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1、第九章第九章第九章第九章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分Green公式的实质公式的实质之间的联系，即在平面闭区域之间的联系，即在平面闭区域D沟通了沿沟通了沿闭曲线的第二类曲线积分闭曲线的第二类曲线积分与与二重积分二重积分第三节第三节 Green公式及其应用公式及其应用 上的二重积分可以通过闭区域上的二重积分可以通过闭区域D的边界的边界曲线曲线L上的第二类曲线积分来表达。上的第二类曲线积分来表达。1第三节第三节 Green公式及其应用公式及其应用 小结小结 思考题思考题 作业作业Green(格林格林)公式公式平面曲线积分与路径无关的平面曲线积分与路径无关
2、的条件条件二元函数的全微分求积二元函数的全微分求积格林格林 Green.G. (17931841) 英国数学家、物理学家英国数学家、物理学家第九章第九章第九章第九章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分21. 区域连通性的分类区域连通性的分类 设设D为平面区域为平面区域, ,复连通区域复连通区域单连通区域单连通区域一、一、GreenGreen公式公式否则称为否则称为则称则称D为平面为平面复连通区域复连通区域. .成的部分都属于成的部分都属于D,如果如果D内任一闭曲线所围内任一闭曲线所围单连通区域单连通区域, ,GreenGreen公式及其应用公式及其应用3G
3、reenGreen公式及其应用公式及其应用规定它的规定它的正向正向如下：如下：正向边界曲线正向边界曲线:区域区域D的带有正向的边界曲线，称为的带有正向的边界曲线，称为D的的正向边正向边界曲线，界曲线， 记为记为当观察者沿边界行走时当观察者沿边界行走时, , 区域区域D总在他的总在他的左边左边. .4格林定理格林定理( (定理定理9-1)9-1)设设D是是xOy面上的面上的有界有界闭闭在在D上具有上具有一阶连续偏导数一阶连续偏导数, , 则有则有2. GreenGreen公式公式公式公式(1)称称GreenGreen公式公式. .GreenGreen公式及其应用公式及其应用区域，区域， 其边界曲
4、线其边界曲线由有限条光滑或分段由有限条光滑或分段光滑的曲线所组成，光滑的曲线所组成，51.先对单连通区域证明先对单连通区域证明:证明证明(1)若若区域区域D既是既是又是又是即平行于坐标轴的直线即平行于坐标轴的直线和和L至多交于两点至多交于两点.GreenGreen公式及其应用公式及其应用6同理可证同理可证GreenGreen公式及其应用公式及其应用而而所以所以7(2) 再对一般区域证明再对一般区域证明: :积分区域的可加性积分区域的可加性积分区域的可加性积分区域的可加性 若区域若区域D既不是既不是如图，如图，可将可将D分成三个既是分成三个既是又是又是的区域的区域又不是又不是GreenGreen
5、公式及其应用公式及其应用的区域，的区域，可以可以通过加辅助线将通过加辅助线将D划分成若划分成若干个既是干个既是又是又是的区域。的区域。例如，例如，8GreenGreen公式及其应用公式及其应用9(3) 对复连通区域证明对复连通区域证明: :由由(2)知知 若区域不止由一条闭曲线若区域不止由一条闭曲线添加直线段添加直线段则则D的边界曲线由的边界曲线由及及构成构成.所围成所围成. .对复连通区域对复连通区域D,格林公式格林公式且边界的方向对区且边界的方向对区的曲线积分的曲线积分,右端应包括沿区域右端应包括沿区域D的的全部边界全部边界域域D来说都是正向来说都是正向.GFCEABGreenGreen公
6、式及其应用公式及其应用10 便于记忆形式便于记忆形式:Green公式的实质公式的实质之间的联系之间的联系.沟通了沿闭曲线的第二类曲线积分与沟通了沿闭曲线的第二类曲线积分与二重积分二重积分GreenGreen公式及其应用公式及其应用11(1) 计算平面面积计算平面面积3. 简单应用简单应用Green公式公式得得闭区域闭区域D的的面积面积GreenGreen公式及其应用公式及其应用12 例例 求椭圆求椭圆解解由公式由公式得得D所围成的面积所围成的面积.GreenGreen公式及其应用公式及其应用13.(2) 简化曲线积分简化曲线积分例例其中其中L为圆周为圆周解解由由格林公式格林公式有有对称性对称性
7、的的正向正向.GreenGreen公式及其应用公式及其应用14对对平面闭曲线平面闭曲线上的上的第二类第二类曲线积分曲线积分,比较简单时比较简单时, ,常常考虑通过常常考虑通过格林格林公式公式化为化为二重积分二重积分来计算来计算. .GreenGreen公式及其应用公式及其应用15例例 计算计算分析分析但由但由可知可知非常简单非常简单.其中其中AO是从点是从点的上半圆周的上半圆周到到点点此积分路径此积分路径不是闭曲线不是闭曲线! !GreenGreen公式及其应用公式及其应用16为应用为应用格林公式格林公式再补充一段曲线再补充一段曲线,因在补充的曲线上还要算曲线积分因在补充的曲线上还要算曲线积分
8、,补充的曲线要简单补充的曲线要简单,使之构成使之构成闭曲线闭曲线.所以所以因而这里补加直线段因而这里补加直线段直线段直线段.通常是补充与坐标轴平行的通常是补充与坐标轴平行的 L不闭合不闭合+边边L,使使L+ L闭合闭合,再用再用格林公式格林公式.由由格林公式格林公式解解的方程为的方程为所以所以,GreenGreen公式及其应用公式及其应用而而17(3) 简化二重积分简化二重积分则则解解 令令例例为为顶点的三角形闭区域顶点的三角形闭区域.格林格林公式公式GreenGreen公式及其应用公式及其应用18解解记记L所围成的闭区域为所围成的闭区域为D,其中其中L为一条无为一条无重点重点,分段光滑且分段
9、光滑且不经过原点不经过原点的连续闭曲线的连续闭曲线,L的方向为逆时针方向的方向为逆时针方向.例例令令有有GreenGreen公式及其应用公式及其应用19即即L为为不包围原点不包围原点的任一闭曲线的任一闭曲线.即即L为为包围原点包围原点在内的任一在内的任一闭曲线闭曲线.由格林公式由格林公式应用由应用由格林公式格林公式,得得作作位于位于D内圆周内圆周GreenGreen公式及其应用公式及其应用20注意格林公式的条件注意格林公式的条件其中其中l 的方向取的方向取逆时针方向逆时针方向GreenGreen公式及其应用公式及其应用21练习练习计算计算L L是圆周是圆周: :如把如把圆周写成参数方程圆周写成
10、参数方程: :再将线积分化为定积分计算再将线积分化为定积分计算,用用格林公式格林公式易求易求.答案答案: :分析分析则过程较麻烦则过程较麻烦.GreenGreen公式及其应用公式及其应用22B如果在区域如果在区域G内有内有二、平面曲线积分与路径无关的条件二、平面曲线积分与路径无关的条件AL1L21. 平面曲线积分与路径无关的定义平面曲线积分与路径无关的定义否则与路径有关否则与路径有关.则称曲线积分则称曲线积分在在G内内与路径无关与路径无关, ,GreenGreen公式及其应用公式及其应用23GreenGreen公式及其应用公式及其应用2. .平面曲线积分与路径无关的条件平面曲线积分与路径无关的
11、条件定理定理9-29-2 设设D是一个平面上的是一个平面上的单连通单连通区域，区域，在在D内有内有连续的偏导数连续的偏导数，则以下四个命题则以下四个命题等价等价：(1) 对于对于D中任意一条分段光滑的闭曲线中任意一条分段光滑的闭曲线L,总有总有(2)曲线积分曲线积分在在D内内与与路径无关路径无关；(3) 表达式表达式在在D内是某个内是某个的全微分，的全微分， 即存在即存在使得使得二元函数二元函数(4)在在D内恒成立。内恒成立。24GreenGreen公式及其应用公式及其应用证明：证明： 定理中的四个条件互为定理中的四个条件互为充要条件充要条件。 证明方式：证明方式：路径无关路径无关在在D内与内
12、与ABL1L2如图，在如图，在(1)的条件下的条件下于是，于是，25GreenGreen公式及其应用公式及其应用在在D内与内与路径无关路径无关由由条件条件(2)只需证只需证由由偏导定义偏导定义26GreenGreen公式及其应用公式及其应用AB于是，于是，积分中值定理积分中值定理P连续连续同理可证同理可证所以所以,27GreenGreen公式及其应用公式及其应用存在存在使得使得由由(3)知，知，所以，所以，由于由于连续，故连续，故从而从而28GreenGreen公式及其应用公式及其应用对对G内任意一条闭曲线内任意一条闭曲线L, 由于由于G是是单连通的，单连通的， 所以所以L的内部的内部必必全部
13、包含在全部包含在G内，内，从而在从而在由由Green公式公式即证。即证。内恒有内恒有29GreenGreen公式及其应用公式及其应用定理定理9-2的简单应用：的简单应用：(1)简化曲线积分简化曲线积分例例 计算曲线积分计算曲线积分其中其中L是是的的一段一段有向弧有向弧.解解由由定理定理9-2, 曲线积分与路径无关曲线积分与路径无关.30曲线积分与路径无关曲线积分与路径无关.GreenGreen公式及其应用公式及其应用所以所以可以用有向折线可以用有向折线代替有向弧代替有向弧L. 如图如图. 于是于是,31解解原式原式=原积分与路径无关原积分与路径无关.例例GreenGreen公式及其应用公式及其
14、应用32考虑表达式考虑表达式如果存在一个函数如果存在一个函数使得使得则称则称并将并将全微分式全微分式, ,为一为一原函数原函数. .GreenGreen公式及其应用公式及其应用(2) 求求的原函数的原函数定理定理9-2的简单应用：的简单应用：33 由由例例可知可知:都是都是分别是上面的分别是上面的原函数原函数. .全微分式全微分式. .GreenGreen公式及其应用公式及其应用34 下面说明一般怎样下面说明一般怎样判断全微分式判断全微分式求原函数求原函数由定理由定理9-2，是一个是一个全微分式全微分式, ,即即(1) 判断全微分式判断全微分式35D(x0 , y)或或则则GreenGreen
15、公式及其应用公式及其应用(2) 求原函数求原函数36例例问问 是否为全微分式是否为全微分式?用曲线积分求其一个原函数用曲线积分求其一个原函数.如是如是,解解在全平面成立在全平面成立所以上式是所以上式是全微分式全微分式. 因而一个原函数是：因而一个原函数是：全平面为单连通域，全平面为单连通域，法一法一(x,y)GreenGreen公式及其应用公式及其应用37这个原函数也可用下法这个原函数也可用下法“分组分组”凑出凑出:法二法二GreenGreen公式及其应用公式及其应用38因为函数因为函数u满足满足故故从而从而所以所以,问问 是否为全微分式是否为全微分式?用曲线积分求其一个原函数用曲线积分求其一
16、个原函数.如是如是,由此得由此得y的待定函数的待定函数法三法三GreenGreen公式及其应用公式及其应用39解解积分与路径无关积分与路径无关设设曲线积分曲线积分与路径无关与路径无关,具有连续的导数具有连续的导数,例例即即格林公式及其应用格林公式及其应用xyxy2)(= = j j40(1,0)法一法一设设曲线积分曲线积分与路径无关与路径无关,具有连续的导数具有连续的导数,格林公式及其应用格林公式及其应用41法二法二格林公式及其应用格林公式及其应用设设曲线积分曲线积分与路径无关与路径无关,具有连续的导数具有连续的导数,42GreenGreen公式公式四四、小结、小结单单( (复复) )连通区域
17、的概念连通区域的概念 GreenGreen公式的三个应用公式的三个应用Green公式的实质公式的实质的联系的联系.沟通了沿闭曲线的积分与二重积分之间沟通了沿闭曲线的积分与二重积分之间注意使用条件注意使用条件GreenGreen公式及其应用公式及其应用43 与路径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命题 条件条件在在单连通单连通开区域开区域D上上具有具有连续的一阶偏导数连续的一阶偏导数, ,则以下则以下四个命题四个命题成立成立. .GreenGreen公式及其应用公式及其应用44思考题思考题是非题是非题解解 因为因为故故曲线积分与路径无关曲线积分与路径无关.GreenGreen公式及其应用公式
18、及其应用45非非因为在曲线积分与路径无关的定理中因为在曲线积分与路径无关的定理中, 要求要求所考虑区域所考虑区域G是单是单连通的连通的,且函数且函数P(x,y),及其偏导数在及其偏导数在G上连续上连续,Q(x,y)对本题来说对本题来说,当且仅当当且仅当及其偏导数连续及其偏导数连续,上述解法中点上述解法中点在在直线直线从而不满足曲线积分与从而不满足曲线积分与路径无关的条件路径无关的条件.GreenGreen公式及其应用公式及其应用46作作 业业习题习题9-3(1429-3(142页页) )1. 2. 3. 4. GreenGreen公式及其应用公式及其应用47定理定理9-39-3 设开区域设开区
19、域G是一个单连通域是一个单连通域,在在G内内恒成立恒成立.函数函数P(x,y),Q(x,y)在在G内具有一阶连续偏导数内具有一阶连续偏导数,则则定理定理9-2充要条件充要条件是是两条件缺一不可两条件缺一不可GreenGreen公式及其应用公式及其应用中的三个命题成立的中的三个命题成立的 下面给出下面给出定理定理9-2中的三个命题成立的中的三个命题成立的充要充要条件。条件。证明：证明： 只需证明只需证明48GreenGreen公式及其应用公式及其应用证明：证明：反证：反证： 假设在假设在D内至少存在一点内至少存在一点使得使得由由Green公式公式矛盾。矛盾。49证明：证明：GreenGreen公式及其应用公式及其应用对对G内任意一条闭曲线内任意一条闭曲线L, 由于由于G是是单连通的，单连通的， 所以所以L的内部的内部必必全部包含在全部包含在G内，内，从而在从而在由由Green公式公式即证。即证。内恒有内恒有50
