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1、第第5 5节节 含参变量的积分含参变量的积分连续性、可积性、可导性连续性、可积性、可导性莱布尼茨公式莱布尼茨公式2013年5月1南京航空航天大学 理学院 数学系5.1 5.1 含参变量的（常义）积分含参变量的（常义）积分 1 积分限固定的情形积分限固定的情形 2 积分限变动的情形积分限变动的情形*5. 2 含参变量的反常（广义）积分含参变量的反常（广义）积分 1 含参变量的无穷积分含参变量的无穷积分 2 含参变量的瑕积分含参变量的瑕积分自学！自学！*5. 3 反常（广义）重积分反常（广义）重积分 1 无界区域的二重积分无界区域的二重积分-无穷积无穷积分分 2 无界函数的二重积分无界函数的二重积
2、分-瑕积分瑕积分2013年5月2南京航空航天大学 理学院 数学系若积分区域既是若积分区域既是X型区域又是型区域又是Y 型区域型区域 , 则有则有计算二重积分时已遇到计算二重积分时已遇到在许多问题中常常要遇到含参变量的积分在许多问题中常常要遇到含参变量的积分 例如，例如，2013年5月3南京航空航天大学 理学院 数学系又如求解积分方程又如求解积分方程其中其中j j (x)是可微的未知函数是可微的未知函数 - 函数函数B- 函数函数含参变量的反常积分的例子含参变量的反常积分的例子See 课本上册课本上册 P234积分限含参变量的积分例子积分限含参变量的积分例子2013年5月4南京航空航天大学 理学
3、院 数学系5.1 含参变量的常义积分含参变量的常义积分1 1 积分限固定的情形积分限固定的情形上的上的连续函数连续函数, , 则则积分积分确定了一个定义在确定了一个定义在c, d上的函数上的函数, 记作记作y 称为参变量称为参变量, , 上式称为上式称为含参变量的积分含参变量的积分. .含参积分的性质含参积分的性质 连续性连续性, 可积性可积性, 可微性可微性 : 定理定理1 1( (连续性连续性) ) 在在c, d上上连续连续. .-积分限固定！积分限固定！2013年5月5南京航空航天大学 理学院 数学系定理定理1 1( (连续性连续性) ) 在在c, d上上连续连续. .就有就有 2013
4、年5月6南京航空航天大学 理学院 数学系证证: :在在闭区域闭区域D D上连续上连续, ,所以一致连续所以一致连续, ,即即只要只要就有就有就有就有 这这说明说明2013年5月7南京航空航天大学 理学院 数学系定理定理1 1 表明表明, ,定义在定义在闭矩形域上的连续函数闭矩形域上的连续函数, ,其其极限运极限运 算与积分运算的顺序是可交换的算与积分运算的顺序是可交换的. . 同理可证同理可证, , 续续, , 则则含参变量的积分含参变量的积分由由连续性定理易得下述可积性定理连续性定理易得下述可积性定理: : 2013年5月8南京航空航天大学 理学院 数学系定理定理2 2( (可积性可积性)
5、)上上连续连续, ,同样同样, , 推论推论: : 在定理在定理2 2 的条件下的条件下, , 累次积分可交换求积顺序累次积分可交换求积顺序, ,即即2013年5月9南京航空航天大学 理学院 数学系例例1.1.解解: : 由由被积函数的特点想到积分被积函数的特点想到积分:2013年5月10南京航空航天大学 理学院 数学系定理定理3 3( (可微性可微性) )证证: : 令令函数函数, , 2013年5月11南京航空航天大学 理学院 数学系因上式因上式左边的变上限积分可导左边的变上限积分可导, , 因此右边因此右边 且有且有此此定理说明定理说明, , 被积函数及其偏导数在闭矩形域上连续被积函数及
6、其偏导数在闭矩形域上连续 时时, , 求导与求积运算是可以交换顺序的求导与求积运算是可以交换顺序的 . .证证: : 令令函数函数, , 2013年5月12南京航空航天大学 理学院 数学系又如求解积分方程又如求解积分方程其中其中j j (x)是可微的未知函数是可微的未知函数2013年5月13南京航空航天大学 理学院 数学系2 2 积分限变动的情形积分限变动的情形-积分限积分限变动变动的含参变量的常义积分的含参变量的常义积分在二重积分时遇到对于参变量的不同的值，积分限也在二重积分时遇到对于参变量的不同的值，积分限也不同的情形，这时积分限也是参变量的函数不同的情形，这时积分限也是参变量的函数.这样
7、这样,积积分分也是参变量也是参变量 的函数的函数.下面我们考虑这种更为广泛地下面我们考虑这种更为广泛地依赖于参变量的积分的某些性质依赖于参变量的积分的某些性质.2013年5月14南京航空航天大学 理学院 数学系定理定理4 4 ( (连续性连续性) )则则函数函数2013年5月15南京航空航天大学 理学院 数学系定理定理5 5( (可微性可微性) )中的可微函数中的可微函数, , 则则证证: :令令莱布尼茨公式莱布尼茨公式2013年5月17南京航空航天大学 理学院 数学系应用莱布尼茨公式，得应用莱布尼茨公式，得例例2 2设设求求解解2013年5月19南京航空航天大学 理学院 数学系1、含参变量的积分所确定的函数的定义、含参变量的积分所确定的函数的定义 ；小结2、含参变量的积分所确定的函数的连续性；、含参变量的积分所确定的函数的连续性；3、含参变量的积分所确定的函数的微分；、含参变量的积分所确定的函数的微分；4、莱布尼茨公式及其应用、莱布尼茨公式及其应用.2013年5月22南京航空航天大学 理学院 数学系练习题练习题2013年5月23南京航空航天大学 理学院 数学系练习题答案练习题答案2013年5月24南京航空航天大学 理学院 数学系
