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1、 这些图形拼这些图形拼成一个平面图成一个平面图案的共同特征案的共同特征是什么是什么？平面镶嵌平面镶嵌:用一些用一些不重叠摆放不重叠摆放的的多边形多边形把平面把平面 的一部分的一部分完全覆盖完全覆盖,叫做多边形覆盖叫做多边形覆盖 平面平面(或平面镶嵌或平面镶嵌).拼一拼 选一选小明家装修地板小明家装修地板, ,在正三角形在正三角形, ,正方形正方形, ,正五边形正五边形, ,正六边形瓷砖中只能选择一种正六边形瓷砖中只能选择一种, ,你认为哪些可以你认为哪些可以供他选择供他选择? ?6 6 6060 0 0 9090 0 0108108 0 0 120120 0 04 43 33 34 4能镶嵌能
2、镶嵌能镶嵌能镶嵌不能镶嵌不能镶嵌有空隙有空隙能镶嵌能镶嵌606=360 0 0 0 0904=360 0 0 0 010833601084360 0 0 0 01203=360 0 0 0 0不能镶嵌不能镶嵌有重叠有重叠实实 验验 结结 果果正正n n边形边形拼图拼图每个内角度数每个内角度数 多边形个数多边形个数结果结果 n = 3n = 3 n = 4n = 4 n =5n =5 n = 6n = 6规律规律:当正多边形的一个内角当正多边形的一个内角度数的整数倍是度数的整数倍是360 时，时， 这种正多边形就能镶嵌这种正多边形就能镶嵌.思考:仅限于同一种正多边形镶嵌,还能找到能镶嵌的其他正多
3、边形吗?假设正多边形的边数为假设正多边形的边数为n,n,由由K K个正多边形恰好个正多边形恰好可以镶嵌时可以镶嵌时, ,则这些铺在一个顶点处的则这些铺在一个顶点处的K K个正个正多边形的多边形的K K个内角和应等于个内角和应等于 而正而正n n边形的每个内角的度数为边形的每个内角的度数为 , ,所以所以, ,可得方程可得方程 整理整理, ,得得 K(n-2)=2n,K(n-2)=2n, 所以所以因为因为K,nK,n为正整数为正整数, ,故故n n只能等于只能等于3 3、4 4、6.6.360360, ,这说明只用一种正多边形镶嵌这说明只用一种正多边形镶嵌, ,正多边形只有正多边形只有三种选择三
4、种选择: :正三角形正三角形, ,正方形和正六边形正方形和正六边形. . 问题：小明的爸爸在装修过程问题：小明的爸爸在装修过程中用一些边角余料切割成一些形状、中用一些边角余料切割成一些形状、大小完全相同的任意三角形，他用大小完全相同的任意三角形，他用这些三角形能进行地板镶嵌吗？那这些三角形能进行地板镶嵌吗？那么任意四边形能不能呢？么任意四边形能不能呢？ 任意三角形和任意四边形任意三角形和任意四边形可以进行平面镶嵌可以进行平面镶嵌, ,但若想实现但若想实现连续铺设，还应将相等的边重连续铺设，还应将相等的边重合在一起。合在一起。想一想想一想如果选择边长相等的两种正多边形进行镶嵌如果选择边长相等的两
5、种正多边形进行镶嵌,你又会选择哪两种呢你又会选择哪两种呢?解：设每个顶点周围有解：设每个顶点周围有x x个正三角形个正三角形和和y y个正四边形个正四边形, ,则则: :60 60 x+90 x+90 y=360 y=360 即即: :2x+3y=122x+3y=12又又x x、y y是正整数是正整数, ,解得解得:x=3,y=2.:x=3,y=2.即每个顶点处用正三角形的三个即每个顶点处用正三角形的三个内角内角, ,正方形的两个内角进行拼接正方形的两个内角进行拼接. .正三角形和正方形正三角形和正方形的平面镶嵌的平面镶嵌正多边形正多边形拼拼 图图正三角形和正三角形和正六边形正六边形m6060
6、+ n+ n120120=360=36026060+ 2+ 2120120=360=36046060+ 1+ 1120120=360=360解：设每个顶点周围有解：设每个顶点周围有m m个正三角形和个正三角形和n n个正个正六六边形边形, , 60 60 m+120 m+120 n=360 n=360 , , 即即:m+2n=6:m+2n=6 又又m m、n n是正整数是正整数, ,解得解得: :即每个顶点处用四个正三角形和一个正六边形即每个顶点处用四个正三角形和一个正六边形, ,或者用或者用两个正三角形和两个正六边形两个正三角形和两个正六边形. .正十二边形与正三角形正十二边形与正三角形的平
7、面镶嵌的平面镶嵌正正八八边边形形与与正正方方形形的的平平面面镶镶嵌嵌正十边形与正五边正十边形与正五边形的平面镶嵌形的平面镶嵌 两种正多边形拼接在同一点两种正多边形拼接在同一点的各个角的和恰好等于的各个角的和恰好等于360,这这两种正多边形就能镶嵌两种正多边形就能镶嵌.你能用三种边长相等的正多边形设计你能用三种边长相等的正多边形设计一个图案吗？试试吧一个图案吗？试试吧!请你来当设计师请你来当设计师正三角形与正方形、正三角形与正方形、正六边形的平面镶正六边形的平面镶嵌嵌正十二边形正十二边形与正方形、与正方形、正六边形的正六边形的平面镶嵌平面镶嵌如果用三种不同的等边长正多边形镶嵌，如果用三种不同的等
8、边长正多边形镶嵌，要求：在每个顶点处，每种正多边形只要求：在每个顶点处，每种正多边形只能有一个。那么边数满足什么条件？能有一个。那么边数满足什么条件？解：设正多边形的边数分别为解：设正多边形的边数分别为m、n、tm(m2)180n(n2)180t(t2)180+ + =3603 2（ + + ）= 2m1t1n1m1+=n1t1211 1、平面镶嵌的定义、平面镶嵌的定义. .2 2、正多边形平面镶嵌的条件、正多边形平面镶嵌的条件. .3 3、关注身边的数学、关注身边的数学, ,关注数学中的美关注数学中的美. .小结小结埃舍尔（埃舍尔（M.C.ESCHER18981972）荷兰现代版画艺术家。他
9、荷兰现代版画艺术家。他是一个将艺术与数学融合的画家，也因此享誉世界。是一个将艺术与数学融合的画家，也因此享誉世界。资资料料埃埃舍舍尔尔的的作作品品欣欣赏赏 长方形长方形( (矩形矩形) )可以任可以任意镶嵌意镶嵌, ,并且不同颜色组并且不同颜色组合合, ,可以有不同的视觉效可以有不同的视觉效果果. .资料1：石子路镶嵌图案最多的图林 在北京故官御花园内，有许多颜色不同的细石子砌成的各种美丽图案的花石子路，据统计全园花石子路上的图案约有900幅，可以说是中国拥有石子路镶嵌图案最多的图林了。这些石子路图案的组成，是把全园作为一个整体来考虑设计的，因此显得极为统一协调。但是每幅图案又有它的独立的面貌
10、，内容各异，图案的内容有人物、风景、花卉、博古等，种类繁多。其中的“颐和春色”、“关黄对刀”、“鹤鹿同春”等图案，造型优美，动态活泼、构图别致，色彩分明，沿路观赏，美不胜收。资料2：镶嵌画历史悠久，最早见于公元前4000余年的美索不达米亚，苏美尔人是这种艺术的始祖。镶嵌画以其色彩的真实性和永久性，制作的多样性以及题材的广泛性而得以在世界上绵延流传。公元14世纪，镶嵌画得到很大的发展，色彩技巧日臻完善，当时罗马人对它十分推崇。在美术史上，罗马以及中世纪东罗马时期的镶嵌画无论在数量上或质量上都名列前茅。如意大利庞培城出土的伊苏之战、拜占庭时期君士坦丁堡的圣索菲亚教堂中的佐伊皇帝像等许多镶嵌画，都是
11、这个时期的艺术珍品，在历史上产生过深远的影响。随着罗马人的足迹，镶嵌画传入其他地方，各国艺术家都以各自的民族风格，发展了这一艺术。镶嵌画在现代世界艺术中日益占有重要地位。墨西哥、苏联和民主德国等国家的镶嵌画以其规模的宏大和新颖的技艺而著称。资料3：镶嵌画材料来源十分丰富，有天然彩石、卵石、贝壳、螺钿、宝石、玉石和人造的玻璃料器、陶瓷、有机玻璃、金属和木料等。镶嵌方法有直接镶嵌法、预制法、反贴反上法、正贴正上法。除平面镶嵌外，也可以在浮雕上进行镶嵌，后者更能增强壁画的力度。 中国的镶嵌艺术具有悠久的历史和独特的风格。这些镶嵌艺术大多出现在工艺品上，如殷商时代的铜器曾有错金和错金嵌玉的装饰纹样出现
12、。镶嵌画虽较少，仍可以从帝王御花园的甬道和民间的建筑中发现用卵石镶嵌地面和墙面的镶嵌装饰画面。当代中国艺术家也开始重视运用这种艺术形式，在一些重要建筑物的室内外创作了一些镶嵌画。镶嵌之父镶嵌之父M.C.M.C.埃舍尔是荷兰的“图形艺术家”，着迷于各种镶嵌。许多数学家认为在他的作品中数学的原则和思想得到了非同寻常的形象化。他的作品几乎无人能够企及，世人尊称他为“镶嵌之父镶嵌之父”。无论这个问题从属于数学领域还是从属于无论这个问题从属于数学领域还是从属于艺术领域，它对于我仍然是一个未解的问题。艺术领域，它对于我仍然是一个未解的问题。M.C.埃舍尔埃舍尔(2)(2)正三角形与正六边形正三角形与正六边
13、形正三角形的每个内角是正三角形的每个内角是6060, ,正六边形的每个内角正六边形的每个内角是是120120, ,对于某个拼结点处对于某个拼结点处, ,设有设有x x个个6060角角, ,有有y y个个120120角角, ,即即: :60x+120y=36060x+120y=360即即:x+2y=6:x+2y=6又又x x、y y是正整数是正整数, ,解得解得: :即每个顶点处用四个正三角形和一个正六边形即每个顶点处用四个正三角形和一个正六边形, ,或者用或者用两个正三角形和两个正六边形两个正三角形和两个正六边形. .资料资料资料资料1 1：用正多边形进行平面镶嵌只有以下这：用正多边形进行平面
14、镶嵌只有以下这：用正多边形进行平面镶嵌只有以下这：用正多边形进行平面镶嵌只有以下这1717组解。组解。组解。组解。有书记载说明这有书记载说明这有书记载说明这有书记载说明这1717组解是组解是组解是组解是19241924年一个叫波尔亚的人给年一个叫波尔亚的人给年一个叫波尔亚的人给年一个叫波尔亚的人给出的。实际上早在此之前，西班牙阿尔汉布拉宫的装饰出的。实际上早在此之前，西班牙阿尔汉布拉宫的装饰出的。实际上早在此之前，西班牙阿尔汉布拉宫的装饰出的。实际上早在此之前，西班牙阿尔汉布拉宫的装饰已经一个不少地制出了这些图样，真是令人叹为观止。已经一个不少地制出了这些图样，真是令人叹为观止。已经一个不少地
15、制出了这些图样，真是令人叹为观止。已经一个不少地制出了这些图样，真是令人叹为观止。第一页第二页 用同一种正多边形镶嵌平面用同一种正多边形镶嵌平面的条件是的条件是: :正多边形的内角度数正多边形的内角度数的整数倍恰好是的整数倍恰好是360360.符合要求符合要求的正多边形只有正三角形、正方的正多边形只有正三角形、正方形和正六边形三种。形和正六边形三种。 用几种多边形进行镶嵌，称用几种多边形进行镶嵌，称多边形的组合镶嵌，此时要求拼多边形的组合镶嵌，此时要求拼接在同一点的各个多边形的内角接在同一点的各个多边形的内角和为和为360360。如果用三种不同的正多边形镶嵌，并且每一顶点处一种多边形如果用三种不同的正多边形镶嵌，并且每一顶点处一种多边形只有一个，那么三种正多边形的边数应满足什么条件？只有一个，那么三种正多边形的边数应满足什么条件？正多边形正多边形拼拼 图图正三角形和正三角形和正四边形正四边形6060+ 2+ 29090=360=360
