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1、 好学近乎知，好学近乎知， 力行近乎仁，力行近乎仁， 知耻近乎勇。知耻近乎勇。知斯三者，则知所以修身。知斯三者，则知所以修身。知所以修身，则知所以治人。知所以修身，则知所以治人。知所以治人，则知所以治天下国家矣。知所以治人，则知所以治天下国家矣。 中庸中庸1 1求变形的能量法求变形的能量法第十二章第十二章 求变形的能量方法求变形的能量方法Energy Method for Calculating Energy Method for Calculating DeformationDeformation 前面解决了强度问题（简单变形前面解决了强度问题（简单变形组合变形）组合变形） 刚度问题怎么办？
2、刚度问题怎么办？1、能否避免组合变形的微分方程？、能否避免组合变形的微分方程？2、能否只求出若干控制点的变形，避免求整个变形曲线、能否只求出若干控制点的变形，避免求整个变形曲线 用用揭示本质法揭示本质法寻根寻根 能量法能量法2 2求变形的能量法求变形的能量法 本章就寻找能量方法，用于求位移本章就寻找能量方法，用于求位移本章就寻找能量方法，用于求位移本章就寻找能量方法，用于求位移优点：优点：优点：优点： 1 1. . 不管中间过程，只算最终状态不管中间过程，只算最终状态不管中间过程，只算最终状态不管中间过程，只算最终状态 2 2. . 能量是标量，容易计算能量是标量，容易计算能量是标量，容易计算
3、能量是标量，容易计算质质质质点点点点力力力力学学学学挠挠挠挠曲曲曲曲线线线线 能量方法？能量方法？3 3求变形的能量法求变形的能量法 内内 容容121 杆件杆件变形位能的计算变形位能的计算122 卡氏定理卡氏定理123 莫尔定理莫尔定理124 计算莫尔积分的图乘法计算莫尔积分的图乘法125 互等定理互等定理126 虚功原理虚功原理4 4求变形的能量法求变形的能量法121 杆件杆件变形位能的计算变形位能的计算 Calculating PotentialCalculating PotentialCalculating PotentialCalculating Potential Energy of
4、 Component Deformation Energy of Component Deformation Energy of Component Deformation Energy of Component Deformation一、条件一、条件 大前提：大前提：1 1、小变形；、小变形； 2 2、服从郑玄、服从郑玄胡克定律胡克定律 线弹性体的响应（内力、应力和变形）为外载的线线弹性体的响应（内力、应力和变形）为外载的线性函数性函数 小前提：小前提：缓慢加载缓慢加载 变力做功，功只转成变形位能（不转成动能、热能）变力做功，功只转成变形位能（不转成动能、热能）5 5求变形的能量法求变形的能
5、量法 二、变力做功二、变力做功贮能贮能 外力缓慢做功外力缓慢做功W ，无损失地转化为变形位能，无损失地转化为变形位能U，贮存于弹性体内部：贮存于弹性体内部： U = W 进而计算可变形固体的位移、变形和内力，称进而计算可变形固体的位移、变形和内力，称为能量方法为能量方法 P 广义力（力，力偶）广义力（力，力偶） 广义位移（线，角位移）广义位移（线，角位移）6 6求变形的能量法求变形的能量法三、杆件变形能的计算三、杆件变形能的计算1.1.轴向拉压杆的变形能计算轴向拉压杆的变形能计算 微元微元 dx dx 上轴力上轴力N(x)N(x)做功做功7 7求变形的能量法求变形的能量法2.2.扭转杆的变形能
6、计算扭转杆的变形能计算微元微元 dx dx 上扭矩上扭矩T(x)T(x)做功做功8 8求变形的能量法求变形的能量法 3.3.弯曲杆的变形能计算弯曲杆的变形能计算微元微元 dx dx 上弯矩上弯矩M(x)M(x)做功做功9 9求变形的能量法求变形的能量法四、变形能的普遍表达式四、变形能的普遍表达式1 1、轴力、扭矩和弯矩各自的变形垂直、轴力、扭矩和弯矩各自的变形垂直, ,相互不做功相互不做功2 2、变形能与加载次序无关，位能相互叠加（略掉剪力、变形能与加载次序无关，位能相互叠加（略掉剪力 的影响）的影响）1010求变形的能量法求变形的能量法内力表达的变形位能内力表达的变形位能内力表达的变形位能内
7、力表达的变形位能 应力表达的变形位能应力表达的变形位能应力表达的变形位能应力表达的变形位能 结结 论论1. 变形位能是状态函数变形位能是状态函数 （同最终的力和变形有关）（同最终的力和变形有关）1111求变形的能量法求变形的能量法2. 变形位能的计算不能用叠加原理变形位能的计算不能用叠加原理1212求变形的能量法求变形的能量法 如何解释交叉项？如何解释交叉项？如何解释交叉项？如何解释交叉项？单独作用时单独作用时单独作用时单独作用时则则载荷载荷 在载荷在载荷 引起的位移上做的功引起的位移上做的功交叉项是两个载荷相互作用的外力功交叉项是两个载荷相互作用的外力功解释解释1 11313求变形的能量法求
8、变形的能量法解释解释解释解释2 2 2 2 载荷载荷 在载荷在载荷 引起的位引起的位 移上做的功移上做的功注意：注意：1.1.载荷交互作用作功，不同于自力做功是载荷交互作用作功，不同于自力做功是 变载由零一点一点增大，而是常力做功变载由零一点一点增大，而是常力做功 2. 2.实质是虚功原理实质是虚功原理3.3.因因 ，也包含互等定理，也包含互等定理1414求变形的能量法求变形的能量法五五五五 利用功能原理求位移利用功能原理求位移利用功能原理求位移利用功能原理求位移 根据外力功根据外力功根据外力功根据外力功 W W W W 全部转成变形位能全部转成变形位能全部转成变形位能全部转成变形位能 U U
9、 U U W W W W = = = = U U U U 可以求出一个集中力下的位移可以求出一个集中力下的位移可以求出一个集中力下的位移可以求出一个集中力下的位移例例例例12.1 P35212.1 P35212.1 P35212.1 P352 要点：要点：要点：要点： 1 1 1 1、求出截面内力函数（弯矩、扭矩等）、求出截面内力函数（弯矩、扭矩等）、求出截面内力函数（弯矩、扭矩等）、求出截面内力函数（弯矩、扭矩等） 2 2 2 2、积分求变形位能、积分求变形位能、积分求变形位能、积分求变形位能 U U U U 3 3 3 3、W W W W = = = = U U U U，求出位移求出位移求
10、出位移求出位移例例例例12.2 12.2 12.2 12.2 同上三个要点同上三个要点同上三个要点同上三个要点1515求变形的能量法求变形的能量法六、引向卡氏定理六、引向卡氏定理六、引向卡氏定理六、引向卡氏定理 例例例例12.112.112.112.1例例12.112.1后面的偏微分关系是巧合，还是必然？后面的偏微分关系是巧合，还是必然？ 实际是实际是卡氏定理卡氏定理说明要善于发掘更本质的东西说明要善于发掘更本质的东西1616求变形的能量法求变形的能量法例例 半圆形等截面曲杆位于水平面内，在半圆形等截面曲杆位于水平面内，在A A点受铅点受铅 垂力垂力P P的作用，的作用，求求A A点的垂直位移
11、（备用题）点的垂直位移（备用题）解：用能量法（外力功等于应变能）解：用能量法（外力功等于应变能）QMNMTAAPNBj jT求内力求内力APR1717求变形的能量法求变形的能量法外力功等于应变能外力功等于应变能变形能变形能1818求变形的能量法求变形的能量法 122 卡氏定理卡氏定理 Castigliano Theory设法推导出（不是简单的证明）设法推导出（不是简单的证明）推导的出发点推导的出发点只有第只有第 i i 号外力有增量号外力有增量1919求变形的能量法求变形的能量法 2020求变形的能量法求变形的能量法 当当即卡氏定理即卡氏定理2121求变形的能量法求变形的能量法我得到另一结论，
12、因我得到另一结论，因 意大利工程师意大利工程师 阿尔伯托阿尔伯托卡斯提格里安诺卡斯提格里安诺 (Alberto Castigliano， 18471884)当当所以所以2222求变形的能量法求变形的能量法二、使用卡氏定理的注意事项二、使用卡氏定理的注意事项 U 整体结构在外载作用下整体结构在外载作用下 的线弹性变形能的线弹性变形能 Pi 视为变量，结构反力和变形视为变量，结构反力和变形 能等都必须表示为能等都必须表示为Pi 的函数的函数 i i 为为 Pi 作用点沿作用点沿 Pi 方向的方向的变形变形 2323求变形的能量法求变形的能量法例例 求等截面直梁求等截面直梁C C点的挠度点的挠度解：
13、解：应用对称性得应用对称性得思考：分布荷载时求思考：分布荷载时求 C C 点位移？点位移？qCaaAPBf2424求变形的能量法求变形的能量法例例 求求A 点的挠度点的挠度变形变形求弯矩求弯矩解：解：求变形能求变形能ALPEIxO 思考：如何求思考：如何求 A A 点转角点转角2525求变形的能量法求变形的能量法例例 用卡氏定理用卡氏定理求求B点点的挠度的挠度解：解：B B点加一个力点加一个力Q Q 最后令最后令Q Q = = 0 0 求弯矩求弯矩PALaBCfxOx1求变形能求变形能变形变形2626求变形的能量法求变形的能量法实际引向了实际引向了Mohr定理定理 原载荷和虚载荷各自对应的变形
14、能不必计算原载荷和虚载荷各自对应的变形能不必计算只需计算二者交互的变形能只需计算二者交互的变形能 前面的两个思考题也可以这样解前面的两个思考题也可以这样解2727求变形的能量法求变形的能量法如何计算任一点如何计算任一点A的位移？的位移？在实载荷下得到在实载荷下得到相应内力如弯矩为相应内力如弯矩为M(x)q(x)A1、 在在A点加虚单位力点加虚单位力2 、计算、计算 实、虚载荷交互的变形能实、虚载荷交互的变形能123 莫尔定理莫尔定理 Mohr Theory2828求变形的能量法求变形的能量法求任意点求任意点A A的位移的位移 f f A A AfAq(x) A=1P0弯矩弯矩 M ( x )弯
15、矩弯矩前面讲变形能不能迭加的交互项前面讲变形能不能迭加的交互项因因P0 = 12929求变形的能量法求变形的能量法莫尔定理莫尔定理( (单位力法单位力法) )普遍形式的莫尔定理普遍形式的莫尔定理3030求变形的能量法求变形的能量法三、使用莫尔定理注意事项三、使用莫尔定理注意事项 M0(x)与与M(x)的坐标系必须一致，每段杆的坐标的坐标系必须一致，每段杆的坐标 系可自由建立系可自由建立 莫尔积分必须遍及整个结构莫尔积分必须遍及整个结构 M0 沿所求沿所求 广义位移广义位移广义位移广义位移 的的方向加方向加广义单位力广义单位力广义单位力广义单位力 （虚载荷）（虚载荷）（虚载荷）（虚载荷）时结构产
16、生的内力时结构产生的内力 M(x) 结构在原载荷（实载荷）下的内力结构在原载荷（实载荷）下的内力 所加广义单位力与所求广义位移之积，必须为功所加广义单位力与所求广义位移之积，必须为功 的量纲的量纲3131求变形的能量法求变形的能量法例例 求等截面直梁求等截面直梁C C点的挠度和转角（点的挠度和转角（例例 12.3 P356 12.3 P356）解：解：画单位载荷图画单位载荷图求内力求内力BAaaC0P =1BAaaCqx3232求变形的能量法求变形的能量法对称性对称性变形变形BAaaCqx0P =1BAaaC3333求变形的能量法求变形的能量法求转角，重建坐标系（如图）求转角，重建坐标系（如图
17、）qBAaaCx2x1BAaaCMC0=1 d)()( )()()(00)(00 + += =aBCaABxEIxMxMdxEIxMxM3434求变形的能量法求变形的能量法 各种方法比较各种方法比较方方方方 法法法法应应应应 用用用用 范范范范 围围围围补救范围补救范围补救范围补救范围计计计计 算算算算 量量量量 注：注：卡氏定理求含参数积分，再求导；卡氏定理求含参数积分，再求导； 莫尔定理是纯数值积分；莫尔定理是纯数值积分； 所以莫尔定理计算量小所以莫尔定理计算量小功能原理功能原理单个集中载荷单个集中载荷方向的位移方向的位移无法补救无法补救1.积分求变形能积分求变形能2.求外力功求外力功卡氏
18、定理卡氏定理多种载荷中多种载荷中, 任任一集中载荷方向一集中载荷方向的位移的位移任意位移任意位移( 给出虚载给出虚载荷荷P，最后，最后令令P= 0 )1.积分求变形能积分求变形能2.求偏导数求偏导数莫尔定理莫尔定理任意位移任意位移积分求交互能量积分求交互能量3535求变形的能量法求变形的能量法 例例 12.4 P357 例例 12.6 P360 实质是刚架实质是刚架 梁、刚架梁、刚架 杆、桁架杆、桁架 例例 12.5 P3593636求变形的能量法求变形的能量法124 计算莫尔积分的图乘法计算莫尔积分的图乘法 Multiplicative Graph Method for Calculatin
19、g Mohr Integration为了简化为了简化Mohr积分计算积分计算 坐标原点取直线与坐标原点取直线与 轴的交点轴的交点对原点的形心坐标对原点的形心坐标 的面积的面积 对应弯矩对应弯矩 的值的值在单位力作用下，在单位力作用下， 是一条直线是一条直线3737求变形的能量法求变形的能量法 1P1 2f11f21 2P2f22f12 1 125 互等定理互等定理 Reciprocal Theory Reciprocal Theory1、 功的互等定理（功的互等定理（ Reciprocal Theory of WorkReciprocal Theory of Work）功的互等定理功的互等定理
20、3838求变形的能量法求变形的能量法2、 位移互等定理（位移互等定理（ Reciprocal Theory of Reciprocal Theory of Displacement Displacement）如果如果则有则有 位移互等定理，又叫位移互等定理，又叫Maxwell位移互等定理位移互等定理书上讲法的缺点；书上讲法的缺点； 功的互等定理功的互等定理 神秘色彩神秘色彩 位移互等定理位移互等定理 先验论先验论例题例题12.15，P377对于对于3939求变形的能量法求变形的能量法 126 虚功原理虚功原理 Principle of Virtual Work Principle of Vir
21、tual Work1 虚位移虚位移对于刚体：约束条件许可的无限小位移对于刚体：约束条件许可的无限小位移对于变形体：约束条件和变形协调条件许可的对于变形体：约束条件和变形协调条件许可的 无限小位移无限小位移 功的互等定理中功的互等定理中不是不是 发生的位移，只是位置发生的位移，只是位置1处的一种可能处的一种可能位移，或叫虚位移位移，或叫虚位移4040求变形的能量法求变形的能量法2、 虚功原理虚功原理对于刚体：对于刚体： 平衡的条件是所有外力在任意虚位移上所作的虚平衡的条件是所有外力在任意虚位移上所作的虚 功之和为零功之和为零对于变形体：对于变形体： 平衡的条件是所有外力在任意虚位移上所作的虚平衡
22、的条件是所有外力在任意虚位移上所作的虚 功恒等于内力在虚变形上的虚功（虚变形位能）功恒等于内力在虚变形上的虚功（虚变形位能）4141求变形的能量法求变形的能量法3 虚功的计算虚功的计算外力：外力：P1, P2, 内力：内力：N, M,外力虚功：外力虚功：We=P1a1+P2a2+.虚位移：虚位移：a1, a2,., 虚变形：虚变形：内力虚功：内力虚功：4242求变形的能量法求变形的能量法由由 We=Wi虚功原理是最一般的功能原理虚功原理是最一般的功能原理对于梁，施加单位力对于梁，施加单位力P=1, 力力P产生的内力产生的内力则有：则有：4343求变形的能量法求变形的能量法莫尔定理莫尔定理4444求变形的能量法求变形的能量法小结：小结：1 变形位能的概念变形位能的概念2 卡氏定理卡氏定理3 莫尔定理莫尔定理4 互等定理互等定理5 虚功原理虚功原理作业：作业：12.19, 12.204545求变形的能量法求变形的能量法
