《高三数学一轮复习第四章三角函数解三角形第七节正弦定理和余弦定理课件文.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学一轮复习第四章三角函数解三角形第七节正弦定理和余弦定理课件文.ppt（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、文数课标版第七节正弦定理和余弦定理1.正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理教材研读教材研读2.在在ABC中中,已知已知a、b和和A时时,解的情况解的情况上表中,若A为锐角,当absinA时无解;若A为钝角或直角,当ab时无解.A为锐角A为钝角或直角图形关系式a=bsinAbsinAab解的个数一解两解一解一解3.三角形面积三角形面积设ABC的角A、B、C所对的边分别为a、b、c,其面积为S.(1)S=ah(h为BC边上的高).(2)S=absinC=acsinB=bcsinA.判断下列结论的正误(正确的打“”,错误的打“”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.()(2)在ABC中,若
2、sinAsinB,则AB.()(3)在ABC的六个元素中,已知任意三个元素,可求其他元素.()(4)当b2+c2-a20时,三角形ABC为锐角三角形;当b2+c2-a2=0时,三角形ABC为直角三角形;当b2+c2-a20时,三角形ABC为钝角三角形.()(5)在三角形中,已知两边和一角就能求三角形的面积.() 1.在ABC中,若a=2,c=4,B=60,则b等于()A.2B.12C.2D.28答案答案A由b2=a2+c2-2accosB,得b2=4+16-8=12,所以b=2.2.在ABC中,a=3,b=5,sinA=,则sinB=()A.B.C.D.1答案答案B根据=,有=,得sinB=.
3、故选B.3.(2016甘肃兰州一模)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=,b=3,c=2,则A=()A.B.C.D.答案答案C易知cosA=,又A(0,),A=.故选C.4.在ABC中,BC=2,AC=,B=,则AB=,ABC的面积是.答案答案3;解析解析由余弦定理,得AC2=BC2+AB2-2BCABcos,AB=3(负值舍去),SABC=ABBCsin=.5.已知ABC中,三个内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且a=1,b=,A=30,则c=.答案答案1或2解析解析a=1,b=,A=30,由a2=b2+c2-2bccosA得1=3+c2-3c,即c2-3c+2=
4、0,解得c=1或c=2.考点一利用正、余弦定理解三角形考点一利用正、余弦定理解三角形典例典例1(1)(2016课标全国,4,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,c=2,cosA=,则b=()A.B.C.2D.3(2)(2016课标全国,9,5分)在ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则sinA=()A.B.C.D.(3)(2016课标全国,15,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=,cosC=,a=1,则b=.答案答案(1)D(2)D(3)考点突破考点突破解析解析(1)由余弦定理得5=22+b2-22bcosA,cosA=,3b2-8b-
5、3=0,b=3.故选D.(2)过A作ADBC于D,设BC=a,由已知得AD=,B=,AD=BD,BD=AD=,DC=a,AC=a,在ABC中,由正弦定理得=,sinBAC=.故选D.(3)由cosC=,0C,得sinC=.由cosA=,0A,得sinA=.所以sinB=sin-(A+C)=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA=,根据正弦定理得b=.规律总结规律总结(1)在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更适合,或是两个定理都要用,要抓住能够利用某个定理的信息.一般地,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式,要考虑用
6、正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制.1-1(2015课标,17,12分)ABC中,D是BC上的点,AD平分BAC,BD=2DC.(1)求;(2)若BAC=60,求B.解析解析(1)由正弦定理得=,=.因为AD平分BAC,BD=2DC,所以=.(2)因为C=180-(BAC+B),BAC=60,所以sinC=sin(BAC+B)=cosB+sinB.由(1)知2sinB=sinC,所以tanB=,即B=30.1-2(2016天津,15,13分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asin2B=bsi
7、nA.(1)求B;(2)若cosA=,求sinC的值.解析解析(1)在ABC中,由=,可得asinB=bsinA,又由asin2B=bsinA,得2asinBcosB=bsinA=asinB,所以cosB=,得B=.(2)由cosA=,可得sinA=,则sinC=sin-(A+B)=sin(A+B)=sin=sinA+cosA=.考点二利用正、余弦定理判断三角形的形状考点二利用正、余弦定理判断三角形的形状典例典例2(2013陕西,9,5分)设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,则ABC的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不
8、确定答案答案B解析解析由已知及正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=sin2A,即sin(B+C)=sin2A,又sin(B+C)=sinA,sinA=1,A=.故选B.方法技巧方法技巧(1)判断三角形的形状,应从三角形的边、角两方面进行思考,主要看其是不是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形、锐角三角形,要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别.(2)边角转化的工具主要是正弦定理和余弦定理.变式变式2-1若将本例中的条件“bcosC+ccosB=asinA”改为“2sinAcosB=sinC”,试判断ABC的形状.解析解析由条件及正弦定理得2acosB=
9、c,再由余弦定理得2a=ca2=b2a=b,即ABC为等腰三角形.变式变式2-2若将本例中的条件“bcosC+ccosB=asinA”改为“acosA=bcosB”,试判断ABC的形状.解析解析由条件及正弦定理,得sinAcosA=sinBcosBsin2A=sin2B,又A、B均为ABC的内角,所以2A=2B或2A=-2B,即A=B或A+B=.所以ABC为等腰三角形或直角三角形.变式变式2-3若将本例中的条件“bcosC+ccosB=asinA”改为“2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC,且sinB+sinC=1”,试判断ABC的形状.解析解析由条件及正弦定理得2a2=(
10、2b+c)b+(2c+b)c,整理得a2=b2+c2+bc,则cosA=-,sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC.又由sinB+sinC=1,可得sin2B+sin2C=1-2sinBsinC,由cosA=-,可得sinA=,所以sinBsinC=,所以sinB=sinC=.又易知0B,0C,故B=C=,所以ABC是等腰钝角三角形.考点三与三角形面积有关的问题考点三与三角形面积有关的问题典例典例3在ABC中,内角A,B,C的对边长分别为a,b,c,且(2b-c)cosA=acosC.(1)求角A的大小;(2)若a=3,b=2c,求ABC的面积.解析解析(1)由(2b-c)cos
11、A=acosC,得2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA,得2sinBcosA=sin(A+C),所以2sinBcosA=sinB,因为0B,所以sinB0,所以cosA=,因为0A,所以A=.(2)因为a=3,b=2c,由(1)知A=,所以cosA=,解得c=,所以b=2.所以SABC=bcsinA=2=.规律总结规律总结(1)求三角形ABC的面积时,常用公式S=absinC=acsinB=bcsinA,一般根据已知角具体选择.(2)解决与面积有关的问题,一般要用到正弦定理、余弦定理进行边和角的转化.3-1已知ABC是斜三角形,内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c.若csinA=acosC.(1)求角C;(2)若c=,且sinC+sin(B-A)=5sin2A,求ABC的面积.解析解析(1)根据=,可得csinA=asinC,又csinA=acosC,asinC=acosC,sinC=cosC,tanC=,C(0,),C=.(2)sinC+sin(B-A)=5sin2A,sinC=sin(A+B),sin(A+B)+sin(B-A)=5sin2A,2sinBcosA=25sinAcosA.ABC为斜三角形,cosA0,sinB=5sinA.由正弦定理可知b=5a,
