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1、会计学1数学模型数学论文指导初等数学模型数学论文指导初等(chdng)模型模型分配问题分配问题第一页，共26页。 席位分配席位分配席位分配席位分配(fnpi)(fnpi)(fnpi)(fnpi)问题问题问题问题 某校有200名学生，甲系100名，乙系60名，丙系40名，若学生代表会议设20个席位(xwi)，问三系各有多少个席位(xwi)？按惯例分配席位(xwi)方案，即按人数比例分配原则 表示某单位的席位数 表示某单位的人数 表示总人数 表示总席位数1 问题的提问题的提出出第1页/共25页第二页，共26页。2020个席位的分配个席位的分配(fnpi)(fnpi)结果结果现丙系有6名学生(xu
2、sheng)分别转到甲、乙系各3名。10641064现象现象1 1 丙系虽少了丙系虽少了6 6人，但席位人，但席位(xwi)(xwi)仍为仍为4 4个。（不公平个。（不公平！）！）第2页/共25页第三页，共26页。为了(wi le)在表决提案时可能出现10：10的平局，再设一个席位。2121个席位的分配个席位的分配(fnpi)(fnpi)结果结果1173现象现象2 2 总席位增加一席总席位增加一席(y x)(y x)，丙系反而减少一席，丙系反而减少一席(y x)(y x)。（不公平！）（不公平！）惯例分配方法惯例分配方法：按比例分配完取整数的名额后，剩下的名额按比例分配完取整数的名额后，剩下的
3、名额按惯例分给小数部分较大者。按惯例分给小数部分较大者。存在不公平现象，能否给出更公平的分配席位的方案？存在不公平现象，能否给出更公平的分配席位的方案？第3页/共25页第四页，共26页。2 建模分析建模分析(fnx)目标：建立公平的分配方案。反映公平分配的数量指标可用每席位代表的人数(rn sh)来衡量。第4页/共25页第五页，共26页。一般(ybn)地，当席位(xwi)分配公平第5页/共25页第六页，共26页。但通常不一定相等，席位分配的不公平程度(chngd)用以下标准来判断。此值越小分配越趋于公平(gng png)，但这并不是一个好的衡量标准。C,DC,D的不公平程度的不公平程度(chn
4、gd)(chngd)大为改善！大为改善！第6页/共25页第七页，共26页。2） 相对(xingdu)不公平表示(biosh)每个席位代表的人数，总人数一定时，此值越大，代表的人数就越多，分配的席位就越少。则A吃亏(ch ku),或对A 是不公平的。定义“相对不公平”对A 的相对不公平值；同理，可定义对B 的相对不公平值为：第7页/共25页第八页，共26页。对B 的相对(xingdu)不公平值；建立了衡量分配(fnpi)不公平程度的数量指标制定席位分配方案(fng n)的原则是使它们的尽可能的小。3 3 建模建模模型模型1 1若A、B两方已占有席位数为用相对不公平值讨论当席位增加1 个时，应该给
5、A 还是B 方。不失一般性，有下面三种情形。第8页/共25页第九页，共26页。情形情形(qng (qng xing)1xing)1说明即使给A 单位增加1席，仍对A 不公平，所增这一席(y x)必须给A单位。情形情形(qng (qng xing)2xing)2说明当对A 不公平时，给A 单位增加1席，对B 又不公平。计算对B 的相对不公平值情形情形3 3说明当对A 不公平时，给B 单位增加1席，对A 不公平。计算对A 的相对不公平值第9页/共25页第十页，共26页。则这一席位(xwi)给A 单位，否则给B 单位。结论：当（结论：当（* *）成立时，增加的一个）成立时，增加的一个(y )(y )
6、席位应分配给席位应分配给A A 单位，单位，反之，应分配给反之，应分配给 B B 单位。单位。第10页/共25页第十一页，共26页。记记则增加的一个席位则增加的一个席位(xwi)(xwi)应分配给应分配给Q Q值值 较大的一方。较大的一方。这样的分配席位(xwi)的方法称为Q值方法。若A、B两方已占有(zhnyu)席位数为4 4 推广推广 有m 方分配席位的情况设方人数为，已占有个席位，当总席位增加1 席时，计算则1 席应分给Q值最大的一方。从开始，即每方至少应得到以1 席，（如果有一方1 席也分不到，则把它排除在外。）第11页/共25页第十二页，共26页。n n设有设有k k个部门，每个部门
7、的人数分别个部门，每个部门的人数分别n n 为为 , ,总人数总人数N N，待分配，待分配的席位为的席位为mm，理想化的席位分配结果为，理想化的席位分配结果为 , , 记记 显然，若全为整数时，显然，若全为整数时，应有应有(yn yu) (yn yu) 当不全为整数当不全为整数时，需要确定同时满足下列公理的公平时，需要确定同时满足下列公理的公平分配方案：分配方案：模型模型(mxng)2(mxng)2第12页/共25页第十三页，共26页。n n公理1、 ，即 取 ，其中 ， ， 表示 的整数部分。n n公理2、 n n，即总席位增加时，各个部门的席位数不会减少。n n公理1显然满足Young公理
8、的公理IV（公平分摊性），公理2显然满足Young公理的公理I（人口单调(dndio)性）和公理III（名额单调(dndio)性）第13页/共25页第十四页，共26页。设总人数设总人数(rn sh)(rn sh)为为n n，总席位数为，总席位数为m m，第，第个部门个部门(bmn)(bmn)的人的人数为数为 ，令，令称其为对第称其为对第个部门的绝对个部门的绝对(judu)(judu)不公平值。不公平值。令令称其为对第称其为对第个部门的相对不公平值，或称为相对尾数。个部门的相对不公平值，或称为相对尾数。第14页/共25页第十五页，共26页。n n由于人口数是整数，为使分配由于人口数是整数，为使分
9、配(fnpi)(fnpi)公平，公平，需所有的需所有的 越小越好，所以公平的分配越小越好，所以公平的分配(fnpi)(fnpi)方案应该是最大的方案应该是最大的 达到最小，达到最小，亦即所有的达到最小。亦即所有的达到最小。n n为方便起见，首先考虑只有两个部门的情为方便起见，首先考虑只有两个部门的情况，并且况，并且 ， 和和 不全是整数（实不全是整数（实际上，它们同为整数或小数）。际上，它们同为整数或小数）。记记 ，即，即 为为的小数的小数(xiosh)(xiosh)部部分。分。第15页/共25页第十六页，共26页。n n 定理(dngl) 、满足公理1、2的分配方案为：n n(1) 若 ，且
10、 ，则取 ，n n（即“比例加惯例”的方法）。n n(2) 若 ，则取得结果同上. n n(3) 若 ，则取第16页/共25页第十七页，共26页。n n按照定理，对三个部门，设全不为零（若有一个为零，实则按两个(lin)部门进行分配），可以做以下公平的分配第17页/共25页第十八页，共26页。n n当 时；按比例取整后，多余的席位(xwi)分配给小数部分较大的部门（比例加惯例的方法）。n n当 时；按比例取整后，若多余一个席位(xwi)，则分配给第一个部门，若多余两个席位(xwi)，则分配给第一个部门及第二、三部门中小数部分较大的部门。第18页/共25页第十九页，共26页。n n当时 ；按比例
11、(bl)取整后，若多余一个席位，则分配给第一、二部门中小数部分较大的部门，若多余两个席位，则分配给第一部门和第二部门。n n当时 ；按比例(bl)取整后，若多余一个席位，则分配给第一部门；若多余两个席位，则分配给第一部门和第二部门。第19页/共25页第二十页，共26页。n n一般(ybn)地，对 个部门，设 不全为零，且 ，则当 时，将剩余的 个席位分配给第一至第 个部门，当 时，将剩余的 个席位分配给第一至第 -1个部门及 ( 较大的一个部门。 第20页/共25页第二十一页，共26页。X-X-表示相对表示相对(xingdu)(xingdu)尾数法分配结果，尾数法分配结果，B-B-表示比例加惯
12、例分配结果，表示比例加惯例分配结果，Q-Q-表示表示Q-Q-值法分配结果，值法分配结果，H-H-表示表示dHondtdHondt法（文法（文11）分配结果）分配结果第21页/共25页第二十二页，共26页。5 举例举例(j l)甲、乙、丙三系各有人数103，63，34，有21个席位(xwi)，如何分配？按按Q值方法值方法(fngf)：第22页/共25页第二十三页，共26页。练习练习(linx(linx)学校共1000学生，235人住在A楼，333人住在B楼，432住在C楼。学生要组织一个10人委员(wiyun)会，试用惯例分配方法， dHondt方法和Q值方法分配各楼的委员(wiyun)数，并比
13、较结果。第23页/共25页第二十四页，共26页。dHondt方法(fngf)有k个单位(dnwi)，每单位(dnwi)的人数为 pi ，总席位数为n。做法(zuf)：用自然数1,2,3,分别除以每单位的人数，从所得的数中由大到小取前 n 个，（这n 个数来自各个单位人数用自然数相除的结果），这n 个数中哪个单位有几个所分席位就为几个。第24页/共25页第二十五页，共26页。内容(nirng)总结会计学。但通常不一定相等，席位分配的不公平程度用以下标准来判断。此值越小分配越趋于公平，但这并不是一个好的衡量标准。则A吃亏,或对A 是不公平的。说明即使给A 单位增加1席，仍对A。个部门(bmn)的相对不公平值，或称为相对尾数。定理 、满足公理1、2的分配方案为：。在B楼，432住在C楼。做法：。用自然数1,2,3,第二十六页，共26页。
