《高中数学 1.3.4 函数的奇偶性配套课件 新人教A版必修1》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学 1.3.4 函数的奇偶性配套课件 新人教A版必修1(20页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、1.3.4函数的奇偶性(2)【学习目标】1掌握函数的基本性质(单调性、最值和奇偶性)2能应用函数的基本性质解决一些问题3会运用函数图象理解和研究函数的性质练习 1:下列结论正确的是()BA偶函数的图象一定与 y 轴相交B若奇函数 yf(x)在 x0 处有定义,则 f(0)0C定义域为 R 的增函数一定是奇函数D图象过原点的增函数(或减函数)一定是奇函数练习 2:如果定义在区间3a,5上的函数 f(x)为奇函数,那么 a_.8练习 3:设 f(x) 是定义在(,)上的奇函数,且当x0 时,f(x)x21,则 f(2)_.5练习 4:已知当 x0,)时,f(x)x(1x)若 f(x)为奇函数,则当
2、 x(, 0)时,f(x)_;若 f(x)为偶函数,则当 x(, 0)时,f(x)_.x(1x)x(1x)【问题探究】已知 f(x)是奇函数,在(0,)上是增函数,判断 f(x)在(,0)上的单调性,并加以证明答案:f(x)在(,0)上单调递增证明:设任意的 x1,x2,且0x1x2,因为 f(x)在0,)上是增函数,所以 f(x1)f(x2)又x2x10,且 f(x)是奇函数,所以 f(x2)f(x1)f(x2) f(x1) f(x1) f(x2)0,即f( x2)f( x1)所以f(x) 在(,0)上是单调递增题型 1函数奇偶性与单调性的关系【例 1】 已知 f(x)是偶函数,且在(0,)
3、上是减函数,判断 f(x)在(,0)上是增函数还是减函数,并加以证明解:由偶函数的图象特征,可知:f(x)在(,0)上是增函数用单调性定义证明如下:设任意的 x1x2x20.f(x)在(0,)上是减函数,a0,b0,abb,aa,bf(x)是奇函数增函数增函数减函数减函数f(x)是偶函数增函数减函数减函数增函数f(x1)f(x2)又f(x)是偶函数,f(x1)f(x1),f(x2)f(x2)f(x1)x10,则x2x10.由于 f(x)在(,0)上是增函数,f(x2)f(x1),又f(x)是奇函数,f(x2)f(x2),f(x1)f(x1),f(x2)f(x1)f(x)在(0,)上也是增函数题
4、型 2函数奇偶性与单调性的应用【例 2 】 (2014 年广东二模) 定义在 R 上的偶函数 f(x) 在(0,)上是增函数,且 f 0,则不等式 xf(x)0 的解集是()思维突破:根据函数奇偶性和单调性之间的关系,将不等式进行转化,即可得到不等式的解集函数f(x)的草图如图D13.图 D13答案:C【变式与拓展】2若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,在(,0)上是减)函数,且 f(2)0,则使得 f(x)0 的 x 的取值范围是(A(,2)B(2,)C(,2)(2,)D(2,2)D题型 3抽象函数的奇偶性与单调性【例 3】 已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在(,0)上是
5、增函数(1)判断函数 f(x)在(0,)上的单调性;(2)若 f(2a2a1)f(2a22a1),求实数 a 的取值范围思维突破:这是抽象函数问题欲要脱掉函数符号“f ”,必须应用函数的单调性解:(1)函数 f(x)在(0,)上是减函数证明如下:设任意 0x1x2,则x2x10,f(x)在(,0)上是增函数,f(x2)f(x1)又f(x)为偶函数,f(x1)f(x1),f(x2)f(x2),f(x2)f(x1),即 f(x)在(0,)上是减函数又f(x)在(0,)上是减函数,且 f(2a2a1)2a22a1,解得 3a0,即 a0.故实数 a 的取值范围是(0,)本题以抽象函数为载体,综合考查
6、函数的奇偶性与单调性的关系,以及利用函数的单调性解不等式的能力判断出 2a2a10,2a22a10,对本题的解答起到关键作用【变式与拓展】3已知函数 f(x)为奇函数,且在(2,2)上单调递增,且有f(2a)f(12a)0,求 a 的取值范围解:因为函数 f(x)为奇函数,则 f(x)f(x)由 f(2a)f(12a)0,得 f(2a)f(12a)即 f(2a)f(2a1)又因为 f(x)在(2,2)上单调递增,【例 4】 已知当 x0 时,函数 f(x)x22x1.(1)若 f(x)为 R 上的奇函数,求 f(x)的解析式;(2)若 f(x)为 R 上的偶函数,能确定 f(x)的解析式吗?请
7、说明理由解:(1)当 x0 时,f(x)x22x1.设 x0,有 f(x)(x)22(x)1x22x1,因为 f(x)为 R 上的奇函数,所以 f(x)f(x),即当 x0 时,f(x)x22x1;当 x0 时,f(0)f(0)f(0),即 2f(0)0,f(0)0.(2)若 f(x)为 R 上的偶函数,不能确定 f(x)的解析式,因为不知 f(0)的表达式方法规律小结1把函数 f(x)(xR)写成一个偶函数与一个奇函数之和的形式 f(x)f(x)f(x)2f(x)f(x)2,其中,f(x)f(x)2是偶函数,f(x)f(x)2是奇函数以上代数式说明:任意的函数都可写成一个奇函数与一个偶函数之和的形式2函数的单调性是函数的一个重要性质,几乎是每年必考的内容,而且函数的单调性仍将是高考考查的重点,在题型所占比例上有上升趋势若函数 f(x)是定义在(,)上的奇函数,则 f(x)在(,0)与 f(x)在(0,)上的单调性相同;若函数 f(x)是定义在(,)上的偶函数,则 f(x)在(,0)与 f(x)在(0,)上的单调性相反