《D124函数展开成幂级数09实用教案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《D124函数展开成幂级数09实用教案（27页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、一、泰勒一、泰勒(til)(Taylor)级数级数其中(qzhng)( 在 x 与 x0 之间)称为(chn wi)拉格朗日余项 .则在若函数的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 ,该邻域内有 :机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共26页第一页，共27页。为f (x) 的泰勒(ti l)级数 . 则称当x0 = 0 时, 泰勒级数(j sh)又称为麦克劳林级数(j sh) .1) 对此级数(j sh), 它的收敛域是什么 ？2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?待解决的问题待解决的问题:若函数的某邻域内具有任意阶导数, 机动 目录
2、 上页 下页 返回 结束 第2页/共26页第二页，共27页。定理定理(dngl)1.各阶导数(do sh), 则 f (x) 在该邻域内能(ni nn)展开成泰勒级数的充要条件是 f (x) 的泰勒公式中的余项满足:证明:令设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域 内具有机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共26页第三页，共27页。定理定理(dngl)2.若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是唯一(wi y)的 , 且与它的麦克劳林级数相同.证: 设 f (x) 所展成的幂级数为则显然结论(jiln)成立 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共26页第四页，
3、共27页。二、函数二、函数(hnsh)展开展开成幂级数成幂级数1. 直接(zhji)展开法由泰勒(ti l)级数理论可知, 第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ;第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ; 第三步 判别在收敛区间(R, R) 内是否为骤如下 :展开方法直接展开法 利用泰勒公式间接展开法 利用已知其级数展开式0. 的函数展开机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共26页第五页，共27页。例例1.将函数将函数(hnsh)展开(zhn ki)成 x 的幂级数. 解解: 其收敛(shulin)半径为 对任何有限数 x , 其余项满足故( 在0与x 之间)
4、故得级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共26页第六页，共27页。例例2.将将展开(zhn ki)成 x 的幂级数.解: 得级数(j sh):其收敛(shulin)半径为 对任何有限数 x , 其余项满足机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共26页第七页，共27页。类似(li s)可推出:(P281) 机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共26页第八页，共27页。例例3.将函数将函数(hnsh)展开(zhn ki)成 x 的幂级数, 其中m为任意(rny)常数 . 解: 易求出 于是得 级数由于级数在开区间 (1, 1) 内收敛. 因此对任意常数 m,
5、 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共26页第九页，共27页。推导(tudo)则推导(tudo) 目录 上页 下页 返回 结束 为避免(bmin)研究余项 , 设此级数的和函数为第10页/共26页第十页，共27页。称为(chn wi)二项展开式 .说明(shumng)：(1) 在 x1 处的收敛性与 m 有关(yugun) .(2) 当 m 为正整数时, 级数为 x 的 m 次多项式, 上式 就是代数学中的二项式定理.机动 目录 上页 下页 返回 结束 由此得 第11页/共26页第十一页，共27页。对应(duyng)的二项展开式分别(fnbi)为机动 目录(ml) 上页 下页 返回
6、结束 第12页/共26页第十二页，共27页。2.间接间接(jinji)展开法展开法利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算(yn sun)性质, 例4. 将函数(hnsh)展开成 x 的幂级数.解: 因为把 x 换成, 得将所给函数展开成 幂级数. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共26页第十三页，共27页。例例5.将函数将函数(hnsh)展开(zhn ki)成 x 的幂级数.解: 从 0 到 x 积分(jfn), 得定义且连续, 区间为利用此题可得上式右端的幂级数在 x 1 收敛 ,所以展开式对 x 1 也是成立的,于是收敛机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共26页第
7、十四页，共27页。例例6.将将在x = 0处展为幂级数.解:因此(ync)机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第15页/共26页第十五页，共27页。例例7.将将展成(zhn chn)解: 的幂级数. 机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共26页第十六页，共27页。例例8.将将展成(zhn chn) x1 的幂级数. 解: 机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第17页/共26页第十七页，共27页。内容内容(nirng)小结小结1. 函数(hnsh)的幂级数展开法(1) 直接(zhji)展开法 利用泰勒公式 ;(2) 间接展开法 利用幂级数的性质及已知
8、展开2. 常用函数的幂级数展开式式的函数 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共26页第十八页，共27页。当 m = 1 时机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第19页/共26页第十九页，共27页。思考思考(sko)与与练习练习1. 函数(hnsh)处 “有泰勒(ti l)级数” 与 “能展成泰勒(ti l)级数” 有何不同 ?提示: 后者必需证明前者无此要求.2. 如何求的幂级数 ?提示:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共26页第二十页，共27页。作业(zuy) P285 2 (2) , (3) , (5) , (6) ; 3 (2) ; 4 ; 6 第
9、五节 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第21页/共26页第二十一页，共27页。备用备用(biyng)题题1.将下列函数(hnsh)展开成 x 的幂级数解:x1 时, 此级数(j sh)条件收敛,因此 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第23页/共26页第二十三页，共27页。2. 按要求(yoqi)完成下列各题:将 f (x) 展为x - 2的幂级数.解:机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第24页/共26页第二十四页，共27页。, 将 f (x) 展为x 的幂级数.解机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第25页/共26页第二十五页，共27页。感谢您的观看(gunkn)！第26页/共26页第二十六页，共27页。内容(nirng)总结一、泰勒 ( Taylor ) 级数。第1页/共26页。1) 对此级数, 它的收敛域是什么。第2页/共26页。f (x) 的泰勒公式中的余项满足:。若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是。唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同.。级数在开区间 (1, 1) 内收敛.。利用(lyng)一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质,。P285 2 (2) , (3) , (5) , (6)。第25页/共26页第二十七页，共27页。
