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1、t0第二章第二章 连续时不变（连续时不变（Linear Time Invariant-LTI）系统时域分析）系统时域分析2-1 二阶电路时域模型与时域经典分析二阶电路时域模型与时域经典分析一、一、 RLC串联电路零输入响应串联电路零输入响应t0 , 开关断开开关断开,设：设：t 0 , 开关合上，有：开关合上，有：-输入输出信号（包括内部信号）都为连续时间信号输入输出信号（包括内部信号）都为连续时间信号信号系统可得可得又又特征方程：特征方程：t 0 , 列关于列关于uc(t)的微分方程：的微分方程：二阶常系数线性二阶常系数线性齐次微分方程齐次微分方程初始条件初始条件信号系统特征根特征根:（自然
2、频率、固有频率）（自然频率、固有频率）1、单实根：、单实根： （过阻尼过阻尼） 即即0tUS tmuLuci信号系统3、共轭复根：、共轭复根：(欠阻尼欠阻尼) 即即2、重根：、重根：(临界阻尼临界阻尼) 即即特征根为重根：特征根为重根：特征根为共轭复根：特征根为共轭复根：信号系统4、R=0 （无阻尼无阻尼）（欠阻尼）（欠阻尼）uc(t)0tUs特征根为共轭虚根：特征根为共轭虚根：信号系统二、二、 RLC串联电路零状态响应串联电路零状态响应t 0 , K在在1，列关于，列关于uc(t)的微分方的微分方程：程：特征方程：特征方程：t0 , K在在2,电路稳定，有电路稳定，有初始条件：初始条件：通解
3、通解:齐次方程的通解齐次方程的通解自由响应自由响应特解特解强迫响应强迫响应二阶常系数线性二阶常系数线性非齐次微分方程非齐次微分方程特解：特解：信号系统特征根特征根:（自然频率、固有频率）（自然频率、固有频率）3、共轭复根：、共轭复根：(欠阻尼欠阻尼) 即即2、重根：、重根：(临界阻尼临界阻尼) 即即1、单实根：、单实根：(过阻尼过阻尼) 即即（欠阻尼）（欠阻尼）Usuc(t)0t0USuct（过阻尼）（过阻尼）信号系统三、三、 RLC串联电路全响应串联电路全响应t 0 , K在在1，由，由KVL, 有有特征方程：特征方程：t0时激励为零，单位冲激时激励为零，单位冲激响应形式与零输入响应形式相同
4、（响应形式与零输入响应形式相同（对于该例对于该例），即），即确定初始条件：确定初始条件：含冲激，含冲激，发生跃变，发生跃变，在在t=0处连续。处连续。 该例方程右边不含该例方程右边不含 (t)的各阶导数。如果有的各阶导数。如果有 (t)的的导数，用系统的导数，用系统的线性性和微线性性和微分性分性求求h(t)。可以直接带入方程确定系数可以直接带入方程确定系数信号系统4 4）部分分式法）部分分式法传输算子传输算子:特征方程：特征方程：a）当当nm，且特征根均为单根时：，且特征根均为单根时：将将H(p)H(p)展开成部分分式：展开成部分分式：信号系统求求hn(t)：信号系统b）当当nm，特征根有重根
5、时：，特征根有重根时：b-1、H(p)展成部分分式方法展成部分分式方法含一个三重根含一个三重根信号系统b-2、冲激响应的形式、冲激响应的形式P1为为r重根：重根：其其它形式：它形式：信号系统c）当当n=m时，特征根为单根：时，特征根为单根：先用长除法，再展开成部分分式：先用长除法，再展开成部分分式：此时，此时，h(t)中含有冲激信号中含有冲激信号d）当当nm时，特征根为单根：时，特征根为单根：同样先用长除法，再展开成部分分式：同样先用长除法，再展开成部分分式：信号系统求求f(t)= (t)时的零状态响应时的零状态响应h(t)。例例1：已知描述某系统的微分方程为已知描述某系统的微分方程为答：答：
6、信号系统例例2：已知描述系统的传输算子为：已知描述系统的传输算子为：求系统单位冲激响应求系统单位冲激响应h(t)，答：答：信号系统求求f(t)= (t)时的零状态时的零状态h(t)。例例3：已知描述某系统的微分方程为已知描述某系统的微分方程为答：答：信号系统2-6 连续系统时域卷积积分分析法连续系统时域卷积积分分析法一、卷积一、卷积:1、定义：、定义：2、几何意义、几何意义：（重点）重点）信号系统二、二、连续时不变系统连续时不变系统零状态响应零状态响应有：有： yf (t)=f(t)*h(t) (t) h(t) (t- ) h(t- ) f( ) (t- ) f( )h(t- ) f(t)yf
7、(t)结论：结论：信号信号f(t)作用于作用于连续时不变连续时不变系统后的零状态响应系统后的零状态响应yf (t)等于等于 该信号与系统的单位冲激响应的卷积。该信号与系统的单位冲激响应的卷积。信号系统连续变量连续变量 任意任意连续时间连续时间信号可信号可分解为冲激信号的连续和。分解为冲激信号的连续和。信号系统设第设第k个右图所示脉冲单独作用响应为个右图所示脉冲单独作用响应为0由线性性和时不变性，零状态响应为由线性性和时不变性，零状态响应为 (t- )的响应的响应信号系统三、常用信号的卷积积分三、常用信号的卷积积分三、常用信号的卷积积分三、常用信号的卷积积分3、f (t)与阶跃信号卷积与阶跃信号
8、卷积1、f (t)与冲激信号卷积与冲激信号卷积2、f (t)与冲激偶信号卷积与冲激偶信号卷积4、常数与、常数与f (t)卷积卷积信号系统5 5、斜坡信号与阶跃信号卷积、斜坡信号与阶跃信号卷积6 6、时移性、时移性信号系统四、卷积积分的性质四、卷积积分的性质四、卷积积分的性质四、卷积积分的性质（一）运算性质（一）运算性质1 1、交换律、交换律 2 2 2 2、分配律、分配律、分配律、分配律3 3 3 3、结合律、结合律、结合律、结合律（二）微分积分性质（二）微分积分性质（二）微分积分性质（二）微分积分性质2、积分性、积分性1、微分性、微分性3、微积分性、微积分性信号系统证：证： （1）说明：说明
9、：（2）如：如：说明：说明：存在存在存在存在（3）因为：因为：所以：所以：存在存在信号系统同理：同理：如果：如果：或：或：则：则：性质性质3条件：条件：或：或：则：则：或：或：则：则：存在存在若若都为有始信号，三个性质都成立都为有始信号，三个性质都成立存在存在信号系统五、卷积积分的计算五、卷积积分的计算五、卷积积分的计算五、卷积积分的计算例例1：f(t)=tU(t) ， h(t)=U(t)-U(t-2)，求卷积积分，求卷积积分y(t)=f(t)*h(t)。1利用定义计算利用定义计算 =tU(t) *U(t)-U(t-2)2. 2. 利用常用信号卷积与有关性质计算利用常用信号卷积与有关性质计算利
10、用常用信号卷积与有关性质计算利用常用信号卷积与有关性质计算解：解：y(t)=f(t)*h(t)=tU(t) *U(t)- tU(t) *U(t-2)信号系统例例2：求卷积积分求卷积积分y(t)=e-t U(t)*U(t)。解：解：3. 3. 利用卷积积分表计算利用卷积积分表计算利用卷积积分表计算利用卷积积分表计算4. 4. 利用图解法计算利用图解法计算利用图解法计算利用图解法计算1）f(t)、h(t) f( )、h( )2） h( ) h(- ) （折叠）（折叠）3） h(- ) h(t- ) （平移）（平移）4） f( ) h(t- ) （相乘）（相乘）5）计算积分）计算积分5. 5. 利用
11、数值积分法计算利用数值积分法计算利用数值积分法计算利用数值积分法计算y(t)=e-t U(t)*U(t)=（1-e-t ）U(t)（教材（教材65页表页表2-2）信号系统卷积积分卷积积分卷积积分卷积积分图解法图解法图解法图解法: :当当t-1当当-1t1,t-3-1即即1t2当当-1t-31即即2t1即即t4信号系统例例例例1 1：若若 h1(t) = U(t)， h2(t) = (t-T)， h3(t) = - (t)， 求求h(t) 。 解：解：例例例例2 2： 求求y(t)= f (t) * h(t)，其中，其中 ：h (t) = U(t+1)-U (t-1)，解：解：信号系统解：解：1
12、. 列写列写KVL方程：方程：2. 冲激响应为：冲激响应为：例例例例3:3:图示电路，求零状态响应图示电路，求零状态响应i(t)。已知。已知 图解法图解法信号系统例例4：图示电路，已知图示电路，已知 f(t)=e-t U(t)；求；求 t 0时时 uf(t)。 解：解：信号系统例例5：已知已知 f(t)=sintU(t)，求求h(t)。求反卷积求反卷积解：解：信号系统例例6：用图解法求用图解法求y(t)=f(t)*h(t)。其中。其中解：解：当当t0：当当0t7：或利用卷积性质：或利用卷积性质：信号系统例例7：用图解法求用图解法求y(t)=f1(t)* f2(t)。解：解：信号系统解：解：信号系统本章要点：本章要点： 1、时域经典法：、时域经典法： 二阶电路时域模型与分析：几种瞬态（阻尼）过程二阶电路时域模型与分析：几种瞬态（阻尼）过程 系统时域模型与分析：系统时域模型与分析： 微分方程与传输算子微分方程与传输算子 微分方程求解：齐次与非齐次微分方程求解：齐次与非齐次 系统自然频率及其求解方法、系统自然频率及其求解方法、 全响应三种分解形式。全响应三种分解形式。2、时域卷积法：、时域卷积法： g(t)与与 h(t)求解方法、求解方法、 零状态响应卷积积分计算：零状态响应卷积积分计算：（卷积积分定义、运卷积积分定义、运算规律、主要性质、计算方法）算规律、主要性质、计算方法）信号系统
