《高等数学B：1.1-1.2 数列极限（12)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学B：1.1-1.2 数列极限（12)（61页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高等数学高等数学(B) I主讲：主讲：张勤张勤（多媒体教案）（多媒体教案）Tel: 13584056217E-mail: Office Hours：2:00-4:00 pm, Monday 2引引 言言一、什么是高等数学一、什么是高等数学 ?初等数学初等数学 研究对象为研究对象为常量常量,以静止观点研究问题以静止观点研究问题.高等数学高等数学 研究对象为研究对象为变量变量,运动运动和和辩证法辩证法进入了数学进入了数学.31. 分析基础分析基础: 函数函数 , 极限极限, 连续连续 2. 微积分学微积分学: 一元微积分一元微积分(上册)(下册)3. 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何4
2、. 无穷级数无穷级数5. 常微分方程常微分方程主要内容主要内容多元微积分多元微积分(上册)(上册)(下册)(下册)6. Mathematica 软件软件(上，下册)4二、如何学习高等数学二、如何学习高等数学 ?1. 认识高等数学的重要性认识高等数学的重要性, 培养浓厚的学习兴趣培养浓厚的学习兴趣.马克思马克思 恩格斯恩格斯要辨证而又唯物地了解自然 ,就必须熟悉数学.一门科学, 只有当它成功地运用数学时,才能达到真正完善的地步 . 高等数学是重要的基础理论课，他不仅在自高等数学是重要的基础理论课，他不仅在自然科学、工程技术、经济领域中有广泛的应用，然科学、工程技术、经济领域中有广泛的应用，在生物
3、医药领域的应用与日俱增。在生物医药领域的应用与日俱增。52. 学数学最好的方式是做数学学数学最好的方式是做数学.聪明在于学习聪明在于学习 , 天才在于积累天才在于积累 .学而优则用学而优则用 , 学而优则创学而优则创 .由薄到厚由薄到厚 , 由厚到薄由厚到薄 .华罗庚华罗庚几个环节：几个环节： 预习预习听课（听课（按重点记好笔记按重点记好笔记） 复习复习 作业作业总结总结6三、作业要求三、作业要求 每人常备每人常备2 2本作业本，本作业本，1 1本笔记本。在作业本笔记本。在作业本上写上姓名、本上写上姓名、学号，学号，把学号的最后两位数把学号的最后两位数除以除以3 3，余数为，余数为1 1，2
4、2，0 0分别分别在作业本的左上在作业本的左上角标上角标上A,B,CA,B,C。每。每周一周一上课时交作业。上课时交作业。要求书写认真（要抄题，指明第几章要求书写认真（要抄题，指明第几章习题几）步骤简明、作图正确，按时交，习题几）步骤简明、作图正确，按时交，作业计算平时成绩。作业计算平时成绩。05A1班班，2班，班，14B1班，班，2班各推荐一名课班各推荐一名课 代表，负责收发作业，其余代表，负责收发作业，其余 选课的同学直选课的同学直 接交给我。接交给我。7四、四、 大学与高中数学学习方法有差异，尽大学与高中数学学习方法有差异，尽快适应大学的学习方法。快适应大学的学习方法。在学习要求上： 除
5、了会做习题外，还要学会分析问题、提出问题和解决问题，学会将理论应用于实际。 B.讲课方式上：进度快，内容多、深、广，有精 讲、 粗讲、启发式讲和自学等形式。要尽快适应 大学的学习方法。学习方法：理解基本概念，弄清内在联系，学会分 析问题，培养自学能力。培养找参考书、收集资料的能力，以及做笔记、总结、归纳的能力。要有自控能力。8五、参考书五、参考书1.1. 同济大学，高等数学，高等教育出版社。同济大学，高等数学，高等教育出版社。 ( (另有辅导书习题集另有辅导书习题集) )。2.2.董梅芳，高等数学习题课教程，董梅芳，高等数学习题课教程， 高等教育出版社。高等教育出版社。3.3.质量高的考研辅导
6、书。质量高的考研辅导书。 4. 4. 高等数学试题分析高等数学试题分析六、成绩评定六、成绩评定总评总评=平时（平时（10%)+期中成绩（期中成绩（20%） +期末成绩（期末成绩（65%）+数学实验（数学实验（5%）9预备知识预备知识: :1. 1. 分段函数；分段函数； 2 2. . 双曲函数；双曲函数；3. 3. 邻域；邻域；4. 4. 逻辑符号。逻辑符号。第一章第一章极限与连续极限与连续101.1.分段函数：分段函数： 在自变量的不同范围中，在自变量的不同范围中，对应法则对应法则用不同的式子用不同的式子来表示的来表示的( (一个一个) )函数称为函数称为分段函数分段函数。例例分段函数不是初
7、等函数。分段函数不是初等函数。注：注：11分段函数举例分段函数举例:符号函数当 x 0当 x = 0当 x N 时, 总有记作此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 .几何解释 :即或则称该数列的极限为 a ,24几何解释几何解释:25例例1. 已知证明数列的极限为1. 证证: 欲使即只要因此 , 取则当时, 就有故26 欲用定义证明欲用定义证明只要只要这可从这可从出发解不等式出发解不等式, ,看看n多大后多大后, ,该不等式该不等式成立成立, ,从而确定从而确定N. .27例例2. 已知证明证证:欲使只要即取则当时, 就有故故也可取也可由N 与 有关, 但不唯一.不一定取最小的 N .说明说明
8、: 取28例例3. 设证明等比数列证证:欲使只要即亦即因此 , 取, 则当 n N 时, 就有故的极限为 0 .（常用结论）常用结论）29用定义证明用定义证明例例4.4. ( (常用结论）常用结论）证证：欲使欲使只要只要即即因此因此 , 取取, 则当则当 n N 时时, 就有就有故故30例例5 5. 证证：只要证明任意实数只要证明任意实数都不是该数列的极限都不是该数列的极限 因此因此发散。发散。证明证明发散。发散。作作 业业习习 题题 一一 （P5）2(1)(2)(4)2(1)(2)(4)；*3(2)(3)3(2)(3)；*4 4 ；*6(1)6(1)。371.2.2收敛数列的性质收敛数列的性
9、质证证: 用反证法.及且取因故存在 N1 , 从而同理, 因故存在 N2 , 使当 n N2 时, 有1. 收敛数列的极限唯一收敛数列的极限唯一.使当 n N1 时, 假设从而矛盾.因此收敛数列的极限必唯一.则当 n N 时, 故假设不真 !满足的不等式382. 收敛数列一定有界收敛数列一定有界.证证: 设取则当时, 从而有取 则有由此证明收敛数列必有界.说明说明: 此性质反过来不一定成立 . 例如,虽有界但不收敛 .有数列393. 收敛数列的保号性收敛数列的保号性.若且时, 有证证: 对 a 0 , 取推论推论:若数列从某项起(用反证法证明)特点特点定理定理极限的特点极限的特点 项项 的特点
10、的特点 性质性质 4 4 推论推论 1 1 推论推论 2 2 431.2.3.数列极限的运算法则数列极限的运算法则 定理定理1 证明(略，不要求）说明说明: (1)(2) 可推广到有限个数列的情形 .44例例7解解: 时,分子分子分母同除以则分母“ 抓大头抓大头”原式一般有如下结果：一般有如下结果：为非负常数为非负常数 )45例例8解解: 时,分子有理化，则例例9 讨论讨论解解: 因为因为46综上综上47定理定理2 夹逼准则夹逼准则 (P9)证证: 由条件 (2) ,当时,当时,令则当时, 有由条件 (1)即故 48例例10. 证明证证: 利用夹逼准则 .且由49例例11 求求解解: 由由利用
11、夹逼准则利用夹逼准则 .所以所以50（级数中常用结论）证明证明例例12 证：证：利用夹逼准则利用夹逼准则 .511.2. 4单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限 ( P10 ) ( 证明略 )52例例13. 设证明数列极限存在 . (P10P11)证证: 利用二项式公式 , 有53大大 大大 正正又比较可知54根据准则 2 可知数列记此极限为 e , e 为无理数 , 其值为即有极限 .又55例例14证明数列证明数列收敛收敛,并求极限并求极限.证明：证明：(1)由数学归纳法证明单调性由数学归纳法证明单调性显然显然假设假设所以所以(2) 证明数列有上界证明数列有上界由由数列有上界数列有上界(3) 在在两边令两边令由单调有界原理，由单调有界原理，极限存在，极限存在， 设设得得故由保号性故由保号性56故极限存在，, 且求解解设则由递推公式有数列单调递减有下界，故利用极限存在准则 例例1515. 设( 保号性）57例例16 求求解解例例17 求求解解作作 业业习习 题题 二（二（P11）1 1； 2 2（1 1）；）；3 3（1 1）（）（2 2）；）；4 4（2 2）（）（3 3）（）（4 4）。）。则有有， ，
