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1、专题专题5 平面向量平面向量第第1节节 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理第第2节节 平面向量的数量积及其应用目录600600分基础分基础 考点考法考点考法考点28平面向量的基本概念及线性运算考点29平面向量的基本定理及坐标运算第第1 1节节 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理考点28平面向量的基本概念及线性运算 1向量的有关概念向量的有关概念 大小 向量 方向特殊向量特殊向量零向量单位向量平行（共线）向量相等向量相反向量考点28平面向量的基本概念及线性运算 模考点28平面向量的基本概念及线性运算 2向量的线性运算向量的线性运算加法加法
2、减法减法数乘数乘考点28平面向量的基本概念及线性运算 考点28平面向量的基本概念及线性运算 3向量的三角形公式向量的三角形公式4.向量共线定理向量向量共线定理向量考点28平面向量的基本概念及线性运算 考法1平面向量的有关概念考法2平面向量的线性运算平面向量的基本概念及线性运算考点28考点28平面向量的基本概念及线性运算 1.正确理解向量的概念正确理解向量的概念 （1）两个向量不能比较大小,只可以判断它们是否相等,但它们的模可以比较大小； （2）大小与方向是向量的两个要素,分别是向量的代数特征与几何特征； （3）向量可以自由平移,任一组平行向量都可以移到同一直线上. 2.正确理解共线向量与平行向
3、量正确理解共线向量与平行向量 共线向量就是平行向量,其要求是几个非零向量的方向相同或相反,当然向量所在直线可以平行,也可以重合,其中“共线”的含义不同于平面几何中“共线”的含义. 【注意】（1）零向量与任何向量共线;（2）共线向量不一定是相等向量,但相等向量一定是共线向量考点28考法1平面向量的有关概念考点28平面向量的基本概念及线性运算 考点28考法1平面向量的有关概念考点28平面向量的基本概念及线性运算 1.简单运算简单运算2.用已知向量表示未用已知向量表示未知向量知向量3.已知运算结果求参已知运算结果求参数的值数的值4.向量线性运算的几向量线性运算的几何意义何意义考点28考法2平面向量的
4、线性运算应用平面向量的加法、减法和数乘运算的法则即可.注意加法的三角形法则要求“首尾相接”，加法的平行四边形法则要求“起点相同”；减法的三角形法则要求“起点相同”且差向量指向“被减向量”；数乘运算的结果仍是一个向量，运算过程可类比实数运算.结合图形中各向量的位置关系，将未知向量表示为两个向量的和或差，再将这两个向量逐步分解为可以用已知向量表示的形式，整理即可.结合图形，利用向量的线性运算将向量表示出来，利用向量相等确定参数的值.根据向量加法的法则可知，在ABC中， （D为BC边中点），反之也成立.在平行四边形中，共起点的两个向量的和与差分别是两条对角线表示的向量，注意向量的方向.考点28平面向
5、量的基本概念及线性运算 考点28考法2平面向量的线性运算考点28平面向量的基本概念及线性运算 考点28考法2平面向量的线性运算考点28平面向量的基本概念及线性运算 考点29平面向量的基本定理及坐标运算1.平面向量基本定理平面向量基本定理 如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数1,2,使a1e1+2e2.我们把不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 应注意的是,基底的选择并不唯一,只要两个向量不共线,都可作为一组基底.2.平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系内,分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i
6、, j作为基底,对平面内任一向量a,有且仅有一对实数x,y,使得axiyj,则实数对(x,y)叫做向量a的直角坐标,记作a(x,y),其中x,y分别叫做a在x轴，y轴上的坐标,相等向量的坐标相同,坐标相同的向量是相等向量3.平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算考点29平面向量的基本定理及坐标运算考法3平面向量基本定理的应用考法4平面向量的共线问题平面向量的基本定理及坐标运算考点29考法5平面向量的坐标表示与运算考点29平面向量的基本定理及坐标运算1.基底的选择基底的选择（1）一组基底有两个向量；（2）这两个向量不共线.考点29考法3平面向量基本定理的应用2.用基底表示其他向量用基底表示其他向量
7、主要有以下三种方法：方法一：通过观察图形直接寻求向量之间的关系.方法二：采用方程思想.方法三：建立坐标系,根据向量的坐标运算求解.第一步,观察待求向量所在的三角形或平行四边形,利用三角形法则或平行四边形法则先将待求向量表示成两个(或多个)相关向量a,b（或a,b,c,）的和或差；第二步,把向量a,b（或a,b,c,）分别进行分解,直到用基底表示出向量a,b（或a,b,c,） ；第三步,将a,b（或a,b,c,）代入第一步中的式子,从而得到结果考点29平面向量的基本定理及坐标运算1.基底的选择基底的选择（1）一组基底有两个向量；（2）这两个向量不共线.考点29考法3平面向量基本定理的应用2.用基
8、底表示其他向量用基底表示其他向量主要有以下三种方法：方法一：通过观察图形直接寻求向量之间的关系.方法二：采用方程思想.方法三：建立坐标系,根据向量的坐标运算求解.第一步,把待求向量看作未知量；第二步,列出方程组；第三步,用解方程组的方法求解待求向量考点29平面向量的基本定理及坐标运算1.基底的选择基底的选择（1）一组基底有两个向量；（2）这两个向量不共线.考点29考法3平面向量基本定理的应用2.用基底表示其他向量用基底表示其他向量主要有以下三种方法：方法一：通过观察图形直接寻求向量之间的关系.方法二：采用方程思想.方法三：建立坐标系,根据向量的坐标运算求解.第一步,建立适当的直角坐标系；第二步
9、,把基底e1,e2,待求向量m的坐标分别表示出来；第三步,设m=xe1+ye2；第四步,根据向量e1,e2,m的坐标列出相应的方程组,求出x,y,问题即可得解考点29平面向量的基本定理及坐标运算1.基底的选择基底的选择（1）一组基底有两个向量；（2）这两个向量不共线.考点29考法3平面向量基本定理的应用2.用基底表示其他向量用基底表示其他向量主要有以下三种方法：方法一：通过观察图形直接寻求向量之间的关系.方法二：采用方程思想.方法三：建立坐标系,根据向量的坐标运算求解.第一步,选择一组基底；第二步,运用平面向量基本定理将条件和结论表示成向量的形式；第三步,通过向量的运算来证明共线或其他几何相关
10、问题3.解决几何相关问题解决几何相关问题考点29平面向量的基本定理及坐标运算考点29考法3平面向量基本定理的应用考点29平面向量的基本定理及坐标运算(1)对于向量a（a0）,b,若存在实数,使得ba,则向量a与b共线(平行)(2)若向量a(x1,y1),b(x2,y2),则x1y2x2y10 ab(3)对于向量a,b,则abab a与b共线 若已知向量共线求参数值，则可依据已知条件与上述依据的对应性，选择合适的依据列方程，通过解方程求解.考点29考法4平面向量的共线问题证明向量共线证明向量共线(或平行或平行)的主要方法和已知两向量共线求参数值的依据：的主要方法和已知两向量共线求参数值的依据：考
11、点29平面向量的基本定理及坐标运算考点29考法4平面向量的共线问题考点29平面向量的基本定理及坐标运算考点29考法5平面向量坐标表示与运算1.求平面向量的坐标求平面向量的坐标(1)平移法:将向量的起点移至坐标原点,终点坐标即为向量的坐标；(2)用表示向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标2.平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算主要依据相关公式计算即可考点29平面向量的基本定理及坐标运算考点29考法5平面向量的坐标表示与运算考点29平面向量的基本定理及坐标运算考点29考法5平面向量的坐标表示与运算考点29平面向量的基本定理及坐标运算考点29考法5平面向量的坐标表示与运算考点29平面向量的基本定理及
12、坐标运算目录600600分基础分基础 考点考法考点考法考点30平面向量的数量积考点31平面向量的应用700700分基础分基础 考点考法考点考法综合问题8平面向量数量积与其他知识的综合应用第第2 2节节 平面向量的数量积及其应用平面向量的数量积及其应用考点30平面向量的数量积一、平面向量数量积的基本概念一、平面向量数量积的基本概念1.向量的夹角向量的夹角2.数量积的定义数量积的定义3.投影投影4.数量积的几何意义数量积的几何意义数量积是个数值，可正可负可为零考点30平面向量的数量积考点30平面向量的数量积二、平面向量数量积的性质与运算律二、平面向量数量积的性质与运算律三、平面向量数量积的坐标表示
13、三、平面向量数量积的坐标表示考点30平面向量的数量积考法1平面向量的数量积运算考法2平面向量的垂直问题平面向量的数量积考点30考点30平面向量的数量积考点30考法1平面向量的数量积运算1.利用坐标计算数量积利用坐标计算数量积第一步,根据共线、垂直等条件计算出这两个向量的坐标,求解过程要注意方程思想的应用；第二步,根据数量积的坐标公式进行运算即可2.根据定义计算数量积根据定义计算数量积求向量 a,b的数量积ab,有以下两种思路：(1)若两个向量共起点,则两向量的夹角直接可得,根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同,需要通过平移使它们的起点重合,然后再计算.(2)根据图形之间的关系,用长度和相
14、互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量a,b,然后再根据平面向量的数量积的定义和性质进行计算求解3.根据数量积求参数的值根据数量积求参数的值若已知两平面向量的数量积，则根据坐标公式或定义列出含有参数的数量积的等式，再解方程即可.考点30平面向量的数量积考点30考法1平面向量的数量积运算考点30平面向量的数量积考点30考法1平面向量的数量积运算考点30平面向量的数量积考点30考法1平面向量的数量积运算考点30平面向量的数量积考点30考法1平面向量的数量积运算考点30平面向量的数量积考点30考法2平面向量的垂直问题1.利用坐标运算证明或判断两个向量的垂直问题利用坐标运算证明或判断两个向量的垂直问题
15、第一,计算出这两个向量的坐标；第二,根据数量积的坐标运算公式,计算出这两个向量的数量积为0即可2.已知两个向量的垂直关系已知两个向量的垂直关系,求解相关参数的值求解相关参数的值根据两个向量垂直的充要条件,列出相应的关系式,进而求解参数考点30平面向量的数量积考点30考法2平面向量的垂直问题考点30平面向量的数量积考点31平面向量的应用1.长度长度2.夹角夹角考点31平面向量的应用考法3平面向量的模的相关问题考法4求平面向量的夹角平面向量的应用考点31考点31平面向量的应用 求解平面向量的模的相关问题,借助模的相关公式列出关系式求解即可.解题过程中应掌握以下方法和解题过程中应掌握以下方法和结论结
16、论：（1）要掌握向量模的两种计算公式（2）要掌握平面向量的一些简单的几何意义（3）求解向量（或和向量）的模的取值范围时，可以通过有关坐标公式构造函数求解，也可以转化为基底表示的问题，或应用定义直接求解.考点31考法3平面向量的模的相关问题a为定值,则说明当表示向量的有向线段的起点确定后,其终点在以起点为圆心，以|a|为半径的圆上运动；若a+b=a-b,则说明向量ab；若(a+b)(a-b)=0,则说明a=b等.考点31平面向量的应用考点31考法3平面向量的模的相关问题考点31平面向量的应用考点31考法3平面向量的模的相关问题考点31平面向量的应用考点31考法3平面向量的模的相关问题考点31平面
17、向量的应用考点31考法3平面向量的模的相关问题考点31平面向量的应用求解两个非零向量之间的夹角的步骤：求解两个非零向量之间的夹角的步骤：第一步，由坐标运算或定义计算出这两个向量的数量积；第二步，分别求出这两个向量的模；考点31考法4求平面向量的夹角第三步，根据公式 求解出这两个向量夹角的余弦值；第四步，根据两个向量夹角的范围是0,及其夹角的余弦值,求出这两个向量的夹角【注意】(1)向量a,b的夹角为锐角ab0且向量a,b不共线；(2)向量a,b的夹角为钝角ab0且向量a,b不共线考点31平面向量的应用考点31考法4求平面向量的夹角考点31平面向量的应用考点31考法4求平面向量的夹角考点31平面
18、向量的应用考点31考法4求平面向量的夹角考点31平面向量的应用考点31考法4求平面向量的夹角考点31平面向量的应用综合问题8 平面向量数量积与其他知识的综合应用综合点1 平面向量数量积的综合应用 平面向量集数与形于一体,是沟通代数、几何与三角函数的一种非常重要的工具.在高考中,常将它与几何问题、三角函数、解三角形问题结合起来考查.(1)用平面向量解决平面几何问题用平面向量解决平面几何问题时,常用方法有：利用已知条件（或利用向量线性运算将条件转化）,结合平面几何知识及向量数量积直接求解.可以用基向量的方法或坐标法.若便于建立直角坐标系，则建立平面直角坐标系,可以利用向量的坐标使几何问题代数化,根据向量的坐标运算较快得到结果(2)解决向量与三角函数、解三角形知识综合题解决向量与三角函数、解三角形知识综合题的关键是把向量关系转化为向量的有关运算,再进一步转化为实数运算(即坐标运算),进而利用三角函数或正余弦定理等知识解决问题综合问题8 平面向量数量积与其他知识的综合应用综合问题8 平面向量数量积与其他知识的综合应用综合点1 平面向量数量积的综合应用综合问题8 平面向量数量积与其他知识的综合应用综合问题8 平面向量数量积与其他知识的综合应用综合点1 平面向量数量积的综合应用综合问题8 平面向量数量积与其他知识的综合应用敬请期待下一专题敬请期待下一专题Thanks！
