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1、人教人教A A版版 数学数学 必修第一册必修第一册基础落实必备知识一遍过重难探究能力素养速提升目录索引学以致用随堂检测促达标通过上一单元的学习,对角度的认识拓展到了任意角,在角的度量的计算中学习了弧度制这个更方便的表示方法,这为本单元的学习打下了坚实基础.本单元中,我们从单位圆上点的运动规律,定义任意角的三角函数,并根据周而复始的特性,研究相同终边角的三角函数关系,以及从圆周上点的坐标关系出发,研究同角三角函数之间的关系.学习单元学习单元2三角函数的概三角函数的概念念 本单元的研究路径为:三角函数的概念同角三角函数的关系.这是我们学习本单元的知识明线,具体内容结构如图所示:本学习单元的最终目标
2、是理解三角函数的概念,掌握并能应用同角三角函数关系的公式,并知道其推导过程.在此单元的学习过程中,通过概念、公式的理解、掌握、应用等,培养数学抽象、直观想象、数学运算等核心素养.学习目标1.借助单位圆理解并掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.(数学抽象)2.已知角终边上一点,会求角的各三角函数值.(数学运算)3.能利用三角函数的定义,理解正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号.(数学抽象)4.通过对任意角三角函数定义的理解,掌握终边相同的角的同一三角函数值相等.(数学运算)基础落实必备知识一遍过知识点一:三角函数的概念概念前提如图,设是一个任意角,它的终边OP与相交于点P(x,y)定
3、义正弦 叫做的正弦函数,记作sin,即余弦 叫做的余弦函数,记作cos,即单位圆把点P的纵坐标yy=sin把点P的横坐标xx=cos定义正切叫做的正切函数,记为tan,即=tan(x0)三角函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,将它们统称为三角函数把点P的纵坐标与横坐标的比值微思考初中学的锐角三角函数是否满足现在的定义?知识点二:三角函数值的符号sin,cos,tan在各个象限的符号如下:记忆口诀:“一全正,二正弦,三正切,四余弦.”名师点睛正弦函数值的符号取决于纵坐标y的符号,它在x轴上方为正,下方为负;余弦函数值的符号取决于横坐标x的符号,在
4、y轴右侧为正,左侧为负;正切函数值符号取决于横、纵坐标符号,同号为正,异号为负.微思考如何理解并记忆三角函数在各个象限的符号?提示根据三角函数的定义,所以正弦的符号由y决定,所以一、二象限为正,三、四象限为负;余弦的符号由x决定,所以一、四象限为正,二、三象限为负;正切的符号由x,y同时决定,所以同号为正,异号为负,即一、三象限为正,二、四象限为负.知识点三:公式一1.语言表示:终边相同的角的三角函数的值相等.2.式子表示:(1)sin(+k2)=,(2)cos(+k2)=,(3)tan(+k2)=,其中kZ.微思考如何理解并记忆公式一?同一sincostan提示因为+2k的终边与相同,根据三
5、角函数的定义,它们对应的三角函数相等.重难探究能力素养速提升问题问题1任意角的三角函数是刻画周期变化的数学模型任意角的三角函数是刻画周期变化的数学模型,如何研究单位圆上如何研究单位圆上点的运动规律点的运动规律?问题问题2借助函数的研究经验借助函数的研究经验,上述几何问题可以转化为什么代数问题来研上述几何问题可以转化为什么代数问题来研究究?任意角的三角函数如何定义任意角的三角函数如何定义?问题问题3任意角的三角函数与锐角三角函数之间有什么关联任意角的三角函数与锐角三角函数之间有什么关联?探究点一探究点一 利用三角函数的定义求三角函数值利用三角函数的定义求三角函数值问题问题4三角函数的定义实质上是
6、构建了角与坐标之间的函数对应关系三角函数的定义实质上是构建了角与坐标之间的函数对应关系,如如何根据此对应关系求出相应的函数值何根据此对应关系求出相应的函数值?【例1】求解下列各题:(1)若角的终边与单位圆的交点是P(x,),则sin=,cos=,tan=.分析先求出x的值,再计算分析利用三角函数的定义的推广求解.(3)已知角的始边与x轴的非负半轴重合,终边在射线4x-3y=0(x0)上,则cos-sin=.分析先在终边上取点,再利用定义求解.解析角的始边与x轴的非负半轴重合,终边在射线4x-3y=0(x0)上,不妨令x=-3,则y=-4,延伸探究已知角的终边上有一点P的坐标是(3a,4a),其
7、中a0,则sin=()D解析因为a0,所以|a|=-a,因为角的终边上有一点P的坐标是(3a,4a),故选D.规律方法规律方法利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况:(1)若已知角,则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标,即可求出各三角函数值.(2)若已知角终边上一点P(x,y)(x0)是单位圆上的点,则sin=y,cos=x,tan=.(4)若已知角终边上点的坐标含参数,则需进行分类讨论.探究点二探究点二 三角函数值符号的运用三角函数值符号的运用问题问题5根据三角函数的定义根据三角函数的定义,可否确定相应角的三角函数值的符号可否确定相应角的三角函数值的符号?反过来反过来,根据
8、三角函数值的符号根据三角函数值的符号,可否确定角的范围可否确定角的范围?【例2】(1)若sintan0,且0,则角是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角分析由已知条件确定出sin,cos的符号即可确定角的象限.C解析由sintan0可知sin,tan异号,从而为第二、第三象限角.由0,cos2300.于是sin105cos2300.规律方法规律方法判断三角函数值在各象限符号的攻略(1)基础:准确确定各角所在象限;(2)关键:准确记忆三角函数在各象限的符号;(3)注意:用弧度制给出的角常常不写单位,不要误当作角度导致象限判断错误.注意巧用口诀记忆三角函数值在各象限的符号.
9、探究点三探究点三 公式一的应用公式一的应用问题问题6三角函数与众不同的是其周期性三角函数与众不同的是其周期性.因此因此,三角函数取值的规律性、各三角函数取值的规律性、各三角函数的相互联系性就是值得研究的性质三角函数的相互联系性就是值得研究的性质.你能发现什么时候三角函数你能发现什么时候三角函数取值相等或相反吗取值相等或相反吗?问题问题7由三角函数的定义知道由三角函数的定义知道,若角的终边位置相同若角的终边位置相同,则相应的三角函数值则相应的三角函数值是确定的是确定的,这体现了三角函数是典型的周期现象模型这体现了三角函数是典型的周期现象模型.据此据此,如何求出任意如何求出任意角的三角函数值角的三
10、角函数值?【例3】求下列各式的值:(1)a2sin(-1350)+b2tan405-(a-b)2tan765-2abcos(-1080);解原式=a2sin(-4360+90)+b2tan(360+45)-(a-b)2tan(2360+45)-2abcos(-3360)=a2sin90+b2tan45-(a-b)2tan45-2abcos0=a2+b2-(a-b)2-2ab=0.规律方法规律方法公式一的应用策略(1)公式一可以统一写成f(k360+)=f()(kZ)或f(k2+)=f()(kZ)的形式,它的实质是终边相同的角的同一三角函数值相等;(2)利用它可把任意角的三角函数值转化为02角的
11、三角函数值,即可把负角的三角函数转化为0到2角的三角函数,亦可把大于2的角的三角函数转化为0到2角的三角函数,即把角实现“大化小,负化正”的转化.学以致用随堂检测促达标123456789 10A级必备知识基础练1.sin(-1080)=()A.-B.1C.0D.-1C解析sin(-1080)=sin(-3360+0)=0.故选C.123456789 102.在平面直角坐标系xOy中,已知角的始边是x轴的非负半轴,终边经过点P(-1,2),则cos=()C123456789 103.(多选题)代数式sin(-330)cos390的值为()BC123456789 10A123456789 10B123456789 106.已知角的终边经过点P(x,-6),且tan=-,则x的值为.10123456789 107.已知角的终边在直线y=3x上,求sin,cos,tan的值.123456789 108.求下列各式的值:(2)sin(-1380)cos1110+tan405.123456789 10B级关键能力提升练A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角C123456789 1010.已知,且lgcos有意义.(1)试判断角的终边所在的象限;(2)若角的终边上一点M(,m),且|OM|=1(O为坐标原点),求m的值及sin的值.123456789 10
