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1、会计学1数学模型数学论文指导初等数学模型数学论文指导初等(chdng)模型模型分配问题分配问题第一页,共26页。 席位分配席位分配席位分配席位分配(fnpi)(fnpi)(fnpi)(fnpi)问题问题问题问题 某校有200名学生,甲系100名,乙系60名,丙系40名,若学生代表会议设20个席位(xwi),问三系各有多少个席位(xwi)?按惯例分配席位(xwi)方案,即按人数比例分配原则 表示某单位的席位数 表示某单位的人数 表示总人数 表示总席位数1 问题的提问题的提出出第1页/共25页第二页,共26页。2020个席位的分配个席位的分配(fnpi)(fnpi)结果结果现丙系有6名学生(xu
2、sheng)分别转到甲、乙系各3名。10641064现象现象1 1 丙系虽少了丙系虽少了6 6人,但席位人,但席位(xwi)(xwi)仍为仍为4 4个。(不公平个。(不公平!)!)第2页/共25页第三页,共26页。为了(wi le)在表决提案时可能出现10:10的平局,再设一个席位。2121个席位的分配个席位的分配(fnpi)(fnpi)结果结果1173现象现象2 2 总席位增加一席总席位增加一席(y x)(y x),丙系反而减少一席,丙系反而减少一席(y x)(y x)。(不公平!)(不公平!)惯例分配方法惯例分配方法:按比例分配完取整数的名额后,剩下的名额按比例分配完取整数的名额后,剩下的
3、名额按惯例分给小数部分较大者。按惯例分给小数部分较大者。存在不公平现象,能否给出更公平的分配席位的方案?存在不公平现象,能否给出更公平的分配席位的方案?第3页/共25页第四页,共26页。2 建模分析建模分析(fnx)目标:建立公平的分配方案。反映公平分配的数量指标可用每席位代表的人数(rn sh)来衡量。第4页/共25页第五页,共26页。一般(ybn)地,当席位(xwi)分配公平第5页/共25页第六页,共26页。但通常不一定相等,席位分配的不公平程度(chngd)用以下标准来判断。此值越小分配越趋于公平(gng png),但这并不是一个好的衡量标准。C,DC,D的不公平程度的不公平程度(chn
4、gd)(chngd)大为改善!大为改善!第6页/共25页第七页,共26页。2) 相对(xingdu)不公平表示(biosh)每个席位代表的人数,总人数一定时,此值越大,代表的人数就越多,分配的席位就越少。则A吃亏(ch ku),或对A 是不公平的。定义“相对不公平”对A 的相对不公平值;同理,可定义对B 的相对不公平值为:第7页/共25页第八页,共26页。对B 的相对(xingdu)不公平值;建立了衡量分配(fnpi)不公平程度的数量指标制定席位分配方案(fng n)的原则是使它们的尽可能的小。3 3 建模建模模型模型1 1若A、B两方已占有席位数为用相对不公平值讨论当席位增加1 个时,应该给
5、A 还是B 方。不失一般性,有下面三种情形。第8页/共25页第九页,共26页。情形情形(qng (qng xing)1xing)1说明即使给A 单位增加1席,仍对A 不公平,所增这一席(y x)必须给A单位。情形情形(qng (qng xing)2xing)2说明当对A 不公平时,给A 单位增加1席,对B 又不公平。计算对B 的相对不公平值情形情形3 3说明当对A 不公平时,给B 单位增加1席,对A 不公平。计算对A 的相对不公平值第9页/共25页第十页,共26页。则这一席位(xwi)给A 单位,否则给B 单位。结论:当(结论:当(* *)成立时,增加的一个)成立时,增加的一个(y )(y )
6、席位应分配给席位应分配给A A 单位,单位,反之,应分配给反之,应分配给 B B 单位。单位。第10页/共25页第十一页,共26页。记记则增加的一个席位则增加的一个席位(xwi)(xwi)应分配给应分配给Q Q值值 较大的一方。较大的一方。这样的分配席位(xwi)的方法称为Q值方法。若A、B两方已占有(zhnyu)席位数为4 4 推广推广 有m 方分配席位的情况设方人数为,已占有个席位,当总席位增加1 席时,计算则1 席应分给Q值最大的一方。从开始,即每方至少应得到以1 席,(如果有一方1 席也分不到,则把它排除在外。)第11页/共25页第十二页,共26页。n n设有设有k k个部门,每个部门
7、的人数分别个部门,每个部门的人数分别n n 为为 , ,总人数总人数N N,待分配,待分配的席位为的席位为mm,理想化的席位分配结果为,理想化的席位分配结果为 , , 记记 显然,若全为整数时,显然,若全为整数时,应有应有(yn yu) (yn yu) 当不全为整数当不全为整数时,需要确定同时满足下列公理的公平时,需要确定同时满足下列公理的公平分配方案:分配方案:模型模型(mxng)2(mxng)2第12页/共25页第十三页,共26页。n n公理1、 ,即 取 ,其中 , , 表示 的整数部分。n n公理2、 n n,即总席位增加时,各个部门的席位数不会减少。n n公理1显然满足Young公理
8、的公理IV(公平分摊性),公理2显然满足Young公理的公理I(人口单调(dndio)性)和公理III(名额单调(dndio)性)第13页/共25页第十四页,共26页。设总人数设总人数(rn sh)(rn sh)为为n n,总席位数为,总席位数为m m,第,第个部门个部门(bmn)(bmn)的人的人数为数为 ,令,令称其为对第称其为对第个部门的绝对个部门的绝对(judu)(judu)不公平值。不公平值。令令称其为对第称其为对第个部门的相对不公平值,或称为相对尾数。个部门的相对不公平值,或称为相对尾数。第14页/共25页第十五页,共26页。n n由于人口数是整数,为使分配由于人口数是整数,为使分
9、配(fnpi)(fnpi)公平,公平,需所有的需所有的 越小越好,所以公平的分配越小越好,所以公平的分配(fnpi)(fnpi)方案应该是最大的方案应该是最大的 达到最小,达到最小,亦即所有的达到最小。亦即所有的达到最小。n n为方便起见,首先考虑只有两个部门的情为方便起见,首先考虑只有两个部门的情况,并且况,并且 , 和和 不全是整数(实不全是整数(实际上,它们同为整数或小数)。际上,它们同为整数或小数)。记记 ,即,即 为为的小数的小数(xiosh)(xiosh)部部分。分。第15页/共25页第十六页,共26页。n n 定理(dngl) 、满足公理1、2的分配方案为:n n(1) 若 ,且
10、 ,则取 ,n n(即“比例加惯例”的方法)。n n(2) 若 ,则取得结果同上. n n(3) 若 ,则取第16页/共25页第十七页,共26页。n n按照定理,对三个部门,设全不为零(若有一个为零,实则按两个(lin)部门进行分配),可以做以下公平的分配第17页/共25页第十八页,共26页。n n当 时;按比例取整后,多余的席位(xwi)分配给小数部分较大的部门(比例加惯例的方法)。n n当 时;按比例取整后,若多余一个席位(xwi),则分配给第一个部门,若多余两个席位(xwi),则分配给第一个部门及第二、三部门中小数部分较大的部门。第18页/共25页第十九页,共26页。n n当时 ;按比例
11、(bl)取整后,若多余一个席位,则分配给第一、二部门中小数部分较大的部门,若多余两个席位,则分配给第一部门和第二部门。n n当时 ;按比例(bl)取整后,若多余一个席位,则分配给第一部门;若多余两个席位,则分配给第一部门和第二部门。第19页/共25页第二十页,共26页。n n一般(ybn)地,对 个部门,设 不全为零,且 ,则当 时,将剩余的 个席位分配给第一至第 个部门,当 时,将剩余的 个席位分配给第一至第 -1个部门及 ( 较大的一个部门。 第20页/共25页第二十一页,共26页。X-X-表示相对表示相对(xingdu)(xingdu)尾数法分配结果,尾数法分配结果,B-B-表示比例加惯
12、例分配结果,表示比例加惯例分配结果,Q-Q-表示表示Q-Q-值法分配结果,值法分配结果,H-H-表示表示dHondtdHondt法(文法(文11)分配结果)分配结果第21页/共25页第二十二页,共26页。5 举例举例(j l)甲、乙、丙三系各有人数103,63,34,有21个席位(xwi),如何分配?按按Q值方法值方法(fngf):第22页/共25页第二十三页,共26页。练习练习(linx(linx)学校共1000学生,235人住在A楼,333人住在B楼,432住在C楼。学生要组织一个10人委员(wiyun)会,试用惯例分配方法, dHondt方法和Q值方法分配各楼的委员(wiyun)数,并比
13、较结果。第23页/共25页第二十四页,共26页。dHondt方法(fngf)有k个单位(dnwi),每单位(dnwi)的人数为 pi ,总席位数为n。做法(zuf):用自然数1,2,3,分别除以每单位的人数,从所得的数中由大到小取前 n 个,(这n 个数来自各个单位人数用自然数相除的结果),这n 个数中哪个单位有几个所分席位就为几个。第24页/共25页第二十五页,共26页。内容(nirng)总结会计学。但通常不一定相等,席位分配的不公平程度用以下标准来判断。此值越小分配越趋于公平,但这并不是一个好的衡量标准。则A吃亏,或对A 是不公平的。说明即使给A 单位增加1席,仍对A。个部门(bmn)的相对不公平值,或称为相对尾数。定理 、满足公理1、2的分配方案为:。在B楼,432住在C楼。做法:。用自然数1,2,3,第二十六页,共26页。