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1、第三节合情推理与演绎推理总纲目录教材研读1.合情推理考点突破2.演绎推理考点二归纳推理考点二归纳推理考点一类比推理考点三演绎推理考点三演绎推理类型定义特点归纳推理根据一类事物的部分部分对象具有某种性质,推出这类事物的全部全部对象都具有这种性质的推理由部分部分到整体整体、由个别个别到一般一般类比推理根据两类事物之间具有某些类似(或一致)性,推测一类事物具有另一类事物类似(或相同)的性质的推理由特殊特殊到特殊特殊1.合情推理合情推理教材研读教材研读2.演绎推理演绎推理(1)定义定义:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论的推理称为演绎推理.简言之,演绎推理是由一般到特殊的推理.(2)“三段论
2、三段论”是演绎推理的一般模式是演绎推理的一般模式,包括包括:(i)大前提已知的一般原理;(ii)小前提所研究的特殊情况;(iii)结论根据一般原理,对特殊情况作出的判断.1.(1)已知a是三角形一边的长,h是该边上的高,则三角形的面积是ah,如果把扇形的弧长l,半径r分别看成三角形的底边长和高,可得到扇形的面积为lr;(2)由1=12,1+3=22,1+3+5=32,可得到1+3+5+2n-1=n2.(1)(2)两个推理过程分别属于()A.类比推理、归纳推理B.类比推理、演绎推理C.归纳推理、类比推理D.归纳推理、演绎推理答案答案A(1)三角形的性质与扇形的性质有相似之处,此种推理为类比推理;
3、(2)由特殊到一般,此种推理为归纳推理.故选A.A2.(2017北京海淀二模)一位手机用户前四次输入四位数字手机密码均不正确,第五次输入密码正确,手机解锁.事后发现前四次输入的密码中,每次都有两个数字正确,但它们各自的位置均不正确.已知前四次输入的密码分别为3406,1630,7364,6173,则正确的密码中一定含有数字()A.4,6B.3,6C.3,7D.1,7答案答案D由前四次输入的密码可知3和6均出现四次,且每个位置出现一次,故正确密码中没有3和6,又前四次输入的密码中,每次有两个数字正确,故正确密码中数字为0,4,1,7,故正确密码为0741或4017.故选D.D3.(2016北京石
4、景山一模)将数字1,2,3,4,5,6书写在每一个骰子的六个表面上,做成6枚一样的骰子.分别取三枚同样的这种骰子叠放成如图A和B所示的两个柱体,则柱体A和B的表面(不含地面)上的数字之和分别是()A.47,48B.47,49C.49,50D.50,49A答案答案A由图A知,5不与6、4相对,由图B知,5不与1、3相对,故5与2相对.同理,6与1相对,3与4相对.故柱体A和B的表面(不含地面)上的数字之和分别为47,48.4.在平面上,若两个正三角形的边长比为12,则它们的面积比为14,类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长比为12,则它们的体积比为.答案答案18解析解析两个正三角形是相似三角形
5、,它们的面积比是相似比的平方.类似地,两个正四面体是两个“相似”几何体,体积比为相似比的立方,所求体积比为18.1 85.(2018北京海淀高三期末)某次高三英语听力考试中有5道选择题,每题1分,每道题在A,B,C三个选项中只有一个是正确的.下表是甲、乙、丙三名同学每道题填涂的答案和这5道题的得分:12345得分甲CCABB4乙CCBBC3丙BCCBB2则甲同学答错的题目的题号是;此题正确的选项是.答案答案5;A解析解析甲与乙在1,2,4三道题选项相同,又甲选对4道,乙选对3道,1,2,4题正确选项分别为C,C,B;甲选错的是题3或题5,由丙的成绩知其只做对了题2和题4,题3不选C,题5不选B
6、,由乙的答题和得分情况知,题5不选C,即题5正确的选项为A.考点一类比推理考点一类比推理考点突破考点突破典例典例1(1)给出下列类比推理命题(其中Q为有理数集,R为实数集,C为复数集):由“若a,bR,则a-b=0a=b”类比推出“若a,bC,则a-b=0a=b”;由“若a,b,c,dR,则复数a+bi=c+dia=c,b=d”类比推出“若a,b,c,dQ,则a+b=c+da=c,b=d”;由“若a,bR,则a-b0ab”类比推出“若a,bC,则a-b0ab”;由“若xR,则|x|1-1x1”类比推出“若zC,则|z|1-1z2,f(8),f(16)3,观察上述结果,可推测一般的结论为.(2)
7、已知x(0,+),观察下列各式:x+2,x+=+3,x+=+4,归纳得x+n+1(nN*),则a=.命题角度二与不等式有关的推理命题角度二与不等式有关的推理答案答案(1)f(2n)(nN*)(2)nn解析解析(1)f(21)=,f(22)2=,f(23),f(24),归纳得f(2n)(nN*).(2)第一个式子是n=1的情况,此时a=11=1;第二个式子是n=2的情况,此时a=22=4;第三个式子是n=3的情况,此时a=33=27,归纳可知a=nn.命题角度三与数列有关的推理命题角度三与数列有关的推理典例典例4以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的详解九章算术一书中的“杨辉三角形”.该
8、表由若干行数字组成,从第二行起,每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和,表中最后一行仅有一个数,则这个数为()A.201722015B.201722014C.201622015D.201622014B答案答案B解析解析由题意知数表的每一行都是等差数列,且第一行数的公差为1,第二行数的公差为2,第三行数的公差为4,第2015行数的公差为22014,第1行的第一个数为22-1,第2行的第一个数为320,第3行的第一个数为421,第n行的第一个数为(n+1),第2016行只有一个数M,则M=(1+2016)22014=201722014.故选B.命题角度四与图形变化有关的推理命题角度四与图形变化有关
9、的推理典例典例5下面图形由小正方形组成,请观察图1至图4的规律,依此规律,第n个图形中小正方形的个数是(nN*).答案答案解析解析由题图可知第n个图形中小正方形的个数为1+2+3+n=.规律总结规律总结(1)归纳推理的一般步骤通过对某些个体的观察、分析和比较,发现它们的相同性质或变化规律;由发现的相同性质或变化规律推出一个明确表达的一般性命题.(2)归纳是依据特殊现象推出一般现象,因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围.(3)归纳推理所得结论未必正确,有待进一步证明,但对数学结论和科学的发现很有用.2-1如图所示,将若干个点摆成三角形图案,每条边(包括两个端点)有n(n1,nN)个点,相应
10、的图案中总的点数记为an,则+=()A.B.C.D.C答案答案C每条边有n个点,所以3条边有3n个点,三角形的3个顶点重复计算了一次,所以减3个顶点,即an=3n-3,那么=-,即+=+=1-=,故选C.典例典例6(1)(2017北京朝阳一模)如图,AB1C1,B1B2C2,B2B3C3是三个边长为2的等边三角形,且有一条边在同一直线上,边B3C3上有5个不同的点P1,P2,P3,P4,P5,设mi=(i=1,2,5),则m1+m2+m5=.考点三演绎推理考点三演绎推理(2)(2017北京西城二模)某班开展一次智力竞赛活动,共a,b,c三个问题,其中题a满分是20分,题b,c满分都是25分.每
11、道题或者得满分,或者得0分.活动结果显示,全班同学每人至少答对一道题,有1名同学答对全部三道题,有15名同学答对其中两道题.答对题a与题b的人数之和为29,答对题a与题c的人数之和为25,答对题b与题c的人数之和为20,则该班同学中只答对一道题的人数是;该班的平均成绩是.答案答案(1)90(2)4;42分解析解析(1)因为AB1C1,B1B2C2,B2B3C3均是边长为2的等边三角形,所以AB1C2为等腰三角形,AB1C2=120,AB3C3=60,所以C2AB3=30,AC2=2,延长AC2,B3C3,交于点D,则D=90,所以,所以=0.所以mi=(+)=+=|cos30+0=26=18,
12、所以m1+m2+m5=185=90.(2)设答对题a,题b,题c的人数分别为Sa,Sb,Sc,由题意得设只答对题a的人数为a,只答对题b的人数为b,只答对题c的人数为c,答对a与b,b与c,a与c的人数分别为x,y,z.由题可知x+y+z=15.Sa=x+z+a+1=17,Sb=x+y+b+1=12,Sc=y+z+c+1=8,+得,2(x+y+z)+(a+b+c)+3=37.故a+b+c=4,即只答对一道题的有4人,故全班总人数为1+15+4=20.总分为20Sa+25Sb+25Sc=840,平均分为=42(分).规律总结规律总结(1)演绎推理是从一般到特殊的推理,其一般形式是三段论,应用三段论解决问题时,应当首先明确什么是大前提和小前提,如果大前提是显然的,则可以省略.(2)在推理论证过程中,一些复杂的证明题常常要利用几个三段论才能完成.3-1(2017北京,14,5分)某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件:(i)男学生人数多于女学生人数;(ii)女学生人数多于教师人数;(iii)教师人数的两倍多于男学生人数.若教师人数为4,则女学生人数的最大值为;该小组人数的最小值为.答案答案612
