《（北京专用）高考数学一轮复习 第六章 数列 第二节 等差数列及其前n项和课件 理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（北京专用）高考数学一轮复习 第六章 数列 第二节 等差数列及其前n项和课件 理（29页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二节等差数列及其前n项和总纲目录教材研读1.等差数列的有关概念考点突破2.等差数列的有关公式3.等差数列的常用性质考点二等差数列的判断与证明考点二等差数列的判断与证明考点一等差数列的基本运算考点三等差数列的性质及最值考点三等差数列的性质及最值教材研读教材研读1.等差数列的有关概念等差数列的有关概念(1)定义:如果一个数列从第第2项项起,每一项与它的前一项的差差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.符号表示为an+1-an=d(nN*,d为常数).(2)等差中项:数列a,A,b成等差数列的充要条件是A=,其中A叫做a,b的等差中项等差中项.2.等差数列的有关公式等差数列的有关公式(1)
2、通项公式:an=a1+(n-1)d.(2)前n项和公式:Sn=na1+d=.3.等差数列的常用性质等差数列的常用性质(1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,mN*).(2)若an为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,nN*),则ak+al=am+an.(3)若an是等差数列,公差为d,则a2n也是等差数列,公差为2d.(4)若an,bn(项数相同)是等差数列,则pan+qbn(p,qR)也是等差数列.(5)若an是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,(k,mN*)是公差为md的等差数列.1.(2017北京房山一模,2)已知an为等差数列,Sn为其前n项和,若a1=
3、2,S3=15,则a6=()A.17B.14C.13D.3A答案答案AS3=3a2=15,a2=5,又a1=2,d=3,a6=a1+5d=17,故选A.2.已知等差数列an前9项的和为27,a10=8,则a100=()A.100B.99C.98D.97C答案答案C设an的公差为d,由等差数列前n项和公式及通项公式,得解得an=a1+(n-1)d=n-2,a100=100-2=98.故选C.3.设等差数列an的前n项和为Sn,若a3+a9=4,则S11等于()A.12B.18C.22D.44C答案答案Ca3+a9=2a6=4,a6=2,则S11=11a6=22,故选C.4.数列an为等差数列,满
4、足a2+a4+a20=10,则数列an的前21项和等于()A.B.21C.42D.84B答案答案Ba2+a4+a20=10,=10,即a2+a20=2.S21=21,故选B.5.(2016北京,12,5分)已知an为等差数列,Sn为其前n项和.若a1=6,a3+a5=0,则S6=6.答案答案6解析解析设等差数列an的公差为d,a1=6,a3+a5=0,6+2d+6+4d=0,d=-2,S6=66+(-2)=6.6.(2017北京东城一模,11)已知an为等差数列,Sn为其前n项和.若S3=12,a2+a4=4,则S6=6.答案答案6解析解析由题意知S6=66+(-2)=6.考点一等差数列的基本
5、运算考点一等差数列的基本运算考点突破考点突破典例典例1(1)记Sn为等差数列an的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则an的公差为()A.1B.2C.4D.8(2)等差数列an中,am=,ak=(mk),则该数列前mk项之和为()A.-1B.C.D.+1答案答案(1)C(2)C解析解析(1)等差数列an中,S6=48,则a1+a6=16=a2+a5,又a4+a5=24,所以a4-a2=2d=24-16=8,得d=4,故选C.(2)设等差数列an的公差为d,由等差数列的性质及已知条件得d=.a1+(m-1)d=am,a1=-(m-1)=.amk=+(mk-1)=1,该数列前mk项之和Sm
6、k=mk=.方法技巧方法技巧解决等差数列运算问题的思想方法(1)方程思想:等差数列的基本量为首项a1和公差d,通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程(组)求解.(2)整体思想:当所给条件只有一个时,可将已知和所求都用a1,d表示,寻求两者间的联系,整体代换即可求解.(3)利用性质:运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程.1-1(2018北京海淀高三期末,10)已知公差为1的等差数列an中,a1,a2,a4成等比数列,则an的前100项的和为5050.答案答案5050解析解析a1,a2,a4成等比数列,=a1a4,即(a1+1)2=a1(a1+3),解得a1=1,S100=1001+
7、1=5050.1-2(2017北京朝阳一模,11)已知an为等差数列,Sn为其前n项和.若S6=51,a1+a9=26,则数列an的公差d=3,通项公式为an=3n-2.答案答案3;3n-2解析解析由题意知an=1+3(n-1)=3n-2.典例典例2已知数列an的前n项和Sn=(n=1,2,3,).(1)求a1的值;(2)求证:(n-2)an+1=(n-1)an-1(n2);(3)判断数列an是否为等差数列,并说明理由.考点二等差数列的判断与证明考点二等差数列的判断与证明解析解析(1)由题意知S1=,即a1=,解得a1=1.(2)证明:因为Sn=(n=1,2,3,),所以Sn-1=(n2).因
8、为an=Sn-Sn-1(n2),所以an=(n2),即(n-2)an+1=(n-1)an-1(n2).(3)数列an是等差数列.理由如下:由题意知Sn-2=(n3),所以an-1=Sn-1-Sn-2=(n3).结合(2)可得an-an-1=(n3),即(n-2)an-2(n-2)an-1+(n-2)an-2=0(n3).因为n3,所以an-2an-1+an-2=0(n3),即an-an-1=an-1-an-2(n3),所以数列an是以1为首项,a2-1为公差的等差数列.方法技巧方法技巧1.等差数列的识别依据(1)若数列an是等差数列,则数列an+b仍为等差数列,公差为d.(2)若bn,an(项
9、数相同)都是等差数列,则anbn仍为等差数列.(3)an=pn+q(p,q为常数)an是等差数列.(4)数列an的前n项和Sn=An2+Bn(A,B为常数)an是等差数列.2.证明等差数列的两种基本方法(1)定义法:证明an-an-1=d(n2,d为常数).(2)等差中项法:证明2an=an-1+an+1(n2).2-1在数列an中,a1=1,3anan-1+an-an-1=0(n2).(1)证明:数列是等差数列;(2)求数列an的通项公式.解析解析(1)证明:3anan-1+an-an-1=0(n2),3anan-1=an-1-an,=3,-=3(n2),又=1,数列是以1为首项,3为公差的
10、等差数列.(2)由(1)可得=1+3(n-1)=3n-2,an=(nN*).典例典例3(1)在等差数列an中,a1=29,S10=S20,则数列an的前n项和中最大的为()A.S15B.S16C.S15和S16D.S17(2)设等差数列an的前n项和为Sn,已知前6项和为36,最后6项的和为180,Sn=324(n6),则n=.(3)等差数列an的前m项和为30,前3m项和为90,则它的前2m项和为.考点三等差数列的性质及最值考点三等差数列的性质及最值解析解析(1)S10=S20,10a1+d=20a1+d,又a1=29,d=-2,Sn=29n+(-2)=-n2+30n=-(n-15)2+22
11、5.当n=15时,Sn取得最大值.(2)由题意知a1+a2+a6=36,an+an-1+an-2+an-5=180,+得(a1+an)+(a2+an-1)+(a6+an-5)=6(a1+an)=216,a1+an=36,又Sn=324,18n=324,n=18.(3)由Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列,可得2(S2m-Sm)=Sm+S3m-S2m,即S2m=60.答案答案(1)A(2)18(3)60方法技巧方法技巧1.等差数列和的性质(1)S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1).(2)S2n-1=(2n-1)an.(3)当项数为偶数2n时,S偶-S奇=nd;项数为奇数2n
12、-1时,S奇-S偶=an,S奇S偶=n(n-1).2.求等差数列前n项和Sn最值的两种方法(1)函数法:等差数列前n项和Sn=An2+Bn,通过配方,借助求二次函数最值的方法求解.(2)邻项变号法:a10,d0时,满足的项数m使得Sn取得最大值Sm;当a10时,满足的项数m使得Sn取得最小值Sm.3-1设Sn是等差数列an的前n项和,若=,则=()A.1B.-1C.2D.答案答案A=1.A3-2(2014北京,12,5分)若等差数列an满足a7+a8+a90,a7+a100,即a80.又a8+a9=a7+a100,a90,a3=-3,a2a4=5,则an=2n-9;记an的前n项和为Sn,则Sn的最小值为-16.答案答案2n-9;-16解析解析a2a4=(-3-d)(-3+d)=5,又d0,d=2,an=-3+2(n-3)=2n-9.a1=a3-2d=-7,Sn=-7n+2=n2-8n=(n-4)2-16,故当n=4时,Sn的最小值为-16.
