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1、1第一节第一节 导数的概念导数的概念一、引例一、引例二、导数的定义二、导数的定义三、导数的几何意义三、导数的几何意义四、可导与连续的关系四、可导与连续的关系( Derivative or Differential )第二章导数与微分一、引例一、引例1 1、非匀速直线运动的瞬时速度非匀速直线运动的瞬时速度设变速直线运动方程为设变速直线运动方程为平均速度平均速度很小时，很小时，精确值精确值精确值精确值2自由落体运动瞬时速度自由落体运动瞬时速度(t0)例：设例：设 t0+tt0SStS+S3求自由落体在求自由落体在t时刻的瞬时速度时刻的瞬时速度. . 2、曲线的切线问题、曲线的切线问题切线：与曲线只
2、有一个交点的直线。切线：与曲线只有一个交点的直线。4yx0NM x0+xx0xy割线割线MN的斜率的斜率 tan =y/x当当x0 0时时,割线割线MN 绕着点绕着点M渐渐地变渐渐地变 成了切线，其倾斜成了切线，其倾斜 角角 渐渐地变成了渐渐地变成了 。 此时，切线的斜率此时，切线的斜率 为为tan 。5二、导数的定义二、导数的定义6变速运动变速运动t0时刻的时刻的瞬时瞬时速度速度曲线在曲线在x0处的切线斜率处的切线斜率 t t时刻时刻瞬时电流强度瞬时电流强度I是电量是电量Q(t)的的变化率变化率: :I(t)=Q (t)分布不均匀的金属丝在某点分布不均匀的金属丝在某点x的线密度的线密度 (x
3、)是质量是质量m(x)的的变化率变化率: (x0)=m (x0)生物群生物群t0时刻数量时刻数量(t)的变化速度的变化速度7等等，等等，导数就是变化率（变化速度）导数就是变化率（变化速度）导数就是变化率（变化速度）导数就是变化率（变化速度）左导数左导数左导数左导数右导数右导数右导数右导数89Th1例例1 证明函数在处不可导从而，函数在该点不可导。解f(x)在开区间在开区间(a,b)内每一点都可导内每一点都可导,则称则称f(x)在在(a,b)内可内可导导f(x)在在(a,b)内可导内可导,且且f + (a), f -(b)都存在，则称都存在，则称f(x)在闭区间在闭区间a,b上上 可导可导区间内
4、任意点区间内任意点x的导数的符号的导数的符号它仍是它仍是x 的函数，故的函数，故实际上是实际上是x 的函数，称其为的函数，称其为所得的导函数。而所得的导函数。而实际上是实际上是在点在点x0处的导数值处的导数值故故11例例1 求函数求函数在点在点x 处的导数。处的导数。12例例2 求函数求函数在点在点x 处的导数。处的导数。例例3 求函数求函数在点在点x 处的导数。处的导数。1314三、导数的几何意义三、导数的几何意义：某一点的导数值某一点的导数值就是曲线在该点的切线的斜率。就是曲线在该点的切线的斜率。0xyx0 ）k=f (x0)切线切线法线法线切线方程：切线方程：法线方程：法线方程：15例例
5、6 求曲线求曲线在在点的切线方程与法线方程点的切线方程与法线方程解解切线方程切线方程法线方程法线方程16四四四四 可导与连续的关系可导与连续的关系可导与连续的关系可导与连续的关系注意：注意：注意：注意：逆命题不成立连续不一定可导连续不一定可导可导可导连续连续不连续不连续不可导不可导连续而非可导连续而非可导函数在某点函数在某点连续是连续是连续是连续是函数该点函数该点可导可导可导可导的的必要而非充分条件必要而非充分条件必要而非充分条件必要而非充分条件17例例7 设设为了使为了使处处可导，处处可导，应怎样选择参数应怎样选择参数解解不连续必不可导不连续必不可导不连续必不可导不连续必不可导首先，要使首先，要使在在处连续，处连续， 从而有从而有 例例8 设在在处可导，处可导， 求求解：解：19 例设例设在在处可导且处可导且，又又，试求试求解解根据定义，根据定义，f(0)=020例例10讨论讨论解解当当 时，时，当当 时，时，在在x=0 点处导数不存在。点处导数不存在。作业本上作业：P86 5，9（双数）,16（1），17 19,20书上作业：P86 1，2，3, 6，7,8，1022谢谢 谢谢!
