《高考数学 2.11 导数在研究函数中的应用课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学 2.11 导数在研究函数中的应用课件.ppt（65页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第十一节导数在研究函数中的应用【知【知识梳理】梳理】1.1.必会知必会知识教材回扣填一填教材回扣填一填(1)(1)函数的函数的导数与数与单调性的关系性的关系: :函数函数y=f(x)y=f(x)在某个区在某个区间内可内可导: :若若f(x)0,f(x)0,则f(x)f(x)在在这个区个区间内内_;_;若若f(x)0,f(x)0,则f(x)f(x)在在这个区个区间内内_;_;若若f(x)=0,f(x)=0,则f(x)f(x)在在这个区个区间内是内是_._.单调递增增单调递减减常数函数常数函数(2)(2)函数的极函数的极值与与导数数: :函数的极小函数的极小值与极小与极小值点点: :若函数若函数f
2、(x)f(x)在点在点x=ax=a处的函数的函数值f(a)f(a)比它在点比它在点x=ax=a附近其他点的函数附近其他点的函数值_,_,且且f(a)=0,f(a)=0,而且在而且在x=ax=a附近的左附近的左侧_,_,右右侧_,_,则a a点叫做函数的极小点叫做函数的极小值点点,f(a),f(a)叫做函数的极小叫做函数的极小值; ;函数的极大函数的极大值与极大与极大值点点: :若函数若函数f(x)f(x)在点在点x=bx=b处的函数的函数值f(b)f(b)比它在点比它在点x=bx=b附近其他点的函数附近其他点的函数值_,_,且且f(b)=0,f(b)=0,而且在而且在x=bx=b附近的左附近的
3、左侧_,_,右右侧_,_,则b b点叫做函数的极大点叫做函数的极大值点点,f(b),f(b)叫做函数的极大叫做函数的极大值. .都小都小f(x)0f(x)00都大都大f(x)0f(x)0f(x)f(x)00.(f(x)0.() )(2)(2)如果函数在某个区如果函数在某个区间内恒有内恒有f(x)=0,f(x)=0,则函数函数f(x)f(x)在此区在此区间内没有内没有单调性性.(.() )(3)(3)导数数为零的点不一定是极零的点不一定是极值点点.(.() )(4)(4)三次函数在三次函数在R R上必有极大上必有极大值和极小和极小值.(.() )【解析】【解析】(1)(1)错误错误. .函数函数
4、f(x)f(x)在区间在区间(a,b)(a,b)上单调递增上单调递增, ,则则f(x)0.f(x)0.故故f(x)0f(x)0是是f(x)f(x)在区间在区间(a,b)(a,b)上单调递增的充分不必要条件上单调递增的充分不必要条件. .(2)(2)正确正确. .如果函数在某个区间内恒有如果函数在某个区间内恒有f(x)=0,f(x)=0,则则f(x)f(x)为常数函数为常数函数. .如如f(x)=3,f(x)=3,则则f(x)=0,f(x)=0,函数函数f(x)f(x)不存在单调性不存在单调性. .(3)(3)正确正确. .导数为零的点不一定是极值点导数为零的点不一定是极值点. .如函数如函数y
5、=xy=x3 3在在x=0x=0处导数为零处导数为零, ,但但x=0x=0不是函数不是函数y=xy=x3 3的极值点的极值点. .(4)(4)错误错误. .对于三次函数对于三次函数y=axy=ax3 3+bx+bx2 2+cx+d,y=3ax+cx+d,y=3ax2 2+2bx+c.+2bx+c.当当(2b)(2b)2 2- -12ac0,12ac0,即即b b2 2-3ac0-3ac0,f(x)0,解得解得xln2,xln2,则函数则函数f(x)=ef(x)=ex x-2x-2x的单的单调递增区间为调递增区间为(ln2,+).(ln2,+).答案答案: :(ln2,+)(ln2,+)(2)(
6、2)(选修修2-2P29T2(2)2-2P29T2(2)改改编) )函数函数f(x)=xf(x)=x3 3-12x-12x的极大的极大值是是_._.【解析】【解析】由题意得由题意得f(x)=3xf(x)=3x2 2-12,-12,令令f(x)=0,f(x)=0,解得解得x=-2x=-2或或x=2.x=2.当当xx(-,-2)(-,-2)时时,f(x)0,f(x),f(x)0,f(x)单调递增单调递增; ;当当x(-2,2)x(-2,2)时时,f(x)0,f(x),f(x)0,f(x),f(x)0,f(x)单调递增单调递增. .因此因此f(x)f(x)的极大的极大值为值为f(-2)=16.f(-
7、2)=16.答案答案: :16163.3.真真题小小试感悟考感悟考题试一一试(1)(2014(1)(2014新新课标全国卷全国卷)若函数若函数f(x)=kx-ln xf(x)=kx-ln x在区在区间(1,+)(1,+)上上单调递增增, ,则k k的取的取值范范围是是( () )A.(-,-2 B.(-,-1A.(-,-2 B.(-,-1C.2,+) D.1,+)C.2,+) D.1,+)【解析】【解析】选选D.D.因为因为f(x)f(x)在在(1,+)(1,+)上递增，所以上递增，所以f(x)0f(x)0恒成立，因恒成立，因为为f(x)=kx-ln xf(x)=kx-ln x，所以，所以f(
8、x)=k- 0f(x)=k- 0，即，即k .k .因为因为x x1,1,所以所以 1,1,所以所以k1.k1.所以所以kk1,+),1,+),选选D.D.(2)(2013(2)(2013浙江高考浙江高考) )已知函数已知函数y=f(x)y=f(x)的的图象是下象是下列四个列四个图象之一象之一, ,且其且其导函数函数y=f(x)y=f(x)的的图象如象如图所示所示, ,则该函数的函数的图象是象是( () )【解析】【解析】选选B.B.因为因为f(x)0(x(-1,1),f(x)0(x(-1,1),所以所以f(x)f(x)在在(-1,1)(-1,1)为增函数为增函数, ,又又x(-1,0)x(-
9、1,0)时时,f(x),f(x)为增函数为增函数,x(0,1),x(0,1)时时,f(x),f(x)为减函数为减函数, ,所以所以选选B.B.(3)(2013(3)(2013浙江高考浙江高考) )已知已知e e为自然自然对数的底数数的底数, ,设函数函数f(x)=(ef(x)=(ex x-1) -1) (x-1)(x-1)k k(k=1,2),(k=1,2),则( () )A.A.当当k=1k=1时,f(x),f(x)在在x=1x=1处取到极小取到极小值B.B.当当k=1k=1时,f(x),f(x)在在x=1x=1处取到极大取到极大值C.C.当当k=2k=2时,f(x),f(x)在在x=1x=
10、1处取到极小取到极小值D.D.当当k=2k=2时,f(x),f(x)在在x=1x=1处取到极大取到极大值【解题提示】【解题提示】当当k=1,2k=1,2时时, ,分别验证分别验证f(1)=0f(1)=0是否成立是否成立, ,根据函数的单根据函数的单调性判断是极大值点还是极小值点调性判断是极大值点还是极小值点. .【解析】【解析】选选C.C.当当k=1k=1时时,f(x)=e,f(x)=ex x(x-1)+e(x-1)+ex x-1,-1,此时此时f(1)0,f(1)0,故排除故排除A,B;A,B;当当k=2k=2时时,f(x)=e,f(x)=ex x(x-1)(x-1)2 2+(e+(ex x
11、-1)(2x-2),-1)(2x-2),此时此时f(1)=0,f(1)=0,在在x=1x=1附附近左侧近左侧,f(x)0,f(x)0,f(x)0,所以所以x=1x=1是是f(x)f(x)的极小值的极小值点点. .考点考点1 1利用利用导数研究函数的数研究函数的单调性性【典例【典例1 1】(1)(2015(1)(2015太原模太原模拟) )设f(x)f(x)是定是定义在在R R上的奇函数上的奇函数, ,且且f(2)=0,f(2)=0,当当x0x0时, ,有有 0 0f(x)0的解集的解集是是( () )A.(-2,0)(2,+) B.(-2,0)(0,2)A.(-2,0)(2,+) B.(-2,
12、0)(0,2)C.(-,-2)(2,+) D.(-,-2)(0,2)C.(-,-2)(2,+) D.(-,-2)(0,2)(2)(2014(2)(2014湖南高考改编湖南高考改编) )已知常数已知常数a0a0，函数，函数f(x)=ln(1+ax)-f(x)=ln(1+ax)-讨论讨论f(x)f(x)在区间在区间(0,+)(0,+)上的单调性上的单调性. .【解题提示】【解题提示】(1)(1)先判断函数先判断函数 的单调性、奇偶性，求出的单调性、奇偶性，求出 0 0的的解集，再根据解集，再根据x x2 2f(x)=xf(x)=x3 3 的奇偶性，写出解集的奇偶性，写出解集. .(2)(2)先求先
13、求f(x)f(x)，分，分a1a1与与0a10a0(x(0,+)f(x)0(x(0,+)，此时，此时f(x)f(x)在区间在区间(0(0，+)+)上单调递上单调递增；当增；当0a10a1时，时，由由f(x)=0f(x)=0得得x x1 1= (x= (x2 2=- =- 舍去舍去).).当当x(0,xx(0,x1 1) )时，时，f(x)0;f(x)0.f(x)0.故故f(x)f(x)在区间在区间(0(0，x x1 1) )上单调递减，在区间上单调递减，在区间(x(x1 1,+),+)上单调递增上单调递增. .综上所述，当综上所述，当a1a1时，时，f(x)f(x)在区间在区间(0(0，+)+
14、)上单调递增；当上单调递增；当0a10a0).f(x)= (x0).当当a=0a=0时，时，f(x)= f(x)= 恒大于恒大于0 0，f(x)f(x)在定义域上单调递增在定义域上单调递增. .当当a0a0时，时，f(x)=f(x)=f(x)f(x)在定义域上单调递增在定义域上单调递增. .当当a0a0时，时，a(x+1)a(x+1)2 2+2x=0+2x=0对应的对应的=(2a+2)=(2a+2)2 2-4a-4a2 2=8a+4=8a+4，当，当aa时，时，00，导函数图象开口向下，导函数图象开口向下，f(x)f(x)在定义域上单调递减在定义域上单调递减. .当当 a0 a00，x x1,
15、21,2 对称轴对称轴方程为方程为 . .且且x x1 1xx2 2=10=10，所以，所以f(x)f(x)在在(0(0， ) )上单调递减，上单调递减，( )( )上单调递增，上单调递增， 上单调递减上单调递减. .综上所述，综上所述，a0a0时，时，f(x)f(x)在定义域上单调递增；在定义域上单调递增；a a 时，时，f(x)f(x)在定义域上单调递减；在定义域上单调递减； a0 a0f(x)0或或f(x)0f(x)0f(x)0或或f(x)0f(x)0f(x)0或或f(x)0f(x)g( )= g(x)g( )= ，所以，所以b .b .【加固【加固训练】1.1.在区在区间(-1,1)(
16、-1,1)内不是增函数的是内不是增函数的是( () )A.y=eA.y=ex x+x B.y=sin x+x B.y=sin xC.y=xC.y=x3 3-6x-6x2 2+9x+2 D.y=x+9x+2 D.y=x2 2+x+1+x+1【解析】【解析】选选D.AD.A选项中选项中y=ey=ex x+1+1，xRxR时都有时都有y0y0，所以，所以y=ey=ex x+x+x在在R R上为单调递增函数，所以在上为单调递增函数，所以在(-1(-1，1)1)上是增函数；上是增函数；B B选项中选项中(-1(-1，1)1) ，而，而y=sin xy=sin x在在 上为增函数，所以上为增函数，所以y=
17、sin xy=sin x在在(-1(-1，1)1)上是增函数；上是增函数；C C选项选项y=3xy=3x2 2-12x+9-12x+9，令，令y=3xy=3x2 2-12x+90-12x+90得得x3x3或或x1x0y=2x+10，得，得x x ，所以有，所以有y=xy=x2 2+x+1+x+1在在( ( ，+)+)上为增函数，所以本题选上为增函数，所以本题选D.D.2.(20142.(2014广东高考广东高考) )已知函数已知函数f(x)= xf(x)= x3 3+x+x2 2+ax+1(aR)+ax+1(aR)，求函数，求函数f(x)f(x)的单调区间的单调区间. .【解析】【解析】因为因
18、为f(x)=xf(x)=x2 2+2x+a+2x+a，二次方程，二次方程x x2 2+2x+a=0+2x+a=0的判别式的判别式=4-4a.=4-4a.当当a1a1时，时，00，f(x)0f(x)0，此时，此时(-(-，+)+)是函数是函数f(x)f(x)的单调递的单调递增区间；增区间；当当a1a00，f(x)=0f(x)=0有两个实数根有两个实数根x=-1+ x=-1+ 和和x=-1- x=-1- ，此时此时(-,-1- ),(-1+ ,+)(-,-1- ),(-1+ ,+)是函数是函数f(x)f(x)的单调递增区间，的单调递增区间，(-1- (-1- ，-1+ )-1+ )是函数是函数f(
19、x)f(x)的单调递减区间的单调递减区间. .综上，当综上，当a1a1时，函数时，函数f(x)f(x)只有单调递增区间只有单调递增区间(-,+)(-,+)；当；当a1a0),xR,(a0),xR,则f(x)f(x)的极大的极大值为. .【解题提示】【解题提示】根据求极值的步骤直接求解即可根据求极值的步骤直接求解即可. .【规范解答】【规范解答】由已知由已知, ,有有f(x)=2x-2axf(x)=2x-2ax2 2(a0),(a0),令令f(x)=0,f(x)=0,解得解得x=0x=0或或x= .x= .当当x x变化时变化时,f(x),f(x),f(x),f(x)的变化情况如下表的变化情况如
20、下表: :可知可知, ,当当x= x= 时时,f(x),f(x)有极大值有极大值, ,且极大值为且极大值为f( )=f( )=答案答案: :x x(-,0)(-,0)0 0（0, 0, ）（ ,+ ,+）f(x)f(x)- -0 0+ +0 0- -f(x)f(x)减减0 0增增减减命命题角度角度2:2:利用利用导数研究函数的最数研究函数的最值【典例【典例3 3】(2014(2014江西高考江西高考) )已知函数已知函数f(x)=(4xf(x)=(4x2 2+4ax+a+4ax+a2 2) ,) ,其中其中a0.a0f(x)0得得0 0x x2x2，所以所以f(x)f(x)的单调递增区间为的单
21、调递增区间为0, )0, )，(2,+).(2,+).(2)f(x)=(2)f(x)=令令f(x)=0f(x)=0得得x= x= 或或x=x=f(x)f(x)在定义域上的单调性为在定义域上的单调性为0, 0, 上单调递增，上单调递增，( , )( , )上单调上单调递减，递减， ,+) ,+)上单调递增上单调递增. .从而需要讨论从而需要讨论 , , 与与1 1及及4 4的大小的大小. .当当 4 4或或 1 1，即即a-40a-40或或-2a0-2a0时，时，f(x)f(x)在在1,41,4上单调递增，上单调递增，故故f(x)f(x)的最小值为的最小值为f(1)=4+4a+af(1)=4+4
22、a+a2 2=8=8，解得，解得a=-22 a=-22 ，均需舍去；，均需舍去；当当 1 1且且 4 4，即即-10a-8-10a-8时，时，f(x)f(x)在在1,41,4上单调递减，上单调递减，故故f(x)f(x)的最小值为的最小值为f(4)=2(64+16a+af(4)=2(64+16a+a2 2)=8)=8，解得解得a=-10a=-10或或a=-6(a=-6(舍去舍去) )；当当1 41 4，即，即-8a-2-8a-2时，时，f(x)f(x)的最小值为的最小值为f( ),f( ),因为因为f( )=0f( )=0，所以不成立；，所以不成立；当当1 41 4，即，即-40a-10-40a
23、0,ln20,所以所以f(x)0,f(x)0,即即f(x)f(x)在在0,10,1上是增函数上是增函数, ,所以所以f(1)f(1)最大且为最大且为a+b+2=4a+b+2=4a+b=2a+b=2;又当又当-1x0-1x0时时,3ax,3ax2 20,20,2x xln20,ln20,所以所以f(x)0,f(x)0,即即f(x)f(x)在在-1,0-1,0上上是增函数是增函数, ,所以所以f(-1)f(-1)最小且为最小且为-(a+b)+ ,-(a+b)+ ,将将代入代入得得f(-1)=f(-1)=-2+ =- ,-2+ =- ,故选故选A.A.2.(20152.(2015东北北师大附中模大附
24、中模拟) )函数函数f(x)=xf(x)=x3 3-3x+m-3x+m恰好有两个零点恰好有两个零点, ,则m m的的值为. .【解析】【解析】因为因为f(x)=xf(x)=x3 3-3x+m,-3x+m,所以所以f(x)=3xf(x)=3x2 2-3,-3,由由f(x)0,f(x)0,得得x1x1或或x-1,x-1,此时函数单调递增此时函数单调递增, ,由由f(x)0,f(x)0,得得-1x1,-1x0,f(x)0,即在即在(-,- ),(1,+)(-,- ),(1,+)上上, ,函数函数f(x)f(x)单调递增单调递增, ,若若f(x)0,f(x)0),f(x)=1- (x0),因而因而f(
25、1)=1f(1)=1，f(1)=-1f(1)=-1，所以曲线所以曲线y=f(x)y=f(x)在点在点A(1A(1，f(1)f(1)处的切线方程为处的切线方程为y-1=-(x-1)y-1=-(x-1)，即，即x+y-x+y-2=0.2=0.(2)(2)由由f(x)= x0f(x)= x0知：知：当当a0a0时，时，f(x)0f(x)0，函数，函数f(x)f(x)为为(0,+)(0,+)上的增函数，函数上的增函数，函数f(x)f(x)无极值；无极值；当当a0a0时，由时，由f(x)=0f(x)=0，解得，解得x=a.x=a.又当又当x(0,a)x(0,a)时，时，f(x)0;f(x)0.f(x)0
26、.从而函数从而函数f(x)f(x)在在x=ax=a处取得极小值，且极小值为处取得极小值，且极小值为f(a)=a-aln af(a)=a-aln a，无极，无极大值大值. .综上，当综上，当a0a0时，函数时，函数f(x)f(x)无极值；无极值；当当a0a0时，函数时，函数f(x)f(x)在在x=ax=a处取得极小值处取得极小值a-aln aa-aln a，无极大值，无极大值. .规范解答规范解答2 2 导数在研究函数中的应用导数在研究函数中的应用【典例】【典例】(12(12分分)(2013)(2013山东高考山东高考) )设函数设函数f(x)=f(x)=(1)(1)求求f(x)f(x)的单调区
27、间，最大值的单调区间，最大值. .(2)(2)讨论关于讨论关于x x的方程的方程|ln x|=f(x)|ln x|=f(x)根的个数根的个数. .解题导思解题导思 研读信息研读信息 快速破题快速破题规范解答规范解答 阅卷标准阅卷标准 体会规范体会规范(1)(1)因为因为f(x)= +c,f(x)= +c,所以所以f(x)=(1-2x)ef(x)=(1-2x)e-2x-2x，11分分令令(1-2x)e(1-2x)e-2x-2x=0=0，解得，解得x=x=当当x x0f(x)0，f(x)f(x)为单调增函数，为单调增函数，当当x x 时，时，f(x)0f(x)0ln x0，则，则g(x)=ln x
28、-xeg(x)=ln x-xe-2x-2x-c-c，所以所以g(x)=eg(x)=e-2x-2x( +2x-1)( +2x-1)，因为，因为x(1,+)x(1,+)，所以，所以2x-102x-10， 0 0，于是于是g(x)0g(x)0，因此，因此g(x)g(x)在在(1,+)(1,+)上为单调递增函数上为单调递增函数.6.6分分()()当当x(0,1)x(0,1)时，时，ln x0ln x1x01x0，于是于是- -1- -1，又因为，又因为2x-112x-11，所以，所以- +2x-10- +2x-10，即即g(x)0g(x)0,-c0,即即c-ec-e-2-2时时,g(x),g(x)没有
29、零点没有零点, ,故关于故关于x x的方程的方程|ln x|=f(x)|ln x|=f(x)根的个数为根的个数为0;0;当当g(1)=-eg(1)=-e-2-2-c=0,-c=0,即即c=-ec=-e-2-2时时,g(x),g(x)只有一个零点只有一个零点, ,故关于故关于x x的方程的方程|ln x|=f(x)|ln x|=f(x)根的个数为根的个数为1;91;9分分当当g(1)=-eg(1)=-e-2-2-c0,-c-ec-e-2-2时时, ,a.a.当当x(1,+)x(1,+)时时, ,由由(1)(1)知知g(x)=ln x-xeg(x)=ln x-xe-2x-2x-cln x-( e-
30、cln x-( e-1-1+c)+c)ln x-1-c,ln x-1-c,要使要使g(x)0,g(x)0,只需要只需要ln x-1-c0,ln x-1-c0,即即x(ex(e1+c1+c,+).10,+).10分分b.b.当当x(0,1)x(0,1)时时, ,由由(1)(1)知知g(x)=-ln x-xeg(x)=-ln x-xe-2x-2x-c-ln x-( e-c-ln x-( e-1-1+c)+c)-ln x-1-c,-ln x-1-c,要使要使g(x)0,g(x)0,只需要只需要-ln x-1-c0,-ln x-1-c0,即即x(0,ex(0,e-1-c-1-c),),所以所以c-ec
31、-e-2-2时时,g(x),g(x)有两个零点有两个零点, ,故关于故关于x x的方程的方程|ln x|=f(x)|ln x|=f(x)根的个数是根的个数是2.112.11分分综上所述综上所述, ,当当c-ec-ec-e-2-2时时, ,方程方程|ln x|=f(x)|ln x|=f(x)根的个数为根的个数为2.122.12分分高考状元高考状元 满分心得分心得 把握把握规则争取争取满分分1.1.注意答注意答题的的规范性范性在解在解题过程中程中, ,注意答注意答题要求要求, ,严格按照格按照题目及相关知目及相关知识的要求答的要求答题, ,如本例中的求如本例中的求单调区区间, ,要写成区要写成区间
32、的形式的形式. .另外另外还要注意要注意:(1):(1)如果如果一个函数有多个一个函数有多个单调区区间, ,区区间之之间不能用不能用“”“”连接接, ,可用可用“,”“,”“和和”连接接.(2).(2)注意注意“方程的根方程的根”与与“函数的零点函数的零点”,”,求解求解时应还原原为题目要求目要求. .2.2.关关键步步骤要全面要全面阅卷卷时, ,主要看关主要看关键步步骤、关、关键点点, ,有关有关键步步骤、关、关键点点则得分得分, ,没有没有要相要相应扣分扣分, ,所以解所以解题时要写全关要写全关键步步骤, ,踩点得分点得分, ,对于于纯计算算过程程等非得分点的步等非得分点的步骤可可简写或不写写或不写, ,如本如本题第第(2)(2)问对g(x)g(x)求求导数的数的计算算过程程, ,可以省略可以省略. .
