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1、2.4 2.4 有效数字及其运算规则有效数字及其运算规则 2.4.1 2.4.1 有效数字有效数字 数据位数反映测量的精确程度的数字称为数据位数反映测量的精确程度的数字称为有效数字。有效数字。 （分析工作中实际上能测量到的数字）（分析工作中实际上能测量到的数字）1例如：读取滴定管上的体积，例如：读取滴定管上的体积， 甲得到甲得到23.423.43 3mLmL； 乙得到乙得到23.423.42 2mLmL； 丙得到丙得到23.423.44 4mLmL，误差：误差：E=E=0.01mL 以上读数中前三位是一致的，因它是由具体刻度以上读数中前三位是一致的，因它是由具体刻度读出的，是准确的。最后一位不
2、一致，因是估计出来读出的，是准确的。最后一位不一致，因是估计出来的。人眼的分辨能力不同，故估读数有小的差别。该的。人眼的分辨能力不同，故估读数有小的差别。该数称为估计数据，也叫可疑数字。但它并不是臆造出数称为估计数据，也叫可疑数字。但它并不是臆造出来的，读数时应加以保留。来的，读数时应加以保留。 估计值估计值（可疑值）（可疑值）21. 1. 实验过程中遇到的两类数字实验过程中遇到的两类数字 （1 1）非测量值）非测量值 如测定次数；倍数；系数；分数；常数如测定次数；倍数；系数；分数；常数()()有效数字位数可看作无限多位。有效数字位数可看作无限多位。 （2 2）测量值或计算值）测量值或计算值
3、实际测量得到的数字和按照一定计量关系计算实际测量得到的数字和按照一定计量关系计算得到的数字得到的数字 （3 3）可疑数字：）可疑数字：有效数字的最后一位数字，通常有效数字的最后一位数字，通常为估计值，不够准确，故称为可疑值。为估计值，不够准确，故称为可疑值。 32. 有关有效数字的讨论有关有效数字的讨论 （1 1）正确记录实验数据正确记录实验数据 用分析天平与用托盘天平称取试样的不同。用分析天平与用托盘天平称取试样的不同。 （2 2）实验记录的数字不仅表示数量的大小，而且实验记录的数字不仅表示数量的大小，而且要正确地反映测量的精确程度。要正确地反映测量的精确程度。 （3 3）一般有效数字的最后
4、一位数字有一般有效数字的最后一位数字有11个单位的个单位的误差。误差。 结果结果 绝对偏差绝对偏差 相对偏差相对偏差 有效数字位数有效数字位数0.51800 0.51800 0.00001 0.00001 0.002% 50.002% 50.5180 0.5180 0.0001 0.0001 0.02% 40.02% 40.518 0.518 0.001 0.001 0.2% 30.2% 34（4 4）数据中零的作用）数据中零的作用 数字零在数据中具有双重作用：数字零在数据中具有双重作用： a. a. 作普通数字用作普通数字用， 如如 0.5180 0.5180； 5.180 101 4 4位
5、位有效数字有效数字 b. b. 作定位用作定位用， 如如 0.0518 0.0518；5.18 102 3 3位位有效数字有效数字5（5 5）注意点）注意点 a.a. 容量器皿容量器皿: : 滴定管滴定管, ,移液管移液管, ,容量瓶；容量瓶；4 4位有效数字位有效数字 b. b. 分析天平（分析天平（万分之一）万分之一）取取4 4位有效数字位有效数字 c.c. 标准溶液的浓度，标准溶液的浓度，用用4 4位有效数字表示位有效数字表示: : 0.1000 mol/L 0.1000 mol/L d. pH = 4.34d. pH = 4.34，小数点后的数字位数为有效数字位小数点后的数字位数为有效
6、数字位数；数；对数值，对数值，lglgX X = 2.38= 2.38；lg(2.4 lg(2.4 10102 2) )（6 6）运算数字中首位数字）运算数字中首位数字88，有效数字可，有效数字可多记一位。多记一位。 62.4.2 2.4.2 修约规则修约规则1. 1. 为什么要进行修约？为什么要进行修约？ 数字位数能正确表达实验的准确度，舍去多余的数字。数字位数能正确表达实验的准确度，舍去多余的数字。2. 2. 修约规则：修约规则：“四舍六入五留双四舍六入五留双” （1 1）当多余尾数）当多余尾数44时舍去尾数，时舍去尾数，66时进位。时进位。 （2 2）尾数正好是）尾数正好是5 5时分两种
7、情况：时分两种情况： a. a. 若若5 5后数字不为后数字不为0 0，一律进位，一律进位，0.10675340.1067534 b. 5 b. 5后无数或为后无数或为0 0，采用，采用5 5前是奇数则将前是奇数则将5 5进位，进位，5 5前是偶前是偶数则把数则把5 5舍弃，简称舍弃，简称“奇进偶舍奇进偶舍”。0.43715; 0.437250.43715; 0.43725 数据修约规则可参阅数据修约规则可参阅GB8170-87GB8170-87。73.3.示例与讨论示例与讨论（1 1）示例：保留四位有效数字，修约：）示例：保留四位有效数字，修约： 14.2442 14.24 14.2442
8、14.24 26.4863 26.49 26.4863 26.49 15.0250 15.02 15.0250 15.02 15.0150 15.02 15.0150 15.02 15.0251 15.03 15.0251 15.03（2 2）一次修约到位，不能连续多次的修约）一次修约到位，不能连续多次的修约 如如 2.3457 2.3457修约到两位，应为修约到两位，应为2.32.3， 如连续修约则为如连续修约则为 2.3457 2.346 2.35 2.4 2.3457 2.346 2.35 2.4 不对。不对。82.4.3 运算规则1.1.加减法运算加减法运算 结果的位数取决于绝对误差最
9、大的数据的位数结果的位数取决于绝对误差最大的数据的位数 例：例： 0. 0121 绝对误差：绝对误差： 0.0001 25. 64 0.01 1. 057 0.00126.709192. 乘除法运算乘除法运算 有效数字的位数取决于相对误差最大的数据的位数。有效数字的位数取决于相对误差最大的数据的位数。 例：例：(0.0325 (0.0325 5.103 5.103 60.0)/ 139.8 60.0)/ 139.8 = =0.071179184=0.07120.071179184=0.0712 0.0325 0.0001 / 0.0325 0.0325 0.0001 / 0.0325 100%
10、 = 0.3% 100% = 0.3% 5.103 0.001 / 5.103 5.103 0.001 / 5.103 100% = 0.02% 100% = 0.02% 60.06 0.01 / 60.06 60.06 0.01 / 60.06 100% = 0.02% 100% = 0.02% 139.8 0.1 / 139.8 139.8 0.1 / 139.8 100% = 0.07% 100% = 0.07% 先修约再运算？先运算再修约？先修约再运算？先运算再修约？ 结果数值有时不结果数值有时不一样。一样。将参与运算的各数的有效数字位数修约到比该将参与运算的各数的有效数字位数修约到比该数应有的有效数字位数多一位数应有的有效数字位数多一位( (多取的数字称为安全数多取的数字称为安全数字字) )，再进行运算。，再进行运算。10
