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1、 第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 1.6 1.6 事件的独立性事件的独立性上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 1.6 1.6 事件的独立性事件的独立性 内容简介内容简介: : 事件事件B发生的概率受事件发生的概率受事件A发生的影响发生的影响, , 这是条件概率问题这是条件概率问题. . 如果事件如果事件B发生的概率不受事件发生的概率不受事件A发生的影响发生的影响, , 那么会那么会出现什么样的结果呢？这就是事件独立性问出现什么样的结果呢？这就是事件独立性问题题. . 我们学习如何判定事件具有独立性，并我们学习如何判定事件具有
2、独立性，并计算其概率计算其概率. 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 1.6.1 1.6.1 提出问题提出问题 “近朱者赤近墨者黑近朱者赤近墨者黑”说明什么呢？同班说明什么呢？同班同学的学习风气是否有影响呢？射手比赛为什同学的学习风气是否有影响呢？射手比赛为什么要戴耳机？么要戴耳机？如果事件如果事件B发生的概率不受事件发生的概率不受事件A发生的影响发生的影响, , 这就是事件独立性问题这就是事件独立性问题. . 1.6.2 1.6.2 预备知识预备知识 概率的性质，逆事件概率计算公式，古概率的性质，逆事件概率计算公式，古典概型，超几何分布典概型，超几何分布. . 上页上页下页下页
3、返回返回上页上页下页下页返回返回 1.6.3 问题提出问题提出 为此为此, 先看下例：先看下例： 引例引例 设某盒中有设某盒中有5 5件产品件产品, ,其中其中3 3件合格件合格品品,2,2件次品件次品. .现每次任取一件现每次任取一件, ,不放回地取两次不放回地取两次. . 求：求： (1) (1) A=第一次取到合格品第一次取到合格品 的概率；的概率； (2) (2) B=第一次取到合格品的条件下第第一次取到合格品的条件下第二次又取到合格品二次又取到合格品 的概率；的概率；(3) (3) C=第二次取到合格品第二次取到合格品 的概率的概率. . 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回
4、返回可知，可知， 由全概率公式得由全概率公式得 可见，可见， P(C|A)P(C). 上述问题是不放回抽样上述问题是不放回抽样. . 如果抽取方式改变成如果抽取方式改变成“从中任取两次从中任取两次, , 每次抽取一件每次抽取一件”这样的这样的放回抽放回抽样样， 则则可见可见上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 讲评讲评 这说明事件这说明事件A的发生不影响事件的发生不影响事件C的发生的发生的概率的概率. .从直观上讲从直观上讲, , 这是很自然的这是很自然的, ,因为是因为是放回抽样放回抽样, , 第一次抽到的产品实际上不影响第一次抽到的产品实际上不影响第二次抽到的产品第二次抽到的产
5、品. . 在这种场合在这种场合, , 可以说事可以说事件件A与事件与事件C的发生具有某种的发生具有某种“独立性独立性”. .上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 在上一节中在上一节中, ,我们知道了我们知道了条件概率条件概率这个这个概念概念, ,即在已知事件即在已知事件A发生的条件下发生的条件下, ,事件事件B发生的概率为发生的概率为 并且由此得到了并且由此得到了概率乘法公式概率乘法公式 P(AB)=P(A)P(B|A).上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 现在让我们提出一个问题：如果现在让我们提出一个问题：如果事件事件B发生与否不受事件发生与否不受事件A是否发生的影
6、响是否发生的影响, 那么会出现什么样的结果呢？为此那么会出现什么样的结果呢？为此, 需要把需要把“事件事件B发生与否不受事件发生与否不受事件A是否发生的影响是否发生的影响”这句话表达成数学的语言这句话表达成数学的语言. 事实上事实上, 事件事件B发生发生与否不受事件与否不受事件A的影响的影响, 也就意味着有也就意味着有 P(B|A)=P(B). 这时概率乘法公式就有了更自然的形式：这时概率乘法公式就有了更自然的形式： P(AB)=P(A)P(B).上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 定理定理2 如果事件如果事件A与与B相互独立相互独立, 则下列各则下列各对事件对事件A与与 , 与
7、与B, 与与 都是相互独立的都是相互独立的. 定义定义1 设设A,B是两个事件是两个事件, 如果满足等式如果满足等式 P(AB)=P(A)P(B), 则称事件则称事件A与与B是是相互独立的相互独立的, 简称简称A,B独立独立. 定理的正确性由两个定义得到定理的正确性由两个定义得到. 定理定理1 设设A,B是两事件是两事件, 且且P(A)0. 若若A,B相相互独立互独立, 则则 P(B|A)=P(B). 反之亦然反之亦然. 1. 随机事件独立性随机事件独立性 1.6.4 建立理论建立理论 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 定理定理2还可叙述为：若四对事件还可叙述为：若四对事件A与
8、与B, A与与 , 与与B, 与与 中有一对独立中有一对独立, 则另外三对也独立则另外三对也独立,即，这四对事件或者即，这四对事件或者都独立都独立, 或者或者都不独立都不独立.证证 由于由于 P( )= P(A- -B)= P(A- -AB)=P(A)- -P(AB) =P(A)- -P(A)P(B)=P(A)1- -P(B)=P(A)P( ),因此因此, A与与 相互独立相互独立.关于关于 与与B和和 与与 的独立性同理可证的独立性同理可证. 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 讲评讲评 关于独立性还要注意两点：关于独立性还要注意两点： (1) 不要把两个事件的独立性与互不不要
9、把两个事件的独立性与互不相容混为一谈相容混为一谈, 独立与互斥事件之间没有必然的独立与互斥事件之间没有必然的互推关系互推关系. 见见2003年考研数年考研数(四四)考题考题. 但有结论但有结论: 若若A与与B互斥互斥, 且且P(A)0, P(B)0, 则则A与与B不独立不独立. 用定义即证用定义即证. (2) 在实际应用中在实际应用中, , 对于事件的独立性对于事件的独立性, ,我我们常常不是根据定义来判断们常常不是根据定义来判断, ,而是根据一事件的而是根据一事件的发生是否影响另一事件的发生来判断发生是否影响另一事件的发生来判断. 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 例例1.6
10、.11.6.1 甲、乙两射手在同样条件下甲、乙两射手在同样条件下进行射击进行射击, ,他们击中目标的概率分别是他们击中目标的概率分别是0.9和和0.8. 如果两个射手同时发射如果两个射手同时发射, , 问击中目标问击中目标的概率是多少的概率是多少？ 又又 C =AB, 且且A, B相互独立相互独立, 故故 P(C)=P(AB)=P(A)+P(B)- -P(AB) =P(A)+P(B)- -P(A)P(B) =0.9+0.8- -0.90.8=0.98. 解解 设设 A=甲击中目标甲击中目标, B=乙击中目标乙击中目标, C=击中目标击中目标. 于是于是 P(A)=0.9,P(B)=0.8.上页
11、上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 定义定义2 设设A1,A2,An是是n(n2)个事件个事件, 如果对如果对于任意的于任意的两个不同两个不同事件事件Ai, Aj(ij)有有 P(AiAj)=P(Ai)P(Aj), 则称这则称这n个事件是个事件是两两独立的两两独立的. 事件的独立性概念事件的独立性概念, 可以推广到三个可以推广到三个和三个以上的事件的情形和三个以上的事件的情形. 定义定义3 设设A1,A2,An是是n(n2)个事件个事件, 如果对如果对于于任意的任意的k(kn)个事件个事件 都有都有 则称这则称这n个事件个事件相互独立相互独立.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页
12、返回返回 定理定理3 (1) 若事件若事件A1,A2,An(n2)相互独立相互独立,则其中任意则其中任意k(2kn)个事件也是相互独立的个事件也是相互独立的. (2) 若若n个事件个事件A1,A2,An(n2)相互独立相互独立, 则将则将A1,A2,An中任意多个事件换成它们的对中任意多个事件换成它们的对立事件立事件, 所得的所得的n个事件仍相互独立个事件仍相互独立. 证证 (1) 由独立性定义可直接推出由独立性定义可直接推出. (2) 对于对于n = 2时时, 在定理在定理2已作了证明已作了证明, 一一般的情况用数学归纳法容易证得般的情况用数学归纳法容易证得, 此处略此处略. 上页上页下页下
13、页返回返回上页上页下页下页返回返回 对于三个事件对于三个事件A1,A2,A3两两独立两两独立, , 仅要求仅要求下面三个等式同时成立下面三个等式同时成立： P(A1A2)=P(A1)P(A2); P(A1A3)=P(A1)P(A3); P(A2A3)=P(A2)P(A3). 若若A1,A2,A3相互独立相互独立, 除了上面三个等式外还除了上面三个等式外还要满足要满足 P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3) 成立成立.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 2. 试验独立性与伯努利试验试验独立性与伯努利试验 定义定义4 设设 表示第表示第i次随机次随机试验出现的随机事件，即
14、试验出现的随机事件，即Ci=Ai或或 i，若，若 则说则说n次试验是相互独立次试验是相互独立的的，简称，简称试验独立试验独立. 如果如果n重独立重复试验中，每次试验的可重独立重复试验中，每次试验的可能结果为两个：能结果为两个：A或或 ，则称这种试验为，则称这种试验为n重伯重伯努利试验努利试验.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 例例1.6.2 假设每次试验成功的概率为假设每次试验成功的概率为p(0p1). (1) 计算计算n次独立重复试验至少有一次次独立重复试验至少有一次成功的概率成功的概率 ； (2) 要求要求“独立重复试验直到至少有一独立重复试验直到至少有一次成功为止次成功为
15、止”的把握不低于概率的把握不低于概率qn，计算所，计算所需试验的次数需试验的次数n. 解解 记记Ai=第第i次试验成功次试验成功(i=1,2,n), A=n次试验至少有一次成功次试验至少有一次成功. 于是于是P(Ai)=p, P( )=1- p , 且且 A1, A2, An相互独立相互独立.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 (1) 由于由于 由由定理定理3的结论的结论(2)知知 也是相互也是相互独立的独立的, 所以所以 (2) 设所需试验的次数为设所需试验的次数为. 注意到注意到 A= A1A2An, 于是问题要求于是问题要求n满足满足 n=P(A)=P(A1A2An)qn.
16、上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 由问题由问题(1)知知P(A)=1-(1- p)n, 即要求即要求1-(1- p)n qn，也就是，也就是(1- p)n 1- qn. 解之解之, 得得 由此可见，当由此可见，当 时，时，n1. 这说这说明，只要一个事件明，只要一个事件A的概率不是的概率不是0，甚至非常，甚至非常小，当试验次数无限增大时，它小，当试验次数无限增大时，它(以概率以概率1)迟迟早会出现早会出现. 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 如果考虑每次试验成功的概率如果考虑每次试验成功的概率p =0.15，“至少成功一次至少成功一次”的把握不低于的把握不低于9
17、5%，则，则即至少需要进行即至少需要进行19次试验次试验. 讲评讲评 1. 小概率事件怎样认识才可以符合客小概率事件怎样认识才可以符合客观实际呢？观实际呢？ 2. “设计试验设计试验”要考虑哪些因素呢？要考虑哪些因素呢？上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 1.6.6 小结与思考小结与思考 我们讲了两个概念：事件的我们讲了两个概念：事件的两两独立两两独立和和相互独立相互独立. 对于这些概念对于这些概念, 要正确理解独立要正确理解独立性的含义性的含义. 独立性理论在概率论中占有重要的地独立性理论在概率论中占有重要的地位，实际问题往往需要应用独立性理论来分析位，实际问题往往需要应用独立
18、性理论来分析和解决。和解决。 1. 两两独立一定相互独立吗？反之如何？两两独立一定相互独立吗？反之如何？ 2. 独立一定互斥吗？反之如何？独立一定互斥吗？反之如何？ 1.6.7 1.6.7 习题布置习题布置 习题习题1.6 2、5、7、8.参考文献与联系方式参考文献与联系方式1 郑一,王玉敏,冯宝成. 概率论与数理统计. 大连理 工大学出版社，2015年8月.2 郑一,戚云松,王玉敏. 概率论与数理统计学习指 导书. 大连理工大学出版社，2015年8月.3 郑一,戚云松,陈倩华,陈健. 概率论与数理统计教 案 作业与试卷. 大连理工大学出版社，2015年8 月.4 王玉敏,郑一,林强. 概率论与数理统计教学实验 教材. 中国科学技术出版社， 2007年7月. 联系方式：
