这里P(yz)x，Q0，Rxy，由高斯公式，有x y zO113 解 设S1为zh(x2y2 h 2)的上侧，则S与S1一起构成一个闭曲面，记它们围成的空间闭区域为Wx y zOx2y2 h 2hS1S而因此 由高斯公式得二、通量与散度 高斯公式的 右 端 可 解 释 为 单 位 时 间 内 离 开 闭 区 域W 的 流 体 的 总 质 量 ，
3、 左端 可 解 释 为 分 布 在W 内 的 源 头 在 单 位 时 间 内 所 产 生 的 流 体 的 总质量高斯公式的物理意义： 在流速场 F P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)内 一 定 点M (x, y, z)附 近 任 取 一 包 围M 点 的 闭 曲 面S ， 设S 所 围 成 的区域为W，W的体积为V，则散度：表示单位时间从W的单位体积内所产生的流量，而表 示 在 点M 处 单 位 时 间 内 所 产 生 的 流 量 ， 我 们 称 其 为 向 量 场F 在点M的散度，记为divF，即 设P、Q、R具有一阶连续偏导数，则散度的计算： 设S是向量场F内的一片有向曲面，n是S上点(x, y, z)处的单位法向量，则通量：叫做向量场F通过曲面S向着指定侧的通量（或流量） 高斯公式的另一形式：
