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1、 高等数学（高等数学（ 下）下） 河海大学理学院河海大学理学院第四节 傅里叶级数傅里叶级数 高等数学（下）高等数学（下）一、三角级数 三角函数系的正交性1.1.三角级数三角级数讨论三角级数，要研究它的收敛区域以及和讨论三角级数，要研究它的收敛区域以及和函数的性质函数的性质 . .显然，它的和函数一定是周期显然，它的和函数一定是周期函数函数 . .因此，因此，一个函数能展成三角级数的必一个函数能展成三角级数的必要条件是周期为要条件是周期为 2的函数的函数. . 高等数学（下）高等数学（下）2.2.三角函数系的正交性三角函数系的正交性三角函数系三角函数系 高等数学（下）高等数学（下） 高等数学（下
2、）高等数学（下）二、函数展开成傅里叶级数问题问题1. .给定一个给定一个 2周期的函数周期的函数 , , 若能展开成三若能展开成三角级数角级数, ,系数系数 是什么是什么?2. .展开的条件是什么展开的条件是什么? ?1.1.傅里叶系数傅里叶系数 高等数学（下）高等数学（下）假设三角级数可逐项积分假设三角级数可逐项积分 高等数学（下）高等数学（下） 高等数学（下）高等数学（下）傅里叶系数傅里叶系数 高等数学（下）高等数学（下）傅里叶级数傅里叶级数问题问题 高等数学（下）高等数学（下）2.2.狄利克雷狄利克雷( (DirichletDirichlet) )收敛定理收敛定理 高等数学（下）高等数学
3、（下）注意注意: : 函数展开成傅里叶级数的条件比展开函数展开成傅里叶级数的条件比展开成幂级数的条件低的多成幂级数的条件低的多. .解解所给函数满足狄利克雷收敛条件所给函数满足狄利克雷收敛条件. . 高等数学（下）高等数学（下） 0 高等数学（下）高等数学（下）和函数图象为和函数图象为所求函数的傅氏展开式为所求函数的傅氏展开式为Fourier级数收敛于级数收敛于 0 .因此因此Fouruer 级数的和函数级数的和函数 s (t) u (t) , tk 0 ，t k 高等数学（下）高等数学（下）注意注意对于非周期函数对于非周期函数, ,如果如果 只在区间只在区间 上有定义上有定义, ,并且满足狄
4、氏收敛条件并且满足狄氏收敛条件, ,只需作周只需作周期延拓，也可展开成傅氏级数期延拓，也可展开成傅氏级数. .解解所给函数满足狄利克雷收敛条件所给函数满足狄利克雷收敛条件. .将将 f (x) 以以 2为周期延拓为周期延拓到整个实数域上到整个实数域上 . 高等数学（下）高等数学（下） 高等数学（下）高等数学（下）所求函数的傅氏展开式为所求函数的傅氏展开式为 高等数学（下）高等数学（下）利用傅氏展开式求数项级数的和利用傅氏展开式求数项级数的和 高等数学（下）高等数学（下）注：注：注：注：若函数定义在不同的区间上，则若函数定义在不同的区间上，则若函数定义在不同的区间上，则若函数定义在不同的区间上，
5、则 f f 的的的的 F F 级数也不同级数也不同级数也不同级数也不同. .如如如如: : 设设设设 f (x) f (x) 以以以以 2 2 为周期为周期为周期为周期 , , f (x) f (x) x , x x , x , , , ,它的它的它的它的 F F 级数为级数为级数为级数为 f (x) f (x) x , xx , x 0 , 2) , 0 , 2) , 它的它的它的它的 F F 级数为级数为级数为级数为 高等数学（下）高等数学（下）例例例例3 3 设设设设 f(x)f(x)是周期为是周期为是周期为是周期为 2 2 的周期函数，它在的周期函数，它在的周期函数，它在的周期函数，它在( ( ， 上的表达式为上的表达式为上的表达式为上的表达式为设设设设 f(x)f(x)的的的的 FF级数级数级数级数的和的和的和的和函数为函数为函数为函数为 S(x)S(x)，则，则，则，则S(2 S(2 ) ) ？；？； S S( ( ) )？；？；？；？；13/2 22 2 2 2 12 高等数学（下）高等数学（下）试证明：试证明：证证例例4 4 高等数学（下）高等数学（下）结论可证结论可证. . 高等数学（下）高等数学（下）思考题思考题 高等数学（下）高等数学（下）思考题解答思考题解答 高等数学（下）高等数学（下）
