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1、 第六章第六章 微微 分分 方方 程程 6.1 微分方程的基本概念微分方程的基本概念6.2 一阶微分方程一阶微分方程6.3 可降阶的二阶微分方程可降阶的二阶微分方程6.4 二阶线性微分方程二阶线性微分方程6.5 微分方程的应用举例微分方程的应用举例6.1 微分方程的基本概念定义定义例例 偏微分方程偏微分方程 . . 常微分方程常微分方程. .微分方程的微分方程的阶阶: : 微分方程中出现的未知函数的微分方程中出现的未知函数的最高最高阶导数阶导数的的阶阶数称之为微分方程的数称之为微分方程的阶阶. .一阶一阶微分方程微分方程:高阶高阶微分方程微分方程: :注意注意:注意注意: 线性线性与与非线性非
2、线性微分方程：微分方程：微分方程的解微分方程的解: : 等式等式的的函数函数称之为微分方程的称之为微分方程的解解. . 代入微分方程能使方程成为代入微分方程能使方程成为恒恒 微分方程的解的分类：微分方程的解的分类：(1)(1)通解通解: : 微分方程的解中含有微分方程的解中含有任意常数任意常数, ,且且独立独立任任意常数的意常数的个数个数与微分方程的与微分方程的阶数相同阶数相同. .(2)(2)特解特解: : 不包含任何任意常数的解不包含任何任意常数的解. .初值问题初值问题: : 求微分方程满足初始条件的解的问题求微分方程满足初始条件的解的问题. .过定点的积分曲线过定点的积分曲线;一阶一阶
3、:二阶二阶:过定点且在定点的切线过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线的斜率为定值的积分曲线.初始条件初始条件: : 用来确定任意常数的条件用来确定任意常数的条件. .通解的图象通解的图象: : 微分方程的积分曲线族微分方程的积分曲线族. .解的图象解的图象: : 微分方程的积分曲线微分方程的积分曲线. .解解所求特解为所求特解为注意：注意：思考题解答思考题解答中不含任意常数中不含任意常数,故为微分方程的故为微分方程的特特解解.思考题思考题6.2 一阶微分方程一. 可分离变量的微分方程则称原微分方程为则称原微分方程为可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程. .可分离变量的微分方程可分离变
4、量的微分方程解法：解法：称为所给可分离变量微分方程的称为所给可分离变量微分方程的隐隐函数形函数形式式的的通解通解. .例例1 1 求微分方程求微分方程解解分离变量分离变量两端积分两端积分例例2 2 解解二二. . 齐齐 次次 方方 程程定义定义的微分方程称为的微分方程称为齐次方程齐次方程 . .解法解法:令令 ,代入原方程，得代入原方程，得可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程 . .例例 3 3 求解微分方程求解微分方程微分方程的解为微分方程的解为解解例例 4 4 求解微分方程求解微分方程解解微分方程的解为微分方程的解为三. 一阶线性微分方程一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式的标准
5、形式:(1) 称为称为齐次方程齐次方程 .(1) 称为称为非齐次方程非齐次方程.例如例如线性的线性的;非线性的非线性的.1. 先求线性齐次方程先求线性齐次方程 的通解：的通解：一阶线性微分方程的一阶线性微分方程的解法解法齐次方程的通解为齐次方程的通解为用分离变量法用分离变量法2. 再求线性非齐次方程再求线性非齐次方程 的通解：的通解：讨论讨论非齐次方程通解形式非齐次方程通解形式与齐次方程通解与齐次方程通解相比，不难看出：相比，不难看出：只要在齐次方程的通解只要在齐次方程的通解 中，中，积分得积分得故一阶线性非齐次微分方程的通解为故一阶线性非齐次微分方程的通解为: :称为称为常数变易法常数变易法
6、 . 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法，的方法，对应齐次方程通解对应齐次方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解解解例例1 1例例2 2 如图所示，平行于如图所示，平行于 轴的动直线被曲线轴的动直线被曲线 与与 截下的线段截下的线段 之长数值上等于阴之长数值上等于阴影部分的面积影部分的面积, 求曲线求曲线 .解解两边求导得两边求导得代代入方程入方程 ，得，得故故 所求曲线为所求曲线为伯努里伯努里(Bernoulli)方程的标准形式方程的标准形式方程为方程为线性微分方程线性微分方程. 方程为方程为非线性微分方程非线性微分方程.解法解法: : 需经过变量代
7、换化为线性微分方程需经过变量代换化为线性微分方程.四. 伯努里方程（Bernoulli，1654-1705，瑞士），瑞士）代入上式代入上式, 得得解解例例 3例例4 4 用适当的变量代换解下列微分方程用适当的变量代换解下列微分方程: :解解代入原方程，得代入原方程，得故故 原方程的通解为原方程的通解为解解所求通解为所求通解为1 1、分离变量法步骤、分离变量法步骤: :1）分离变量）分离变量;2）两端积分）两端积分-隐式通解隐式通解.小 结2、齐次方程、齐次方程3.线性非齐次方程线性非齐次方程4.伯努里方程伯努里方程6.3 可降阶的二阶微分方程解解解解例例 3解解1解解2例例 4解解1解解2故通
8、解为故通解为解解3两边积分两边积分,得得故通解为故通解为6.4 二阶线性微分方程二阶线性微分方程的一般形式二阶线性微分方程的一般形式方程为方程为齐次方程齐次方程；方程为方程为非齐次方程非齐次方程 .n 阶线性微分方程阶线性微分方程一. 二阶线性微分方程解的性质与通解的结构问题问题: :1.1.二阶齐次方程解的结构二阶齐次方程解的结构: :定理定理1 1 （齐次方程解的叠加原理）（齐次方程解的叠加原理）证证代入方程（代入方程（1）的左端，得的左端，得证毕证毕定义定义例如例如线性无关线性无关.线性相关线性相关,定理定理2 2证明略证明略推论推论例如：例如：线性无关线性无关，线性无关线性无关，线性无
9、关线性无关 .定理定理3 3 （齐次线性方程通解结构）（齐次线性方程通解结构）证证2.2.二阶非齐次线性方程的解的结构二阶非齐次线性方程的解的结构: :定理定理4 4 （非齐次线性方程通解的结构）（非齐次线性方程通解的结构）证证定理定理5 5（非齐次方程解的叠加原理）（非齐次方程解的叠加原理）证明略证明略二. 二阶常系数线性齐次方程的解法二阶常系数线性齐次方程的标准形式二阶常系数线性齐次方程的标准形式 特征根法特征根法1* 1* 特征方程有两个不相等的实根特征方程有两个不相等的实根2* 2* 特征方程有两个相等的实根特征方程有两个相等的实根此时，只得到方程此时，只得到方程 (1) 的一个特解的
10、一个特解=0=03* 3* 特征方程有一对共轭复根特征方程有一对共轭复根解解特征方程为特征方程为解得特征根解得特征根故所求通解为故所求通解为例例1 1解解 特征方程为特征方程为解得特征根解得特征根故所求通解为故所求通解为例例2 2解解二阶常系数二阶常系数线性线性非齐次方程非齐次方程对应齐次方程对应齐次方程非齐次方程通解结构非齐次方程通解结构关键关键：方法方法：待定系数法待定系数法.三. 二阶常系数线性非齐次方程的解法代入原方程得代入原方程得综上所述综上所述解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程特征根特征根代入原方程代入原方程, 得得故故 原方程通解为原方程通解为例例1 1作辅助方程作辅助方程注意：注意：解解作辅助方程作辅助方程代入（代入（*），得），得例例2 2对应齐次方程的通解对应齐次方程的通解（取虚部）取虚部）原方程的特解为原方程的特解为原方程通解为原方程通解为例例3 3解解1 对应齐次方程的通解对应齐次方程的通解作辅助方程作辅助方程代入辅助方程，得代入辅助方程，得原方程的特解为原方程的特解为原方程通解为原方程通解为（取实部）取实部）解解2 对应齐次方程的通解对应齐次方程的通解代入原方程，得代入原方程，得原方程的通解为原方程的通解为6.5 微分方程的应用举例解解解解特征根为特征根为解解解解特征方程特征方程特征根特征根
