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1、第一节第一节 向量及其运算向量及其运算一、向量概念一、向量概念二、向量的线性运算二、向量的线性运算三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影六、小结六、小结 思考题思考题8/1/20241向量：向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量. .向量表示：向量表示：模长为模长为1 1的向量的向量. .零向量：零向量：模长为模长为0 0的向量的向量. .| |向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小. .单位向量：单位向量：一、向量概念一、向量概念或或或或或或8/1/20242自由向量：自由向量
2、：不考虑起点位置的向量不考虑起点位置的向量. .相等向量：相等向量：大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量. .负向量：负向量：大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量. .向径：向径：空间直角坐标系中任一点空间直角坐标系中任一点 与原点与原点构成的向量构成的向量. . 8/1/202431 加法：加法：（平行四边形法则）平行四边形法则）特殊地：若特殊地：若 分为同向和反向分为同向和反向（平行四边形法则有时也称为三角形法则）（平行四边形法则有时也称为三角形法则）二、向量的线性运算二、向量的线性运算1、向量的加减法、向量的加减法8/1/20244向量的加法符合下列运算规律：向量
3、的加法符合下列运算规律：（1 1）交换律：）交换律：（2 2）结合律：）结合律：（3）2 减减法法8/1/202452、向量与数的乘法、向量与数的乘法8/1/20246数与向量的乘积符合下列运算规律：数与向量的乘积符合下列运算规律：（1 1）结合律：）结合律：（2 2）分配律：）分配律：两个向量的平行关系两个向量的平行关系8/1/20247证证充分性显然；充分性显然；必要性必要性两式相减，得两式相减，得8/1/20248按照向量与数的乘积的规定，按照向量与数的乘积的规定，上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量一个与原向量同方
4、向的单位向量.8/1/20249例例1 1 化简化简解解8/1/202410例例2 2 试用向量方法证明：对角线互相平分的试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形四边形必是平行四边形.证证与与 平行且相等平行且相等, 结论得证结论得证.8/1/202411向量在轴上的值：向量在轴上的值：8/1/2024128/1/202413横轴横轴纵轴纵轴竖轴竖轴定点定点空间直角坐标系空间直角坐标系 三个坐标轴的正方向三个坐标轴的正方向符合符合右手系右手系.三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系8/1/202414面面面面面面空间直角坐标系共有空间直角坐标系共有八个卦限八个卦限8/1/20241
5、5空间的点空间的点有序数组有序数组特殊点的表示特殊点的表示:坐标轴上的点坐标轴上的点坐标面上的点坐标面上的点8/1/202416向量的坐标分解式：向量的坐标分解式：任给向量任给向量 ，对应有点，对应有点 ,使使 ，如图所示，设，如图所示，设则则上式称为向量上式称为向量 的的坐标分解式坐标分解式， 称为向量称为向量 沿三个坐标轴方向的沿三个坐标轴方向的分向量分向量。8/1/202417向量向量 称为点称为点 关于原点关于原点 的的向径向径。定义：定义：向量向量 的的坐标坐标：向量向量 的的坐标表达式坐标表达式：点点 的的坐标坐标：记作：记作：8/1/202418四、利用坐标作向量的线性运算四、利
6、用坐标作向量的线性运算设：设：则则8/1/202419解解设设为直线上的点，为直线上的点，8/1/202420由题意知：由题意知：8/1/202421五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影8/1/202422空间两点间距离公式空间两点间距离公式特殊地：若两点分别为特殊地：若两点分别为8/1/202423解解原结论成立原结论成立.8/1/202424解解设设P点坐标为点坐标为所求点为所求点为8/1/202425空间两向量的夹角的概念：空间两向量的夹角的概念：类似地，可定义类似地，可定义向量与一轴向量与一轴或或空间两轴空间两轴的夹角的夹角.特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定特殊
7、地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在它们的夹角可在0与与 之间任意取值之间任意取值.8/1/202426非零向量非零向量 的的方向角方向角：非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角. .8/1/202427由图分析可知由图分析可知向向量量的的方方向向余余弦弦方向余弦通常用来表示向量的方向方向余弦通常用来表示向量的方向. .向量模长的坐标表示式向量模长的坐标表示式8/1/202428当当 时，时，向量方向余弦的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式8/1/202429方向余弦的特征方向余弦的特征特殊地：单位向量的方向余弦为特殊地：单位向量的方
8、向余弦为8/1/202430解解所求向量有两个，一个与所求向量有两个，一个与 同向，一个反向同向，一个反向或或8/1/202431解解8/1/2024328/1/202433空间一点在轴上的投影空间一点在轴上的投影8/1/202434空间一向量在轴上的投影空间一向量在轴上的投影8/1/202435关于向量的投影的性质：关于向量的投影的性质：证证性质性质18/1/202436性质性质1 1的说明：的说明：投影为正；投影为正；投影为负；投影为负；投影为零；投影为零；(4) 相等向量在同一轴上投影相等；相等向量在同一轴上投影相等；8/1/202437（可推广到有限多个）（可推广到有限多个）性质性质2
9、性质性质38/1/202438解解8/1/202439六、小结六、小结向量的概念向量的概念向量的加减法向量的加减法向量与数的乘法向量与数的乘法（注意与标量的区别）注意与标量的区别）（平行四边形法则）平行四边形法则）（注意数乘后的方向）注意数乘后的方向）8/1/202440空间直角坐标系空间直角坐标系 空间两点间距离公式空间两点间距离公式（注意它与平面直角坐标系的（注意它与平面直角坐标系的区别区别）（轴、面、卦限）（轴、面、卦限）8/1/202441向量在轴上的投影与投影定理向量在轴上的投影与投影定理.向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标.向量的模与方向余弦的坐标
10、表示式向量的模与方向余弦的坐标表示式.（注意分向量与向量的坐标的注意分向量与向量的坐标的区别区别）作业：作业：P P1212 习题习题8-18-15 5、1212、1313、15158/1/202442思考题思考题2、在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个、在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？卦限？1、已知平行四边形、已知平行四边形ABCD的对角线的对角线试用试用 表示平行四边形四边上对应的向量表示平行四边形四边上对应的向量.8/1/202443思考题思考题2解答解答A:; B:; C:; D:;思考题思考题1解答解答8/1/202444练练 习习 题题 18/1/2024458/1/202446练习题练习题1答案答案8/1/202447 1 1、下列各点所在象限分别是：、下列各点所在象限分别是：一、填空题一、填空题练习题练习题28/1/2024488/1/2024498/1/202450练习题练习题2答案答案8/1/202451
