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1、 全称量词与存在量词全称量词与存在量词1.4.1 1.4.1 全称量词全称量词 思考：下列语句是命题吗？下列语句是命题吗？(1)与与(3)，(2)与与(4)之间有什么关系？之间有什么关系？(1)x3；(2)2x+1是整数；是整数；(3)对所有的对所有的x R，x3；(4)对任意一个对任意一个x Z，2x+1是整数是整数。语句语句(1)(2)(1)(2)不能判断真假，不是命题；不能判断真假，不是命题；语句语句(3)(4)(3)(4)可以判断真假，是命题。可以判断真假，是命题。全称量词、全称命题定义：全称量词、全称命题定义：短语短语“所有的所有的”“”“任意一个任意一个”在逻辑中通常叫在逻辑中通常
2、叫做全称量词，并用符号做全称量词，并用符号“ ”“ ”表示。表示。含有全称量词的命题，叫做全称命题。含有全称量词的命题，叫做全称命题。常见的全称量词还有常见的全称量词还有“一切一切” “每一个每一个” “任给任给” “所有的所有的”等等 。 全称命题举例：全称命题举例：全称命题符号记法：全称命题符号记法：命题：对任意的nZ，2n+1是奇数； 所有的正方形都是矩形。 通常，将含有变量通常，将含有变量x的语句用的语句用p(x), q(x), r(x),表表示，变量示，变量x的取值范围用的取值范围用M表示，那么，表示，那么，全称命题全称命题“对对M M中任意一个中任意一个x x，有，有p(x)p(x
3、)成立成立 ”可用符号简记为：可用符号简记为：读作读作“对任意对任意x x属于属于M M，有，有p(x)p(x)成立成立”。解：解：（1）假命题；）假命题； （2）真命题；）真命题； （3）假命题。）假命题。例例1 判断下列全称命题的真假：判断下列全称命题的真假：（1）所有的素数都是奇数；所有的素数都是奇数；（2） （3）对每一个无理数）对每一个无理数x，x2也是无理数。也是无理数。小小 结：结： 需要对集合需要对集合M中每个元素中每个元素x，证明，证明p(x)成立成立只需在集合只需在集合M中找到一个元素中找到一个元素x0，使得，使得p(x0)不成立即可不成立即可 （举反例）（举反例） 练习：
4、练习：1 判断下列全称命题的真假：判断下列全称命题的真假：（1）每个指数函数都是单调函数；）每个指数函数都是单调函数；（2）任何实数都有算术平方根）任何实数都有算术平方根；（3）真假假1.4.2 1.4.2 存在量词存在量词 思考：下列语句是命题吗？下列语句是命题吗？(1)与与(3)，(2)与与(4)之间有什么关系？之间有什么关系？(1)2x+1=3；(2)x能被能被2和和3整除；整除；(3)存在一个存在一个x0 R，使，使2x+1=3；(4)至少有一个至少有一个x0 Z，x能被能被2和和3整除。整除。语句语句(1)(2)(1)(2)不能判断真假，不是命题；不能判断真假，不是命题；语句语句(3
5、)(4)(3)(4)可以判断真假，是命题。可以判断真假，是命题。存在量词、特称命题定义：存在量词、特称命题定义：短语短语“存在一个存在一个”“”“至少有一个至少有一个”在逻辑中通在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号常叫做存在量词，并用符号“ ”“ ”表示。表示。含有存在量词的命题，叫做特称命题。含有存在量词的命题，叫做特称命题。常见的存在量词还有常见的存在量词还有“有些有些”“有一个有一个”“对某个对某个”“有的有的”等等 。 特称命题举例：特称命题举例：特称命题符号记法：特称命题符号记法：命题：有的平行四边形是菱形；命题：有的平行四边形是菱形； 有一个素数不是奇数。有一个素数不是奇数。 通常，
6、将含有变量通常，将含有变量x的语句用的语句用p(x), q(x), r(x),表表示，变量示，变量x的取值范围用的取值范围用M表示，那么，表示，那么，特称命题特称命题“存在存在M中的一个中的一个x0，使，使p(x0)成立成立 ”可用符号简记为：可用符号简记为：读作读作“存在一个存在一个x0属于属于M，使，使p(x0)成立成立”。解：解：（1）假命题；）假命题； （2）假命题；）假命题； （3）真命题。）真命题。例例2 判断下列特称命题的真假：判断下列特称命题的真假：（1）有一个实数）有一个实数x0，使，使x02+2x0+3=0；（2）存在两个相交平面垂直于同一条直线；）存在两个相交平面垂直于同
7、一条直线； （3）有些整数只有两个正因数。）有些整数只有两个正因数。小小 结：结：需要证明集合需要证明集合M中，使中，使p(x)成立的元素成立的元素x不存在。不存在。只需在集合只需在集合M中找到一个元素中找到一个元素x0，使得，使得p(x0) 成立即可成立即可 （举例证明）（举例证明）练练 习：习：2 判断下列特称命题的真假：判断下列特称命题的真假：（1）（2）至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；）至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；（3）解：解：（1）真命题；）真命题； （2）真命题；）真命题； （3）真命题。）真命题。小结：2 2、全称命题的符号记法。、全称命题的符号记法。 1
8、、全称量词、全称命题的定义。、全称量词、全称命题的定义。 3、判断全称命题真假性的方法。、判断全称命题真假性的方法。 4、存在量词、特称命题的定义。、存在量词、特称命题的定义。5、特称命题的符号记法。、特称命题的符号记法。 6、判断特称命题真假性的方法。、判断特称命题真假性的方法。 同一全称命题、特称命题，由于自然语言同一全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可能有不同的表述方法：的不同，可能有不同的表述方法：命题命题 全称命题全称命题特称命题特称命题所有的所有的xM，p(x)成立成立对一切对一切xM，p(x)成立成立对每一个对每一个xM，p(x)成成 立立任选一个任选一个xM，p(x)成成
9、 立立凡凡xM，都有，都有p(x)成立成立存在存在x0M，使，使p(x)成立成立至少有一个至少有一个x0M，使，使 p(x)成立成立对有些对有些x0M，使，使p(x)成成 立立对某个对某个x0M，使，使p(x)成成 立立有一个有一个x0M，使，使p(x)成成 立立表表述述方方法法1.4.3 1.4.3 含有一个量词含有一个量词 的命题的否定的命题的否定探究一：探究一：这三个全称命题的否定都变成了特称命题这三个全称命题的否定都变成了特称命题. 一般地，对于含有一个量词的一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定全称命题的否定, ,有下面的结论：有下面的结论：全称命题全称命题p: : xM , ,p
10、( (x) )，全称命题的否定是特称命题全称命题的否定是特称命题.它的否定它的否定p: : x0 0M, ,p( (x0 0) ) 结论结论 例例1 :写出下列全称命题的否定写出下列全称命题的否定,并判断其真并判断其真假：假：（1）p：x R, x-x+0;0;（2）q：所有的正方形都是矩形：所有的正方形都是矩形.假假假假答答:（1）p： xR, x-x+0; 例例3 :写出下列特称命题的否定：写出下列特称命题的否定：（1）p： x0R, x0+2x0+200;（2）p：有的三角形是等边三角形：有的三角形是等边三角形;（3）p：有一个素数含三个正因数：有一个素数含三个正因数. . （2）p：所
11、有的三角形都不是等边三角形：所有的三角形都不是等边三角形;（3）p：每一个素数都不含三个正因数：每一个素数都不含三个正因数. 例题例题 （3）r： 存在两个等边三角形存在两个等边三角形,它们不相似它们不相似;例例4 :写出下列命题的写出下列命题的否定否定,并判断其真假：并判断其真假：（1）p： xR, x+2x+20;（2）q：至少有一个实数：至少有一个实数x,使使x+1=0（3）r：任意两个等边三角形都是相似的：任意两个等边三角形都是相似的;（4）s：x0 0R, x0+2x0+2=0. . 假假假假真真假假答答:（1）p： xR, x-x+0; （3） xR, x=1; （4） xR, 是方程是方程 x-3x+2=0的根的根. 练习练习
