第四章综合测试第四章综合测试一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合|3Mx x=，3|log1xNx=，则MN等于（）A.B.|03xx C.|3x xD.|33xx-2.下列四个函数中，在整个定义域内单调递减的是（）A.101()100 xf x=B.121()logf xxx=C.12()logf xx=D.23()f xx=3.函数(01)|xxayax=的大致图像是（）ABCD4.若1.216log64,lg0.2,2abc=，则,a b c的大小关系是（）A.cba B.bac C.abc D.bca 5.设不为 1 的实数,a b c满足0abc ，则（）A.loglogcabbB.loglogaabcC.acbbD.bbac6.若幂函数()f x的图象过点(3,3)，则()20f xx+-=的解为（）A.1B.2C.3D.47.已知函数2,3()(1),3,xxf xf xx=+则21log 3f+的值为（）A.3B.6C.12D.248.已知0,0ab，且1,1ab，若log1ab，则（）A.(1)(1)0ab-B.(1)()0aab-C.(1)()0bba-D.(1)()0bba-9.已知(2)33,1()log,1aa xaxf xx x-+=是R上单调递增函数，那么a的取值范围是（）A.(1,2)B.51,4C.5,24D.(1,)+10.若函数2()log(1)f xax=-在(3,2)-上为减函数，且函数|14,2()1log,2xaxg xx x=在R上有最大值，则a的取值范围为（）A.21,22-B.11,2-C.21,22-D.21,00,22-11.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司 2015 年全年投入研发资金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增加 12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是（参考数据：lg1.120.05,lg1.30.11,lg20.30）（）A.2018 年B.2019 年C.2020 年D.2021 年12.函数 yf x=的定义域为D，如果满足：()yf x=在D内是连续单调函数，存在,a bD，使()yf x=在,a b上的值域为,2 2a b，那么就称为()yf x=为“半保值函数”.若函数2()logxaf xat=+（0a，且1a）是“半保值函数”，则t的取值范围为（）A.10,4B.11,00,22-C.10,2D.1 1,2 2-二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分.请把正确答案填在题中的横线上）分.请把正确答案填在题中的横线上）13.已知集合|12xMy y=-，集合2|lg1Ny yx=+，则MN=_.14.设1928,93xyyx+-=，则xy+=_.15.设25abm=，且2abab+=，则m=_.16.已知对数函数()f x的图象过点(4,2)-，则不等式(1)(1)3f xf x-+的解集为_.三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分.解答时写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）分.解答时写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17.10 分已知14x，求函数22()loglog42xxf x=的最大值与最小值.18.12 分已知函数()24xxf x=-.（1）求()yf x=在 1,1-上的值域；（2）解不等式()1692xf x-；（3）若关于x的方程()10f xm+-=在 1,1-上有解，求m的取值范围.19.12 分已知幂函数21()()mmf xxm+=N*.（1）试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；（2）若该函数图象还经过点(2,2)，试确定m的值，并求满足条件(2)(1)faf a-的实数a的取值范围.20.12 分已知函数|3()1,()1xxf xeg xe=-=+.（1）求函数()g x的值域；（2）求满足方程()()0f xg x-=的x的值.21.12 分已知函数22()21xxaaf x+-=+，其中a为常数.（1）判断函数()f x的单调性并证明；（2）当1a=时，对于任意 2,2x-，不等式26(2)0f xmfmx+-恒成立，求实数m的取值范围.22.12 分已知1,0,0,0,1,0(),xxg xx=-=|()()xxg xf xaa=+，其中0a且1a，若3(1)2f-=.（1）求实数a的值；（2）解不等式3()2f x；（3）若(2)()40ftmf t+对任意的正实数t恒成立，求实数m的取值范围.第四章综合测试第四章综合测试答案解析答案解析一、一、1.【答案】B2.【答案】C3.【答案】D4.【答案】B5.【答案】D6.【答案】D7.【答案】C8.【答案】D9.【答案】C10.【答案】A【解析】2()log(1)f xax=-Q在(3,2)-上为减函数，0a 且1 0ax-在(3,2)-上恒成立，21 0a-，12a-.又()g x在R上有最大值，且()g x在1,2-上单调递增，()g x在1,2+上单调递减，且121log422a=，20112aa，解得202a，202a-或202a.综上所述，2122a-.故选 A.11.【答案】B【解析】设 2015 年后的第n年该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元.由130(1 12%)200n+，得201.1213n，两边取对数并整理，得lg2lg1.30.300.113.8lg1.120.05n-=，4n，从 开始该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元.12.【答案】B【解析】函数2()logxaf xat=+（0a且1a 是“半保值函数”，且定义域为R，当1a时，2xzat=+在R上递增，logayz=在(0,)+上递增，可得()f x为R上的增函数；当01a 时，()f x仍为R上的增函数.()f x在其定义域R内为增函数.Q函数2()logxaf xat=+（a0且1a）是“半保值函数”，2logxayat=+与12yx=的图象有两个不同的交点，21log2xaatx+=有两个不同的根，1122220,0 xxxxtataaat+=-+=.令12xua=，0u，则220uut-+=有两个不同的正数根，2140r-，且20t，解得11,00,22t-U，故选 B.二、二、13.【答案】0,1)14.【答案】2715.【答案】10【解析】因为25abm=，则25log,logam bm=，利用换底公式可得lglg2ma=，lglg5mb=.因为2abab+=，即112ba+=，所以lg2lg512lglglgmmm+=，所以10m=.16.【答案】91,7【解 析】设()logaf xx=（0a且1a）.将 点4,2-的 坐 标 代 入 得log 42a=-，故12a=，则12()logf xx=.故原不等式可化为1122log(1)log(1)3xx-+，即112211loglog18xx-+，所以1 0,1 0,110,18xxxx-+-+解得917x，故原不等式的解集为91,7.三、三、17.【答案】222231()logloglog2log1log4224zzxxf xxxx=-=-Q，14x，0log2zx，当3log2zx=，即3222 2x=时，f x取得最小值14-，当log0zx=，即1x=时，()f x取得最大值 2.函数()f x的最大值是 2，最小值是14-.18.【答案】（1）设2xt=，1,1x-Q，22111,2,224tyttt=-=-+，当12t=时，max1()4f x=，当2t=时，min()2f x=-.()f x的值域为12,4-.（2）设2xt=，由()1692xf x-，得2169ttt-，即210160tt-+，28t ，即228x，13x ，不等式的解集为(1,3).（3）方程有解等价于函数ym=与1()yf x=-的图像在 1,1-内有交点，令2xt=，1,1x-Q，1,22t.22131()142124xxyf xttt=-=+-=-+=-+，其在 1,1x-时的值域为3,34.m的取值范围为3,34.19.【答案】（1）2(1)mmm m+=+Q，m+N，m与1m+中必有一个为偶数，2mm+为偶数，函数21()mmf xxm+=N的定义域为0,)+，并且该函数在其定义域上为增函数.（2）Q函 数()f x的 图 像 经 过 点(2,2)，2222mm+=，即211222mm+=，22mm+=，即220mm+-=，1m=或2m=-.又,1mm+=NQ.()f xQ在0,)+上是增函数，由(2)(1)faf a-得201 021,aaaa-，解得312a.故m的值为 1，满足条件(2)(1)faf a-的实数a的取值在相31,2.20.【答案】（1）31()131eexxg x=+=+，因为0 x，所以e1x，所以1101,033eexx，则1()4g x，故()g x是值域是(1,4.（2）由()()0f xg x-=，得3e20exx-=，当0 x时，方程无解；当0 x时，3e20exx-=，整理得2e2e30 xx-=，即e1 e30 xx+-=.因为e0 x，所以e3x=，即ln3x=.21.【答案】（1）函数()f x在R上是增函数.证明：函数2122()2121xxxaf xa+-=-+，任取12,x x R，且12xx，则121212122 2222212121 21xxxxxxf xf xaa-=-=+.12xxQ，12220 xx-，121 0 x+，221 0 x+，120f xf x-，12f xf x，函数()f x在R上是增函数.（2）由（1）知 函 数()f x在 定 义 域 上 是 增 函 数，当1a=时，21()21xxf x-=+，则2112()()2112xxxxfxf x-=-+，函数()f x是奇函数.对于任意 2,2x-，不等式26(2)0f xmfmx+-恒成立，等价于对于任意 2,2x-，不等式26(2)(2)f xmfmxfmx+-=恒 成 立，即262xmmx+在 2,2x-时 恒 成 立，即2260 xmxm-+在 2,2x-时恒成立，设2()26g xxmxm=-+，则min()0g x即可.222()26()6g xxmxmxmmm=-+=-+，则在 2,2-上，当2m-时，函数()g x的最小值为(2)5100gm-=+，得2m-，不成立；当22m-时，函数()g x的最小值为2()60g mmm=-+，解得22m-；当2m时，函数()g x的最小值为(2)3100gm=-+，解得1023m 综上，实数m的取值范围为1023m-.22.【答案】（1）由题意，得13(1)2faa-=-=，2a=或12a=-（舍去），2a=.（2）当0 x时，13()222xxf x+=，不等式无解.当0 x=时，3()12f x=，0 x=.当0 x时，13()222xxf x=-，122x，1x-，10 x-.综上所述，不等式的解集为 1,0-.（3）0t Q，1()22ttf t=+，221(2)22ttft=+，2211(2)()42240(0)22ttttftmf tmt+=+恒成立.令12(1 0),22ttuu=+，则22(2)()42420(2)ftmf tumuumuu+=-+=+恒成立，2(2)muuu-+恒成立.又函数2yuu=-+在(2,)+上单调递减，23,3umu-+-.综上所述，m的取值范围为3m-.。