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1、第三章三角函数、解三角形第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数+k+k360360, ,kZkZ射线射线旋转旋转象限角象限角正角正角负角负角零角零角1.1.角的有关概念角的有关概念2.2.弧度的定义和公式弧度的定义和公式(1)(1)定义定义: :把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做_._.弧度记作弧度记作rad.rad.1 1弧度的角弧度的角角角的弧度数公式的弧度数公式 |=_(|=_(弧长用弧长用l表示表示) ) 角度与弧度的换算角度与弧度的换算 1 1=_ =_ radrad1 1 radrad=(_)=(_) 弧长公式弧长公式 弧长弧长l=_=_扇形
2、面积公式扇形面积公式 S=_=_S=_=_(2)(2)公式：公式：r|r| | 3.3.任意角的三角函数任意角的三角函数(1)(1)定义定义: :设角设角终边与单位圆交于终边与单位圆交于P(x,yP(x,y),),则则_=y,_=y,_=_=x,tanx,tan=_.=_.sinsincoscos如图所示，则正弦线为如图所示，则正弦线为_，余弦线为，余弦线为_，正切线为，正切线为_(_(用字用字母表示母表示).).(2)(2)三角函数线：三角函数线：MPMPOMOMATAT(3)(3)诱导公式诱导公式( (一一) )：sin(+ksin(+k2)=_2)=_，cos(+kcos(+k2)=_2
3、)=_，tan(+ktan(+k2)=_(2)=_(kZkZ).).(4)(4)同角三角函数的基本关系：同角三角函数的基本关系：平方关系平方关系:_,:_,商数关系商数关系:_.:_.sin sin coscos tan tan sinsin2 2+cos+cos2 2=1=1判断下面结论是否正确判断下面结论是否正确( (请在括号内打请在括号内打“”或或“”).).(1)(1)小于小于9090的角是锐角的角是锐角.( ).( )(2)(2)锐角是第一象限角，反之亦然锐角是第一象限角，反之亦然.( ).( )(3)(3)与与4545角终边相同的角可表示为角终边相同的角可表示为k k360360+
4、45+45，kZkZ或或2k+452k+45，kZkZ.( ).( )(4)(4)将分针拨快将分针拨快1010分钟，则分针转过的角度是分钟，则分针转过的角度是6060.( ).( )(5)(5)终边相同的角的同一三角函数值相等终边相同的角的同一三角函数值相等.( ).( )(6)(6)点点P(tanP(tan ，coscos ) )在第三象限，则角在第三象限，则角终边在第二象限终边在第二象限.( ).( )【解析解析】(1)(1)错误错误. .负角小于负角小于9090但它不是锐角但它不是锐角. .(2)(2)错误错误. .第一象限角不一定是锐角，如第一象限角不一定是锐角，如-350-350是第
5、一象限角，是第一象限角，但它不是锐角但它不是锐角. .(3)(3)错误错误. .不能表示成不能表示成2k+452k+45，kZkZ，即角度和弧度不能混，即角度和弧度不能混用用. .(4)(4)错误错误. .拨快分针时，分针顺时针旋转，应为拨快分针时，分针顺时针旋转，应为-60-60. .(5)(5)正确正确. .由诱导公式由诱导公式( (一一) )可知或由三角函数的定义可得可知或由三角函数的定义可得. .(6)(6)正确正确. .由已知得由已知得tan tan 0 0，coscos 0 0，所以，所以为第二象限为第二象限角角. .答案答案: :(1)(1) (2) (2) (3) (3) (4
6、) (4) (5) (6) (5) (6)1.1.终边落在第二象限的角可表示为终边落在第二象限的角可表示为( )( )(A)|90(A)|90+2k+2k180180+2k+2k，kZkZ ( (B)B)| +2k| +2k+2k+2k，kZkZ (C)|90(C)|90+k+k180180180180+k+k180180，kZkZ ( (D)D)| +| +kk + +kk，kZkZ 【解析解析】选选B.AB.A错，角度与弧度不能混用错，角度与弧度不能混用.C,D.C,D错，当错，当k k为奇数时为奇数时不成立，故选不成立，故选B.B.2.2.已知已知sin sin 0 0，tan tan
7、0 0，那么角，那么角是是( )( )(A)(A)第一象限角第一象限角 (B)(B)第二象限角第二象限角(C)(C)第三象限角第三象限角 (D)(D)第四象限角第四象限角【解析解析】选选C.C.由由sin sin 0 0，则，则的终边在三、四象限，或的终边在三、四象限，或y y轴轴负半轴负半轴. .由由tan tan 0 0，则，则的终边在一、三象限，故的终边在一、三象限，故是第三是第三象限角象限角. .3.3.已知已知2 2弧度的圆心角所对的弦长为弧度的圆心角所对的弦长为2 2，则这个圆心角所对的弧，则这个圆心角所对的弧长是长是( )( )(A)2 (B)sin 2(A)2 (B)sin 2
8、(C) (D)2sin 1(C) (D)2sin 1【解析解析】选选C.C.由由r= r= l=|=|r r=2r=2r可得可得l= =4.4.已知角已知角终边上一点终边上一点A(2,2)A(2,2)，则，则tan =_.tan =_.【解析解析】tan =tan =答案答案: :1 15.5.若若tan =2tan =2，则，则 =_.=_.【解析解析】又又tan =2tan =2，答案答案: :考向考向 1 1 三角函数的定义三角函数的定义【典例典例1 1】(1)(1)若若是第三象限的角，则是第三象限的角，则- - 是是( )( )(A)(A)第一或第二象限的角第一或第二象限的角(B)(B
9、)第一或第三象限的角第一或第三象限的角(C)(C)第二或第三象限的角第二或第三象限的角(D)(D)第二或第四象限的角第二或第四象限的角(2)(2013(2)(2013徐州模拟徐州模拟) )若点若点P(mP(m，n)n)是是1 1101 110角的终边上任意角的终边上任意一点，则一点，则 的值等于的值等于_._.(3)(3)已知角已知角的终边上一点的终边上一点P( m)P( m)，m0,m0,且且sin =sin =求求coscos ,tan,tan 的值的值. .【思路点拨思路点拨】(1)(1)由由为第三象限角可得为第三象限角可得- - 的范围，对的范围，对k k取不同的值可解取不同的值可解.
10、 .(2)(2)由由P P点在点在1 1101 110角的终边上可得角的终边上可得m m，n n的关系式，代入所求的关系式，代入所求式子可解式子可解. .(3)(3)先由先由sin = sin = 结合三角函数的定义建立关于参数结合三角函数的定义建立关于参数m m的方的方程，求出程，求出m m的值，再根据定义求的值，再根据定义求coscos ，tan tan 的值的值. .【规范解答规范解答】(1)(1)选选B.B.由由+2k+2k kZkZ, ,当当k k为偶数时在第一象限，当为偶数时在第一象限，当k k取奇数时在第三象限，故选取奇数时在第三象限，故选B.B.(2)(2)由由1 1101 1
11、10=3=3360360+30+30, ,答案答案: :(3)(3)由题设知由题设知 y=my=m，r r2 2=|OP|=|OP|2 2=( )=( )2 2+m+m2 2,O,O为原点，为原点，得得【互动探究互动探究】将本例题将本例题(3)(3)中中“sin = sin = ”改为改为“tan tan ”，如何求，如何求sin sin ，coscos ？【解析解析】由已知得，由已知得，tan =tan =【拓展提升拓展提升】用定义法求三角函数值的两种情况用定义法求三角函数值的两种情况(1)(1)已知角已知角终边上一点终边上一点P P的坐标，则可先求出点的坐标，则可先求出点P P到原点的距到
12、原点的距离离r r，然后用三角函数的定义求解，然后用三角函数的定义求解. .(2)(2)已知角已知角的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题相关问题. .【变式备选变式备选】已知角已知角的终边在直线的终边在直线3x+4y=03x+4y=0上，求上，求sin ,sin ,coscos ,tan,tan 的值的值. .【解析解析】角角的终边在直线的终边在直线3x+4y=03x+4y=0上，上，在角在角的终边上任取一点的终边上任取一点P(4t
13、,-3t)(t0),P(4t,-3t)(t0),则则x=4t,y=-3t,x=4t,y=-3t,考向考向 2 2 弧度制的应用弧度制的应用【典例典例2 2】(1)(1)已知扇形已知扇形OABOAB的圆心角的圆心角为为120120，半径，半径r=6r=6，求求 的长及扇形面积的长及扇形面积. .(2)(2)已知扇形周长为已知扇形周长为2020，当扇形的圆心角为多大时，它有最，当扇形的圆心角为多大时，它有最大面积，最大面积是多少？大面积，最大面积是多少？【思路点拨思路点拨】(1)(1)将圆心角化为弧度，再利用弧长、面积公式将圆心角化为弧度，再利用弧长、面积公式求解求解. .(2)(2)利用扇形周长
14、得半径与弧长的关系，再利用面积公式化为利用扇形周长得半径与弧长的关系，再利用面积公式化为关于半径关于半径r r的二次函数求最值的二次函数求最值. .【规范解答规范解答】(1)=120(1)=120= =l= =r r= = 6=46=4，S= S= lr r= = 446=12.6=12.(2)(2)由已知得由已知得l+2r=20+2r=20，S= S= lr r= (20-2r)= (20-2r)r r=10r-r=10r-r2 2=-(r-5)=-(r-5)2 2+25+25，所以所以r=5r=5时，时，S Smaxmax=25,=25,此时，此时，l=10=10，= =2(rad).=
15、=2(rad).【互动探究互动探究】本例题本例题(1)(1)中若求扇形的弧所在的弓形面积，又中若求扇形的弧所在的弓形面积，又将如何求解？将如何求解？【解析解析】由题由题(1)(1)解析得解析得S S弓弓=S=S扇形扇形-S-S= = 故弓形的面积为故弓形的面积为【拓展提升拓展提升】弧度制应用的关注点弧度制应用的关注点(1)(1)弧度制下弧度制下l=|=|r r，S= S= lr r，此时，此时为弧度为弧度. .在角度制下，在角度制下，弧长弧长l= = 扇形面积扇形面积S= S= 此时此时n n为角度，它们之间有着为角度，它们之间有着必然的联系必然的联系. .(2)(2)在解决弧长、面积及弓形面
16、积时要注意合理应用圆心角所在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形在的三角形. .【变式备选变式备选】已知半径为已知半径为1010的圆的圆O O中，弦中，弦ABAB的长为的长为10.10.(1)(1)求弦求弦ABAB所对的圆心角所对的圆心角的大小的大小. .(2)(2)求角求角所在的扇形的弧长所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积及弧所在的弓形的面积S.S.【解析解析】(1)(1)由由O O的半径的半径r=10=ABr=10=AB，知，知AOBAOB是等边三角形，是等边三角形，=AOB=60=AOB=60= =考向考向 3 3 同角三角函数关系式的应用同角三角函数关系式的应
17、用【典例典例3 3】(1)(2012(1)(2012辽宁高考改编辽宁高考改编) )已知已知sin sin -cos-cos = =(0(0，)，则，则sinsin=( )=( )(2)(2)已知已知tan =2.tan =2.求：求：4sin4sin2 2-3sin -3sin coscos -5cos -5cos2 2.【思路点拨思路点拨】(1)(1)利用平方关系与已知条件联立方程组可解利用平方关系与已知条件联立方程组可解. .(2)(2)将所求式子将所求式子“弦弦”化化“切切”，代入已知可求；也可由已，代入已知可求；也可由已知知“切切”化化“弦弦”后代入所求式消元求解后代入所求式消元求解.
18、 .将所求式子分母看作将所求式子分母看作“1 1”, ,利用平方关系利用平方关系“1 1”代换而后转代换而后转化为化为“切切”, ,代入已知求解代入已知求解. .【规范解答规范解答】(1)(1)选选C. C. 得得sinsin2 2+(sin - )+(sin - )2 2=1=1，即即2sin2sin2 2-2 sin +1=0-2 sin +1=0，即即( sin -1)( sin -1)2 2=0=0，sin =sin =方法二：由方法二：由tan =2tan =2得，得，sin =2cos sin =2cos ，故故4sin4sin2 2-3sin -3sin coscos -5cos
19、 -5cos2 2=1.=1.【拓展提升拓展提升】求解关于求解关于sin sin ，coscos 的齐次式问题的关注点的齐次式问题的关注点(1)(1)如果三角函数式不是关于如果三角函数式不是关于sin sin ，coscos 的齐次式，可通的齐次式，可通过化简转化为齐次式过化简转化为齐次式. .(2)(2)因为因为coscos 0, 0,所以可用所以可用coscosn n(nN(nN* *) )除之，这样可以将除之，这样可以将被求式化为关于被求式化为关于tan tan 的表达式，可整体代入的表达式，可整体代入tan =mtan =m，从而，从而完成被求式的求值运算完成被求式的求值运算. .(3
20、)(3)注意注意1=sin1=sin2 2+cos+cos2 2的应用的应用. .【变式训练变式训练】已知已知 x x0 0，sin sin x+cosx+cos x= x=(1)(1)求求sin sin x-cosx-cos x x的值的值. .(2)(2)求求tan xtan x的值的值. .【解析解析】(1)(1)由由sin sin x+cosx+cos x= x=平方得平方得sinsin2 2x+2sin x+2sin xcosxcos x+cos x+cos2 2x=x=即即2sin 2sin xcosxcos x= x=(sin (sin x-cosx-cos x) x)2 2=1
21、-2sin =1-2sin xcosxcos x= x=又又 x x0 0，sin xsin x0 0，coscos x x0 0，sin sin x-cosx-cos x x0 0，故故sin sin x-cosx-cos x= x=(2)(2)由由(1)(1)得得sin sin x-cosx-cos x= x=【易错误区易错误区】 三角函数定义中忽略分类讨论致误三角函数定义中忽略分类讨论致误【典例典例】(2013(2013天津模拟天津模拟) )已知角已知角的终边上一点的终边上一点P(3aP(3a，4a)(a0),4a)(a0),则则sin =_.sin =_.【误区警示误区警示】本题易出现
22、的错误是：由终边上一点求三角函数本题易出现的错误是：由终边上一点求三角函数时，由于没有考虑参数的取值情况，没有分类讨论，从而求出时，由于没有考虑参数的取值情况，没有分类讨论，从而求出r=5ar=5a，导致结果错误，导致结果错误. .【规范解答规范解答】x=3a,y=4a,r= =5|a|.x=3a,y=4a,r= =5|a|.(1)(1)当当a a0 0时，时，r=5ar=5a，sin = sin = (2)(2)当当a a0 0时，时，r=-5ar=-5a，sin =sin =sin =sin =答案答案: :【思考点评思考点评】1.1.任意角的三角函数的定义任意角的三角函数的定义对于三角函
23、数的定义，如果不是在单位圆中，设角对于三角函数的定义，如果不是在单位圆中，设角的终边经的终边经过点过点P(xP(x，y)y)，|OP|=r= |OP|=r= 则则sin = sin = coscos = =tan =tan =2.2.分类讨论思想的应用分类讨论思想的应用对于利用三角函数定义解题的题目中，如果含有参数，一定要对于利用三角函数定义解题的题目中，如果含有参数，一定要考虑运用分类讨论考虑运用分类讨论. .在分类讨论时要注意统一分类标准，明确在分类讨论时要注意统一分类标准，明确分类的对象，逐类讨论，最后归纳总结分类的对象，逐类讨论，最后归纳总结. .1.(20131.(2013合肥模拟合
24、肥模拟) )已知点已知点P(sinP(sin ，coscos ) )在第四象限，在第四象限，则角则角的终边在的终边在( )( )(A)(A)第一象限第一象限 (B)(B)第二象限第二象限(C)(C)第三象限第三象限 (D)(D)第四象限第四象限【解析解析】选选B.P(sinB.P(sin ，coscos ) )在第四象限，在第四象限，2.(20132.(2013滨州模拟滨州模拟)sin 330)sin 330等于等于( )( )【解析解析】选选B.sinB.sin 330 330=sin(360=sin(360-30-30)=-sin 30)=-sin 30= =3.(20123.(2012江
25、西高考改编江西高考改编) )若若 则则sin sin coscos =( )=( )【解析解析】选选D.D. sin sin coscos = =4.(20134.(2013枣庄模拟枣庄模拟) )若若( )( )，且，且sin = sin = 则则tantan=_.=_.【解析解析】( ( ),sin),sin = =答案答案: :5.(20125.(2012洛阳模拟洛阳模拟) )设扇形的周长为设扇形的周长为8 cm8 cm，面积为，面积为4 cm4 cm2 2，则扇，则扇形的圆心角的弧度数是形的圆心角的弧度数是_._.【解析解析】设扇形的半径为设扇形的半径为r cmr cm，弧长为，弧长为l
26、 cm cm，则则答案答案: :2 21.1.设设 则则x x的取值范的取值范围是围是( )( )【解析解析】选选B.B.由由|sin |sin x+cosx+cos x|=sin x|=sin x+cosx+cos x x，sin sin x+cosx+cos x0. x0.由三角函数线可知，当由三角函数线可知，当xx0 0， 时显然成立，时显然成立，故排除故排除C C，D D，又当，又当xx 时时sin sin x+cosx+cos x x0 0，故排除，故排除A A，故选故选B.B.2.2.已知已知tan tan ， 是关于是关于x x的方程的方程x x2 2-kx+k-kx+k2 2-3=0-3=0的两个根的两个根, ,且且33 则则sin sin +cos+cos =_. =_.【解析解析】33 sin sin 0 0，coscos 0 0，k k0 0，k=2k=2，sin sin coscos = 2sin = 2sin coscos =1, =1,sinsin2 2+cos+cos2 2+2sin +2sin coscos =2, =2,(sin (sin +cos+cos ) )2 2=2,=2,又又sin sin +cos+cos 0 0，sin sin +cos+cos = =答案答案: :
