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1、第九节第九节 函数单调性与凸性的判别法函数单调性与凸性的判别法一、单调性的判别法一、单调性的判别法二、凸性及其判别法二、凸性及其判别法一、函数单调性的判别法一、函数单调性的判别法 1、单调性的判别法、单调性的判别法定理定理 ( (函数单调性的判定法函数单调性的判定法) )备注备注证证例例1 1解解注意注意 函数的单调性是一个区间上的性质，要函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一用导数在这一区间上的符号区间上的符号来判定，而不能用来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性2、单调区间求法、单调区间求法定义定义: :若函数在其定义域的某
2、个区间内是单调若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的的，则该区间称为函数的单调区间单调区间，这时也称，这时也称函数是该区间的单调函数函数是该区间的单调函数. 导数等于零的点和不可导点，可能是单调区导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的间的分界点分界点求函数的单调区间的求函数的单调区间的方法方法: :例例2 2解解函数的函数的单调增加单调增加区间为：区间为：函数的函数的单调减少单调减少区间为：区间为：例例2 2解解函数的函数的单调增加单调增加区间为：区间为：函数的函数的单调减少单调减少区间为：区间为：说明说明: : 1) 单调区间的分界点除驻点外单调区间的分界点除驻点外,
3、,也可以是导数也可以是导数 不存在的点不存在的点. . 例例3 32) 如果函数在某驻点两边导数同号如果函数在某驻点两边导数同号, , 则不改变函数的单调性则不改变函数的单调性. .例例4 4例例5 5解解3) 注意注意 若区间内导数为零的点只是若区间内导数为零的点只是孤立点孤立点, , 则不则不影响区间的单调性影响区间的单调性, ,即函数在区间内仍是单调的即函数在区间内仍是单调的. .例如例如,3、利用单调性可以证明不等式、利用单调性可以证明不等式例例6 6例例7 7例例7 7证证例例证证例例证证4、利用单调性可以证明根的唯一性、利用单调性可以证明根的唯一性例例8 8此种题型应先证明根的存在
4、性，再证明唯一性此种题型应先证明根的存在性，再证明唯一性.5、小结、小结单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用应用.定理中的区间换成其它有限或无限区间，定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立结论仍然成立.应用：利用函数的单调性可以确定某些方应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式程实根的个数和证明不等式.二、函数的凸性及其判别法二、函数的凸性及其判别法 1. 函数凹凸的定义函数凹凸的定义问题问题:如何用数量方法来刻划曲线的弯曲方向如何用数量方法来刻划曲线的弯曲方向?图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的上方于所张弦的上方图
5、形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的下方于所张弦的下方定义定义: :2. 函数凹凸性的判别法函数凹凸性的判别法判别法判别法2 2判别法判别法1 1例例1 1解解注意到注意到,例例2 2解解说明说明: :若在某点二阶导数为若在某点二阶导数为 0 , ,在其两侧二阶导数不在其两侧二阶导数不变号变号, ,则函数的凹凸性不变则函数的凹凸性不变 . .3 3、曲线的拐点及其求法、曲线的拐点及其求法1) 1) 定义定义注意注意 拐点处若存在切线，拐点处若存在切线，则必在拐点处穿过曲线则必在拐点处穿过曲线. .2) 2) 拐点的求法拐点的求法证证求拐点的方法求拐点的方法: :例例3 3解解下下凸凸上凸上
6、凸下凸下凸拐点拐点拐点拐点例例4 4解解不存在不存在下下凸凸上凸上凸注意注意: :结论：结论：若曲线若曲线 y=f (x) 在点在点 x0 连续连续 , 或不存在或不存在,但但 在点在点 x0 两侧两侧异号异号, 则点则点 是曲线是曲线y=f (x) 的一个拐点的一个拐点.求拐点的步骤：求拐点的步骤：step1 求二阶导数等于零和不存在的点求二阶导数等于零和不存在的点 x0 .step2 判断二阶导数在这些点的左右两侧是否异号判断二阶导数在这些点的左右两侧是否异号.step3 写出拐点写出拐点 .4 4、利用函数的凸性证明不等式、利用函数的凸性证明不等式例例 证明证明:当当时时， 有有证明证明
7、: 令令, 则则上是上是下下凸凸函数函数 , 即即证证5、小结、小结曲线的弯曲方向曲线的弯曲方向凸性凸性;改变弯曲方向的点改变弯曲方向的点拐点拐点;函数凹凸性的判定函数凹凸性的判定曲线凹凸与拐点的判别曲线凹凸与拐点的判别思考与练习思考与练习提示提示: 利用利用单调增加单调增加 , 及及B上上则则或或的的大小顺序是大小顺序是 ( )1. 设在设在提示提示:及及 .的凹区间是的凹区间是凸区间是凸区间是拐点为拐点为 ; ;2. 曲线曲线有位于一直线的三个拐点有位于一直线的三个拐点.3.求证曲线求证曲线 证明：证明：令令得得从而三个拐点为从而三个拐点为因为因为所以三个拐点共线所以三个拐点共线.解解不能断定不能断定.例例但但当当 时，时，当当 时，时，注意注意 可以任意大，故在可以任意大，故在 点的任何邻点的任何邻域内，域内， 都不单调递增都不单调递增解解例如例如求拐点方法求拐点方法2:2:例例解解练练 习习 题题练习题答案练习题答案练练 习习 题题练习题答案练习题答案
