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1、黑龙江省哈尔滨市六校2023-2024学年高一下学期期末联考数学试卷学校：_姓名：_班级：_考号：_一、选择题1若复数，则( )A.B.10C.D.202设A，B是直线l上两点，则“A，B到平面a的距离相等”是“”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3已知一组数据：55，64，92，76，88，67，76，90，则这组数据的第80百分位数是( )A.90B.88C.82D.764在中，角A,B,C的对边分别为a，b，c，若，则( )A.B.C.D.5已知非零向量，满足，且向量在向量上的投影向量为，则与的夹角为( )A.B.C.D.6已知某正六棱柱的所
2、有棱长均为2，则该正六棱柱的外接球的表面积为( )A.B.C.D.7用2，3，4这3个数组成没有重复数字的三位数，则事件“这个三位数是偶数”发生的概率为( )A.B.C.D.8在中，内角A,B,C的对边分别为a，b，c，且，则的最大值是( )A.B.C.D.二、多项选择题9已知i是虚数单位，则下列说法正确的是( )A.B.复数的虚部为5C.若复数,满足，则D.若复数z满足，则的最大值为310在中，角A,B,C的对边分别为a，b，c，则下列对的个数的判断正确的是( )A.当，时，有两解B.当，时，有一解C.当，时，无解D.当，时，有两解11如图，在直三棱柱中，D是边的中点，过点A，B，D作截面交
3、于点E，则( )A.B.平面平面C.平面D.点到截面的距离为三、填空题12若事件A与B互斥，且,，则_.13已知中，,D为上一点，且,，垂足为E，则_.四、双空题14如图，用无人机测量一座小山的海拔与该山最高处的古塔的塔高，无人机的航线与塔在同一铅直平面内，无人机飞行的海拔高度为，在C处测得塔底A（即小山的最高处）的俯角为，塔顶B的俯角为，向山顶方向沿水平线飞行到达D处时，测得塔底A的俯角为，则该座小山的海拔为_m；古塔的塔高为_m.五、解答题15已知向量，.（1）若A,B,C三点共线，求m的值；（2）若四边形为矩形，求的值.16如图，在三棱锥中，E是线段的中点，F是线段上的一点.（1）若平面
4、，试确定F在上的位置，并说明理由；（2）若，证明：.17在中，内角A,B,C的对边分别为a，b，c，且.（1）求角B的大小；（2）若，点D是线段上的一点，且,，求的周长.18为了估计一批产品的质量状况，现对100个产品的相关数据进行综合评分（满分100分），并制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为80分及以上的产品为一等品.（1）求图中a的值，并求综合评分的平均数；（2）用样本估计总体，以频率作为概率，按分层随机抽样的思想，先在该条生产线中随机抽取5个产品，再从这5个产品中随机抽取2个产品记录有关数据，求这2个产品中最多有1个一等品的概率；（3）已知落在的平均综合评分是54，方差是3，落在
5、的平均综合评分为63，方差是3，求落在的总平均综合评分和总方差.19如图，在直三棱柱中，点D，E分别为棱BC，的中点，点F是线段CE的中点.（1）求证：平面；（2）求直线DF与平面ABF所成角的正弦值；（3）求二面角的余弦值.参考答案1答案：A解析：.故选：A.2答案：B解析：若，则A，B两点到平面的距离相等，但反之不成立，因为当A，B分别在平面a的两侧，且满足A，B到平面的距离相等时，直线l与平面相交.故选：B.3答案：A解析：将数据从小到大排列为：55，64，67，76，76，88，90，92，又，所以这组数据的第80百分位数是90.故选：A4答案：C解析：由余弦定理得，因为，所以.故选：
6、C.5答案：C解析：因为，且，所以，即夹角为，故选：C.6答案：D解析：由正六棱柱的性质可得O为其外接球的球心（如图）,由于底面为正六边形，所以为等边三角形，故,所以,所以为外接球的半径，故外接球表面积为，故选：D7答案：C解析：将2，3，4组成一个没有重复数字的三位数的情况有，共6种，其中偶数有，共4种，所以事件“这个三位数是偶数”发生的概率为.故选：C.8答案：D解析：因为，由正弦定理得，所以，所以，由余弦定理得，当且仅当，即时，等号成立，所以，所以当时，取得最大值，此时,，所以的最大值是.故选：D.9答案：AD解析：对于A，故A正确；对于B，复数的虚部为-5，故B错误；对于C，设,，则，
7、而,，故C错误；对于D，因为，所以，所以的最大值为3，故D正确.故选：AD.10答案：AC解析：对于A，由正弦定理得，即，所以，又因为,，所以或，有两解，故A正确；对于B，由正弦定理得，无解，故B错误；对于C，由正弦定理得，无解，故C正确；对于D，由正弦定理得，又，所以B为锐角，此三角形只有一解，故D错误.故选：AC.11答案：ABD解析：如图，在直三棱柱中，平面，平面，则有平面，平面，平面平面，可得，故A正确；D是的中点，又，则，平面，平面，平面，又，平面，平面，又平面，平面平面，故B正确；因为，平面，所以与平面不平行，故C错误；设与交于点O，则平面，又因为D为的中点，所以点到截面的距离等于
8、点到截面的距离.在中，由等面积法可得，所以点到截面的距离为，故D正确.故选：ABD.12答案：0.6/解析：因为事件A与B互斥，且,，所以.故答案为：0.613答案：/解析：如图，以E为坐标原点，,所以直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，因为,，所以，则，又，过D作于F，易知，所以,得到，设，则,，所以，故答案为：.14答案：；/解析：如图，在，由正弦定理，又，所以，即m，延长交于H，则m，又无人机飞行的海拔高度为，所以该座小山的海拔为，在中，,，又，由正弦定理有，得到m，故答案为：，.15答案：（1）；（2）解析：（1）因为，所以，.又A,B,C三点共线，所以，所以，解得.（2）由，若四边
9、形为矩形，则.即，解得.由，得解得，.所以.16答案：（1）F是的中点，理由见解析；（2）证明见解析解析：（1）F是的中点，理由如下：若平面，由平面，平面平面，得.又E是的中点，F在上，F是的中点.（2）取的中点G，连接，G为中点，平面，平面，平面，.17答案：（1）；（2）解析：（1）因为，由正弦定理得，又，所以，又，所以，即，又，所以，所以，又，所以.（2）由题意知，又，所以，即.在中，由余弦定理得，即，所以，解得或（舍），所以的周长为.18答案：（1），平均数为81；（2）；（3），解析：（1）由频率和为1，得，解得；设综合评分的平均数为，则，所以综合评分的平均数为81.（2）由题意，抽
10、取5个产品，其中一等品有3个，非一等品有2个，一等品记为a、b、c，非一等品记为D、E；从这5个产品中随机抽取2个，试验的样本空间，；记事件“抽取的这2个产品中最多有1个一等品”，则，所以所求的概率为.（3）由题意可知：落在的频率为0.05，落在的频率为0.1，所以，.19答案：（1）证明见解析；（2）；（3）解析：（1）在直三棱柱中，平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以.在矩形中，点E是棱的中点，所以，所以是等边三角形，又点F是线段CE的中点，所以，又，平面，所以平面.（2）在平面BCE内，过点D作BF的垂线，垂足为H，如图所示.由（1）知平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，所以是直线DF与平面ABF所成角.在中，所以，又点D为棱BC的中点，所以.因为平面，又平面，所以，所以，.在中，由余弦定理得，所以，即直线DF与平面ABF所成角的正弦值为.（3）在平面内，过点F作AC的垂线，垂足为O，在平面ABC内，过O作AD的垂线，垂足为G，连接FG，如图所示.因为平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，又，所以为二面角的平面角.在中，.因为平面，平面，所以，又易得，所以，由等面积法可知.在中，所以，所以，即二面角的余弦值为.
