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1、第十三章第十三章 非正弦周期电流电路和非正弦周期电流电路和信号的频谱信号的频谱13-1非正弦周期信号非正弦周期信号13-2周期函数分解为傅立叶级数周期函数分解为傅立叶级数13-3有效值、平均值和平均功率有效值、平均值和平均功率13-4非正弦周期电流电路的计算非正弦周期电流电路的计算13-5对称三相电路中的高次谐波对称三相电路中的高次谐波13-1非正弦周期信号非正弦周期信号 电路的分析计算，一般是先从理想情况入手，再逐渐推广到电路的分析计算，一般是先从理想情况入手，再逐渐推广到更广泛的实际情况的。因为理想情况具有很强的规律性和代表性，更广泛的实际情况的。因为理想情况具有很强的规律性和代表性，分析
2、起来比较容易、准确。分析起来比较容易、准确。 比如：比如： 直流电路：直流电路：可用可用KCL、KVL；叠加、戴维宁、特勒根等定理；叠加、戴维宁、特勒根等定理； 结点法、回路法、网孔法、戴维宁定理等方法。结点法、回路法、网孔法、戴维宁定理等方法。 正弦稳态电路正弦稳态电路:可用相量法化为相量模型，然后用适用于直可用相量法化为相量模型，然后用适用于直 流稳态电路的所有定律、定理和方法去求解。流稳态电路的所有定律、定理和方法去求解。 然而，实际生活中所遇到的电路并不是或不全是理想的电路，然而，实际生活中所遇到的电路并不是或不全是理想的电路，比如比如给定的电源激励信号给定的电源激励信号既不是直流信号
3、，也不是标准正弦信号既不是直流信号，也不是标准正弦信号，如何分析电路的响应如何分析电路的响应？比如给定？比如给定方波信号方波信号或或半波整流信号半波整流信号。 这就是本章要讲的非正弦周期电流电路。这就是本章要讲的非正弦周期电流电路。 处理办法是：处理办法是：利用傅立叶级数，将非正弦周期信号利用傅立叶级数，将非正弦周期信号分解为无分解为无穷多个不同频率的正弦信号的和穷多个不同频率的正弦信号的和，然后一一按正弦电路来分析计，然后一一按正弦电路来分析计算，最后叠加得到非正弦周期信号的响应。算，最后叠加得到非正弦周期信号的响应。有人会问：有人会问：分解成分解成无穷多个无穷多个不同频率的正弦量，如何求解
4、？不同频率的正弦量，如何求解？ 在工程上，总有一定的精度要求。一个非正弦周期函数分解在工程上，总有一定的精度要求。一个非正弦周期函数分解为为傅立叶级数傅立叶级数的和时，的和时，有一个特点有一个特点：每个正弦量的幅值大小随着每个正弦量的幅值大小随着频率的增加总是减小的。频率的增加总是减小的。因此，当计算前若干项达到了精度要求因此，当计算前若干项达到了精度要求时，后边的就不必计算了，将其忽略掉即可。时，后边的就不必计算了，将其忽略掉即可。 由傅立叶级数演变出一种由傅立叶级数演变出一种从时间域从时间域到到频率域频率域的变换的变换傅立傅立叶变换，叶变换，是信号分析与处理的极其重要的数学工具。通过傅立叶
5、是信号分析与处理的极其重要的数学工具。通过傅立叶变换，可以将随时间变化的函数（信号）变换为幅值随频率变化变换，可以将随时间变化的函数（信号）变换为幅值随频率变化的信号，可以方便地分析不同频率下信号的特点和贡献幅值大小。的信号，可以方便地分析不同频率下信号的特点和贡献幅值大小。 前边已经讲到过一种变换前边已经讲到过一种变换相量相量，是将正弦函数变换到复，是将正弦函数变换到复频域的相量的一种数学变换。再后边还要讲到频域的相量的一种数学变换。再后边还要讲到拉普拉斯变换拉普拉斯变换，也是一种数学上的变换，是专门解决动态电路问题的，拉普拉也是一种数学上的变换，是专门解决动态电路问题的，拉普拉斯变换可以将
6、一个高阶微分方程变换为一个代数方程，可以避斯变换可以将一个高阶微分方程变换为一个代数方程，可以避免求解微分方程的困难。免求解微分方程的困难。下面来看什么是下面来看什么是非正弦周期信号非正弦周期信号定义：定义： 随时间按非正弦规律周期变化的信号随时间按非正弦规律周期变化的信号(电流或电压电流或电压)，称，称为为非正弦周期信号。非正弦周期信号。锯齿波锯齿波 三角波三角波方波（矩形波）方波（矩形波）半波整流波形半波整流波形共同特点：共同特点： 均为周期函数，周期为均为周期函数，周期为T，f (t)= f (T+t)；非正弦。非正弦。 如何分析其加在线性电路中产生的电压电流和功率呢？如何分析其加在线性
7、电路中产生的电压电流和功率呢？可将可将其分解为傅立叶级数，即分解为若干不同频率的正弦函数的和。其分解为傅立叶级数，即分解为若干不同频率的正弦函数的和。分类：分类：1 1）偶函数）偶函数: :f(t)=f(-t)f(t)=f(-t) 4 4）偶谐波函数）偶谐波函数2 2）奇函数）奇函数: : f(t)=-f(-t)f(t)=-f(-t) 有原点对称性质。有原点对称性质。3 3）奇谐波函数，）奇谐波函数，有镜像对称性有镜像对称性质质 移动半周期后与横轴对称：移动半周期后与横轴对称：有纵轴对称的性质。有纵轴对称的性质。13-2周期函数分解为傅立叶级数周期函数分解为傅立叶级数一、傅立叶级数（高等数学内
8、容）一、傅立叶级数（高等数学内容）1、傅立叶级数表达式：、傅立叶级数表达式： 通常，一个周期为通常，一个周期为T的周期函数的周期函数fT(t)，在在-T/2，T/2上满上满足足狄里赫利条件狄里赫利条件，总可以分解为如下的正弦函数的和：，总可以分解为如下的正弦函数的和：其中：其中：T 为周期函数为周期函数fT(t)的周期；的周期； 为为基波角频率基波角频率 ； 可见：可见：周期函数周期函数fT(t)可可以展开成直流和无穷多个正以展开成直流和无穷多个正弦电流的代数和。弦电流的代数和。 问题：问题：哪些函数可以分解哪些函数可以分解为傅立叶级数呢？为傅立叶级数呢？ 电工技术中所遇到的信号电工技术中所遇
9、到的信号一般都满足狄里赫利条件，一般都满足狄里赫利条件，因此，电工中的信号一般都因此，电工中的信号一般都可以分解为傅立叶级数。可以分解为傅立叶级数。说明：说明：若若f(t)为为偶函数偶函数，则，则 其傅立叶级数为余弦级数，不含正弦项，只含有常数项和余弦其傅立叶级数为余弦级数，不含正弦项，只含有常数项和余弦(偶函数项偶函数项)，即：，即：若若f(t)为为奇函数奇函数，则，则 其傅立叶级数为正弦级数其傅立叶级数为正弦级数,不含余弦项不含余弦项,只含有正弦项只含有正弦项(奇函数项奇函数项) ，即：即：若若f(t)为非为非周期函数，则可将其看作是周期周期函数，则可将其看作是周期T的周期函数，的周期函数
10、，因此也可以分解为无穷级数。理论上必须取无穷多项才能准确因此也可以分解为无穷级数。理论上必须取无穷多项才能准确代替原函数，但工程上只要达到要求的精度，取前若干项也就代替原函数，但工程上只要达到要求的精度，取前若干项也就可以了。可以了。2、傅氏级数另一种表达式：、傅氏级数另一种表达式：将将 合并（进行和差化积）可得：合并（进行和差化积）可得：其中：如果如果f(t)为某电压波形，则为某电压波形，则f(t)可看作由可看作由直流成分直流成分、和、和不同频率的正弦成分不同频率的正弦成分的合的合成，其中成，其中频率为频率为的正弦成分称为的正弦成分称为基波基波成分成分，频率为，频率为2 、3 的正弦成分称为
11、的正弦成分称为2次、次、3次谐波成分次谐波成分。A0直流分量（成分）；直流分量（成分）；A1m基波幅值（振幅），最大值；基波幅值（振幅），最大值；1基波初相位，基波初相位， 基波角频率；基波角频率；A2m二次谐波幅值（振幅）；二次谐波幅值（振幅）；2二次谐波幅初相位。二次谐波幅初相位。 图图中中fT(t)是一个周期函数，非是一个周期函数，非正弦，若加在激励端分析其响应正弦，若加在激励端分析其响应是很困难的，可以将非正弦信号是很困难的，可以将非正弦信号分解为傅立叶级数。将其分解为分解为傅立叶级数。将其分解为f1(t) + f2(t) 。f1(t) 和和f2(t) 均为均为正弦信号可以分别求其响应
12、，而正弦信号可以分别求其响应，而后叠加得到后叠加得到 fT(t) 的响应。的响应。 3、谐波分析、谐波分析 信号分析信号分析是是信号处理信号处理的重要部分，其重要内容之一就是谐波的重要部分，其重要内容之一就是谐波分析。分析。 谐波分析谐波分析就是将某复杂的周期函数就是将某复杂的周期函数f(t)信号，分解为信号，分解为直流分直流分量量、基波基波、和、和各次谐波分量各次谐波分量之和的过程。之和的过程。 目的：目的： 分析分析谐波信号的成分谐波信号的成分和在总信号中和在总信号中所占的比例所占的比例，以及这，以及这些谐波的存在使得些谐波的存在使得基波信号发生畸变的程度基波信号发生畸变的程度。谐波分析在
13、电力系。谐波分析在电力系统中极其重要。统中极其重要。设某函数信号可分解为下式：则谐波的分类为：奇次谐波奇次谐波直流分量直流分量A0=a0基波分量，角频率基波分量，角频率二次谐波，角频率二次谐波，角频率2三次谐波，角频率三次谐波，角频率3k次谐波，角频率次谐波，角频率k高高次次谐谐波波偶次谐波偶次谐波4、傅立叶级数的特点、傅立叶级数的特点 k由小到大，最终会由小到大，最终会。所以傅立叶级数是无穷三角级数；。所以傅立叶级数是无穷三角级数；随着随着 k，Akm 。当。当k 时，时， Akm 0；工程上为了简化计算、降低成本，在数据处理和谐波分析时工程上为了简化计算、降低成本，在数据处理和谐波分析时通
14、常只取前若干项。具体取多少项，取决于两点：通常只取前若干项。具体取多少项，取决于两点：* 傅立叶级数的收敛速度；傅立叶级数的收敛速度；* 工程上允许的误差或精度要求。如工程上只分析到工程上允许的误差或精度要求。如工程上只分析到79次谐波。次谐波。二、求傅立叶级数二、求傅立叶级数方法：方法：1、用傅立叶积分公式运算；、用傅立叶积分公式运算； 2、查表法（工程上常用方法）。、查表法（工程上常用方法）。例题例题1、page319例例13-1：求图示周期性矩形波的傅立叶级数展求图示周期性矩形波的傅立叶级数展开式及其频谱。开式及其频谱。解：先分析波形特点：解：先分析波形特点：奇函数只需求出bn即可。当当
15、k为偶数时，为偶数时，cos(k)=1，bk=0；当当k为奇数时，为奇数时，cos(k)=1， 。所以可得：所以可得：若只取前若只取前3项，合成的波形如下图项，合成的波形如下图(a) ：（a）若取到若取到5次谐波，次谐波，合成的波形如下合成的波形如下图图(b)： 显然，取的谐显然，取的谐波次数越多，合波次数越多，合成的波形越接近成的波形越接近原来的矩形波。原来的矩形波。求频谱求频谱频谱不同频率的谐波成分振幅不同频率的谐波成分振幅(幅值幅值) 大小与频率的关系谱线。大小与频率的关系谱线。由上式可见：频率为由上式可见：频率为0的直流成分幅值为的直流成分幅值为0；频率为频率为1的基波成分幅值为：的基
16、波成分幅值为：频率为频率为31的的3次谐波成分幅值为：次谐波成分幅值为：频率为频率为51的的5次谐波成分幅值为：次谐波成分幅值为：13-3有效值、平均值和平均功率有效值、平均值和平均功率一、有效值一、有效值定义：非正弦周期电流非正弦周期电流 i(t)的有效值定义为：的有效值定义为：如果将如果将i(t)的的傅立叶级数展开为如下表达式：傅立叶级数展开为如下表达式：则则代入有效值的定义积分式可得：代入有效值的定义积分式可得：证明过程见书上page326。 其中，其中，I0、 I1 、 I2 、 I3 分别为电流分别为电流i(t)的的直流分量电流和基波、直流分量电流和基波、2次谐波、次谐波、3次谐波电
17、流的次谐波电流的有效值有效值。同理，非正弦周期电压的有效值为同理，非正弦周期电压的有效值为：二、平均值二、平均值定义：定义：电流的平均值为：电流的平均值为：例2：求正弦电流求正弦电流i(t)的平均值的平均值Iav，已知电流的有效值为已知电流的有效值为I。解：解：平均值是曲线下面积的平均。平均值是曲线下面积的平均。即：正弦电流有效值和平均即：正弦电流有效值和平均值的关系为：值的关系为：三、功率三、功率1 1） 瞬时功率：瞬时功率：若单口网络端口电流和电压为：若单口网络端口电流和电压为：则则瞬时功率为：瞬时功率为：2 2）平均功率：）平均功率：看一个例子：看一个例子：例例3：图示非正弦电路中，计算
18、电路中电阻图示非正弦电路中，计算电路中电阻R消耗的功率消耗的功率P。已知：已知：解：解：所以：由于是纯电阻电路，功率还可以用下式：由于是纯电阻电路，功率还可以用下式：13-4非正弦周期电流电路的计算非正弦周期电流电路的计算步骤：步骤：1、将非正弦周期电源分解为傅立叶级数，取几项依允许、将非正弦周期电源分解为傅立叶级数，取几项依允许的误差来决定；的误差来决定；2、分别求直流分量、基波和各次谐波分量的响应；需注意几点：、分别求直流分量、基波和各次谐波分量的响应；需注意几点：直流分量作用时，直流分量作用时，L、C的处理；的处理；各次谐波分量用各次谐波分量用相量法相量法求解，且求解，且XL、XC均与均
19、与有关有关。3、进行叠加。也要注意：进行叠加。也要注意：叠加应该是叠加应该是响应的瞬时值相加；响应的瞬时值相加；特别注意：特别注意：不同频率的正弦相量不能相加。不同频率的正弦相量不能相加。负载功率：为直流分量、基波和各次谐波分量在负载上消负载功率：为直流分量、基波和各次谐波分量在负载上消耗功率的总和。耗功率的总和。例题例题4、求求各支路电流各支路电流i(t)、 i1(t) 、 i2(t) ，并求并求R1吸收的有功功率。吸收的有功功率。解：解：1、分别计算各分量的响应：直流分量单独作用时：直流分量单独作用时：仅仅基波分量作用时：基波分量作用时：仅仅3次谐波作用时：次谐波作用时：2、叠加合成：、叠加合成：3、求、求R1吸收的功率吸收的功率PR1：或者：
