定义平稳过程

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1、庄伯金庄伯金 1 1概率论与随机过程概率论与随机过程第第1414章章 平稳随机过程平稳随机过程庄伯金庄伯金 2 2主要内容n平稳随机过程的概念平稳随机过程的概念n遍历性遍历性n相关函数相关函数n平稳随机过程的功率谱密度平稳随机过程的功率谱密度平稳随机过程的概念n定义：设随机过程定义：设随机过程 ，若对任意，若对任意 和和 ，时刻满足，时刻满足时，时， 维随机变量维随机变量和和具有相同的分布函数，则称随机过程具有相同的分布函数，则称随机过程 具有平稳性，具有平稳性，称此过程为称此过程为平稳随机过程平稳随机过程，简称，简称平稳过程平稳过程。n若平稳过程的参数集是离散的，则称过程为若平稳过程的参数集

2、是离散的，则称过程为平稳随机序列平稳随机序列或或平平稳时间序列稳时间序列。庄伯金庄伯金 3 3平稳随机过程的概念n平稳随机过程的统计特性不随时间的推移而变化。平稳随机过程的统计特性不随时间的推移而变化。n一般的，若随机过程的前后环境和主要条件都不随时间的推移一般的，若随机过程的前后环境和主要条件都不随时间的推移而变化，则可认为该过程为平稳过程。而变化，则可认为该过程为平稳过程。n恒温条件下的热噪声电压过程；恒温条件下的热噪声电压过程；n随机相位正弦波；随机相位正弦波；庄伯金庄伯金 4 4平稳随机过程的性质n性质性质1：若平稳过程：若平稳过程 的均值函数的均值函数 存在，则均值函存在，则均值函数

3、为常数。数为常数。n证明：由平稳过程的定义，取证明：由平稳过程的定义，取 ，则有则有 和和 同分布，同分布，即得即得n记记n性质性质2：平稳过程：平稳过程 的均方值函数和方差函数为常数。的均方值函数和方差函数为常数。n记记n平稳过程的所有样本曲线在水平直线平稳过程的所有样本曲线在水平直线 上下波动，平上下波动，平均偏离度为均偏离度为 。庄伯金庄伯金 5 5平稳随机过程的性质n性质性质3：若平稳过程：若平稳过程 的自相关函数的自相关函数 存在，则自存在，则自相关函数只与时间差相关函数只与时间差 有关。有关。n证明：由平稳过程的定义，取证明：由平稳过程的定义，取则有二维随机向量则有二维随机向量 和

4、和 同分布。同分布。所以所以n记记n性质性质4：平稳过程：平稳过程 的协方差函数的协方差函数 只与只与 有关。有关。n记记 ，则有，则有庄伯金庄伯金 6 6宽平稳过程n定义：给定二阶矩过程定义：给定二阶矩过程 ，若对任意，若对任意 ，有有则称则称 为为宽平稳过程宽平稳过程或或广义平稳过程广义平稳过程。n注：按分布函数定义的平稳过程称为注：按分布函数定义的平稳过程称为严平稳过程严平稳过程或或狭义平稳过狭义平稳过程程。n定理：若严平稳过程的二阶矩存在，则它一定是宽平稳过程。定理：若严平稳过程的二阶矩存在，则它一定是宽平稳过程。n定理：宽平稳的正态过程必定是严平稳过程。定理：宽平稳的正态过程必定是严

5、平稳过程。n注：由于根据分布函数判定平稳性一般较难，所以实际应用中，注：由于根据分布函数判定平稳性一般较难，所以实际应用中，通常只考察宽平稳性。我们一般把宽平稳过程称为平稳过程。通常只考察宽平稳性。我们一般把宽平稳过程称为平稳过程。庄伯金庄伯金 7 7宽平稳过程n定义：若两个平稳过程定义：若两个平稳过程 和和 ，其互相关函数，其互相关函数 只只与时间差与时间差 有关，则称有关，则称 和和 是平稳相关的，或是平稳相关的，或称两个过程是联合（宽）平稳的。称两个过程是联合（宽）平稳的。n注：泊松过程和维纳过程都是非平稳过程，但增量具有平稳性。注：泊松过程和维纳过程都是非平稳过程，但增量具有平稳性。庄

6、伯金庄伯金 8 8平稳过程的例n例：设例：设 是互不相关的随机序列，且满足：是互不相关的随机序列，且满足：证明该随机序列是宽平稳随机序列。证明该随机序列是宽平稳随机序列。n证明：由题证明：由题即即所以随机序列为宽平稳的。所以随机序列为宽平稳的。庄伯金庄伯金 9 9平稳过程的例n例：（随机相位周期过程）设例：（随机相位周期过程）设 是周期为是周期为 的函数，的函数， 是在是在 上服从均匀分布的随机变量，则称上服从均匀分布的随机变量，则称 为随机相为随机相位周期过程。证明该过程是平稳过程。位周期过程。证明该过程是平稳过程。n证明：由题可知证明：由题可知 的概率密度为的概率密度为n则则庄伯金庄伯金

7、1010随机过程积分n实际应用中，随机过程的数字特征需通过进行大量重复试验，实际应用中，随机过程的数字特征需通过进行大量重复试验，获得足够多的样本曲线之后获得：获得足够多的样本曲线之后获得：n实际应用的困难：大量重复试验的工作很难实现。实际应用的困难：大量重复试验的工作很难实现。n是否可以由一次试验获得随机过程的数字特征？是否可以由一次试验获得随机过程的数字特征？n考察在一次试验中，随机过程在时间维度上相关数字特征与随考察在一次试验中，随机过程在时间维度上相关数字特征与随机过程的关系。机过程的关系。庄伯金庄伯金 1111随机过程的积分n定义：给定二阶矩过程定义：给定二阶矩过程 ，若它的每个样本

8、函数在，若它的每个样本函数在时间区间时间区间 上的积分都存在。则称此随机过程在时间上的积分都存在。则称此随机过程在时间区间区间 的积分存在，并记为的积分存在，并记为n注：注： 也是随机变量。也是随机变量。庄伯金庄伯金 1212随机过程的积分n定义定义(均方积分均方积分)：考虑：考虑 内的一组分点：内的一组分点：记记若存在随机变量若存在随机变量 ，满足，满足则称则称 为为 在区间在区间 上的上的均方积分均方积分，仍记为，仍记为庄伯金庄伯金 1313随机过程的积分n定理：二阶矩过程定理：二阶矩过程 在在 上均方积分存在的充要条件上均方积分存在的充要条件是自相关函数的二重积分是自相关函数的二重积分存

9、在。且可得存在。且可得 均方积分的均值等于过程的均值函数的积均方积分的均值等于过程的均值函数的积分，即有分，即有庄伯金庄伯金 1414随机过程的时间平均n定义：设随机过程定义：设随机过程 ，记，记为随机过程的为随机过程的时间均值时间均值。n记记为随机过程的为随机过程的时间相关函数时间相关函数。庄伯金庄伯金 1515随机过程的时间平均n例：随机相位正弦波例：随机相位正弦波 的时间均值的时间均值 和和 。n解：解：可得可得n即可通过时间平均计算过程的集平均。即可通过时间平均计算过程的集平均。庄伯金庄伯金 1616遍历性n定义：设定义：设 是平稳过程，是平稳过程，n1.若若 以概率以概率1成立，则称

10、过程成立，则称过程 的的均值具有各态历经性均值具有各态历经性。n2.若对于任意的实数若对于任意的实数 ，以概率以概率1成立，则称过程成立，则称过程 的的相关函数具有各态历经性相关函数具有各态历经性。n3.若若 的均值和相关函数都具有各态历经性，则称的均值和相关函数都具有各态历经性，则称 是是（宽）各态历经过程。（宽）各态历经过程。n注：各态历经性也称为遍历性。注：各态历经性也称为遍历性。庄伯金庄伯金 1717遍历性n定理（均值各态历经定理）：平稳过程定理（均值各态历经定理）：平稳过程 的均值具有各态的均值具有各态历经性的充要条件是历经性的充要条件是n推论：假设推论：假设 存在，若存在，若 ，则

11、过程具有，则过程具有均值各态历经性；若均值各态历经性；若 ，则过程不具有均值各，则过程不具有均值各态历经性。态历经性。庄伯金庄伯金 1818遍历性n定理（自相关函数各态历经定理）：平稳过程定理（自相关函数各态历经定理）：平稳过程 的自相关的自相关函数函数 具有各态历经性的充要条件是：具有各态历经性的充要条件是：其中其中庄伯金庄伯金 1919遍历性n若随机过程若随机过程 ，参数集，参数集 ，则时间平均可，则时间平均可定义为：定义为：n定理：定理：以概率以概率1成立的充要条件是成立的充要条件是庄伯金庄伯金 2020遍历性n定理：定理：以概率以概率1成立的充要条件是成立的充要条件是n遍历性定义表明若

12、过程具有遍历性，可用一次试验样本曲线的遍历性定义表明若过程具有遍历性，可用一次试验样本曲线的时间平均计算随机过程的均值和相关性函数。时间平均计算随机过程的均值和相关性函数。庄伯金庄伯金 2121遍历性n设一次随机试验记录了设一次随机试验记录了 上的试验结果上的试验结果 ，假设平稳过，假设平稳过程满足遍历性条件，试估算平稳过程的均值函数和自相关函数。程满足遍历性条件，试估算平稳过程的均值函数和自相关函数。n解：由遍历性的定义，可知随机过程的均值函数与自相关函数解：由遍历性的定义，可知随机过程的均值函数与自相关函数的无偏估计为：的无偏估计为：庄伯金庄伯金 2222n数字化，将区间数字化，将区间 做

13、做 等分，取等分，取 ，令，令则上述积分可近似表示为则上述积分可近似表示为其中其中庄伯金庄伯金 2323相关函数的性质n设设 和和 是平稳相关过程，它们的自相关函数和互相关是平稳相关过程，它们的自相关函数和互相关函数：函数：n自协方差函数和互协方差函数：自协方差函数和互协方差函数：庄伯金庄伯金 2424相关函数的性质n性质性质1.n性质性质2.n证明：证明：n性质性质3.n证明：证明：庄伯金庄伯金 2525相关函数的性质n性质性质4.n证明：由柯西证明：由柯西-施瓦兹不等式施瓦兹不等式 庄伯金庄伯金 2626相关函数的性质n性质性质5. 是非负定的，即对任意数组是非负定的，即对任意数组 和任意

14、和任意实值函数实值函数 ，都有，都有n证明：证明：庄伯金庄伯金 2727相关函数的性质n性质性质6.若平稳过程周期为若平稳过程周期为 ，即，即 ，则其自相关函数也是周期的，且周期为则其自相关函数也是周期的，且周期为 ，即，即n证明：证明：n注：零均值的非周期噪声和干扰在注：零均值的非周期噪声和干扰在 值适当大时，值适当大时， 和和 呈现独立性或不相关性。即有呈现独立性或不相关性。即有庄伯金庄伯金 2828相关函数的性质n例：某接收机输出电压例：某接收机输出电压 由周期信号由周期信号 和噪声电压和噪声电压 之和，即之和，即n设设 和和 互不相关的各态历经性过程，且互不相关的各态历经性过程，且 。

15、则自相关函数则自相关函数n由于由于n所以，对于适度的所以，对于适度的 ，有，有 ，呈现周期性。，呈现周期性。n故可以通过检验输出电压自相关函数是否近似具有周期性来检故可以通过检验输出电压自相关函数是否近似具有周期性来检验是否有输出信号。验是否有输出信号。庄伯金庄伯金 2929傅里叶变换n定义（傅里叶变换）：设时间函数定义（傅里叶变换）：设时间函数 ，满足狄，满足狄利克雷条件，且绝对可积，即利克雷条件，且绝对可积，即则其则其傅里叶变换傅里叶变换存在，即存在，即n傅里叶逆变换傅里叶逆变换为：为：n注：若注：若 傅里叶变换存在，则信号傅里叶变换存在，则信号 可以看作（或分解）可以看作（或分解）将周期

16、信号将周期信号 放大到放大到 倍之后的叠加。倍之后的叠加。n 为频率为为频率为 的周期波的振幅，称为信号的的周期波的振幅，称为信号的频谱频谱。庄伯金庄伯金 3030傅里叶变换n帕塞瓦尔（帕塞瓦尔（Parseval）等式：）等式：n注：帕塞瓦尔等式揭示了信号在傅里叶变换前后能量保持不变注：帕塞瓦尔等式揭示了信号在傅里叶变换前后能量保持不变的特性。其实正交变换都具有这种特性。的特性。其实正交变换都具有这种特性。n注：一般的，平稳过程的样本函数注：一般的，平稳过程的样本函数 并不具备能量有限的并不具备能量有限的条件，且一般不满足绝对可积的条件。条件，且一般不满足绝对可积的条件。n对平稳过程，转而研究

17、样本函数的对平稳过程，转而研究样本函数的平均功率平均功率：庄伯金庄伯金 3131功率谱密度n为了描述平均功率，取样本函数的为了描述平均功率，取样本函数的截尾函数截尾函数n其傅里叶变换为其傅里叶变换为n根据帕塞瓦尔等式，可得根据帕塞瓦尔等式，可得n求平均，可得求平均，可得庄伯金庄伯金 3232功率谱密度n令令 ，则，则 在在 的平均功率可表示为的平均功率可表示为n定义：定义：功率谱密度功率谱密度庄伯金庄伯金 3333平稳过程的功率谱密度n定义：平稳过程定义：平稳过程 ，记，记称称为平稳过程的为平稳过程的平均功率平均功率。称称为平稳过程的为平稳过程的功率谱密度功率谱密度。庄伯金庄伯金 3434平稳

18、过程的功率谱密度n定义：称定义：称为平稳过程的平均功率的为平稳过程的平均功率的谱表示谱表示。庄伯金庄伯金 3535谱密度的性质n性质性质1. 是是 的实值、非负的偶函数。的实值、非负的偶函数。n性质性质2. 和和 是一对傅里叶变换对，即（是一对傅里叶变换对，即（维纳维纳-辛钦辛钦公式公式）：）：庄伯金庄伯金 3636谱密度的例n例：随机电报信号为平稳过程，其自相关函数为例：随机电报信号为平稳过程，其自相关函数为求功率谱密度。求功率谱密度。n解：解：庄伯金庄伯金 3737谱密度的例n例：已知谱密度例：已知谱密度求自相关函数和均方值求自相关函数和均方值n解解n均方值均方值庄伯金庄伯金 3838单位

19、冲激函数n定义：广义函数定义：广义函数 满足：满足：称为单位冲激函数，简称称为单位冲激函数，简称 函数。函数。n性质性质1. n性质性质2. 傅里叶变换对傅里叶变换对 庄伯金庄伯金 3939单位冲激函数n性质性质3. 正弦性自相关函数正弦性自相关函数 的谱密度为的谱密度为n证明：证明：庄伯金庄伯金 4040单位冲激函数n例：求自相关函数例：求自相关函数的功率谱密度。的功率谱密度。n解解庄伯金庄伯金 4141白噪声n定义：均值为零而谱密度为正常数，即定义：均值为零而谱密度为正常数，即的平稳过程的平稳过程 称为称为白噪声过程白噪声过程，简称，简称白噪声白噪声。n白噪声的自相关函数：白噪声的自相关函

20、数：n白噪声为均值为零，自相关函数为白噪声为均值为零，自相关函数为 函数的随机过程，且对于函数的随机过程，且对于 ，有，有 和和 不相关。不相关。庄伯金庄伯金 4242白噪声n低通白噪声：若均值为零，谱密度在低频范围内为常数，即低通白噪声：若均值为零，谱密度在低频范围内为常数，即则称随机过程为低通白噪声。则称随机过程为低通白噪声。n自相关函数：自相关函数：庄伯金庄伯金 4343互谱密度n定义：设定义：设 和和 是平稳相关的随机过程，称是平稳相关的随机过程，称为平稳过程为平稳过程 和和 的互谱密度。的互谱密度。n性质性质1. n性质性质2. 若互相关函数若互相关函数 绝对可积，则有傅里叶变换对：绝对可积，则有傅里叶变换对：n性质性质3. 和和 是偶函数，是偶函数， 和和 是奇函数。是奇函数。 庄伯金庄伯金 4444互谱密度n性质性质4. 庄伯金庄伯金 4545作业1nP360 1nP360 4nP360 6nP360 7nP360 8庄伯金庄伯金 4646作业2nP361 10nP361 12nP361 13nP361 15nP361 18庄伯金庄伯金 4747