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1、专题二数学思想方法问题 数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略数学思想方法是把知性认识，是解决数学问题的根本策略数学思想方法是把知识转化为能力的桥梁，灵活运用各种数学思想方法是提高解识转化为能力的桥梁，灵活运用各种数学思想方法是提高解题能力的根本所在题能力的根本所在. . 因此，在复习时要注意总结体会教材例因此，在复习时要注意总结体会教材例题、习题以及学考试题中所体现的数学思想和方法，培养用题、习题以及学考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识和能力数学思想方法解决问题的意识和能力
2、 济宁市中考试题中经常考查利用数学思想解决的题目济宁市中考试题中经常考查利用数学思想解决的题目例如：例如：20172017年第年第1818题、题、20162016年第年第1919题、题、20152015年第年第1818题以解答题以解答题的形式考查数学建模思想在方程和函数中的应用；题的形式考查数学建模思想在方程和函数中的应用；20162016年年第第6 6题、题、20142014年第年第1616题都考查了代数式求值的整体代入思想；题都考查了代数式求值的整体代入思想；20152015年第年第5 5题考查了分类讨论思想在三角形中的应用；题考查了分类讨论思想在三角形中的应用；20162016年年第第2
3、121题考查了两平行直线间的距离转化为点到直线距离的应题考查了两平行直线间的距离转化为点到直线距离的应用；用； 20142014年第年第8 8题考查了数形结合思想在二次函数与题考查了数形结合思想在二次函数与x x轴交点轴交点中的应用中的应用类型一类型一 分类讨论思想分类讨论思想 分类讨论思想是指当被研究的问题存在一些不确定的因分类讨论思想是指当被研究的问题存在一些不确定的因素，无法用统一的方法或结论给出统一的表述时，按可能出素，无法用统一的方法或结论给出统一的表述时，按可能出现的所有情况来分别讨论，得出各情况下相应的结论分类现的所有情况来分别讨论，得出各情况下相应的结论分类的原则：的原则：(1
4、)(1)分类中的每一部分是相互独立的；分类中的每一部分是相互独立的；(2)(2)一次分类一次分类必须是同一个标准；必须是同一个标准；(3)(3)分类讨论要逐级进行；分类讨论要逐级进行；(4)(4)分类必须分类必须包含所有情况，既不能重复，也不能有遗漏包含所有情况，既不能重复，也不能有遗漏例例1 1 (2016 (2016临夏州临夏州) )如图，如图，ABCABC是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，AA9090，BCBC4 4，点，点P P是是ABCABC边上一动点，沿边上一动点，沿BACBAC的路径移的路径移动，过点动，过点P P作作PDBCPDBC于点于点D.D.设设BDBDx x，BDPB
5、DP的面积为的面积为y y，则下，则下列能大致反映列能大致反映y y与与x x函数关系的图象是函数关系的图象是( () )【分析【分析】 分两部分求分两部分求y y与与x x的函数关系式：的函数关系式：当点当点P P在在ABAB上上时；时；当点当点P P在在ACAC上时然后根据函数关系式确定函数图象上时然后根据函数关系式确定函数图象【自主解答【自主解答】 过过A A点作点作AHBCAHBC于于H.H.ABCABC是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，BBCC4545，BHBHCHCHAHAH BCBC2.2.当当0x20x2时，如图时，如图1 1，BB4545，PDPDBDBDx x，yy x
6、xx x x x2 2；当当2 2x4x4时，如图时，如图2 2，CC4545，PDPDCDCD4 4x x，yy (4(4x)x)x x x x2 22x.2x.分析各个选项的图象，易知选分析各个选项的图象，易知选B.B.1 1(2017(2017西宁西宁) ) 如图，在正方形如图，在正方形ABCDABCD中，中，ABAB3 cm3 cm，动，动点点M M自自A A点出发沿点出发沿ABAB方向以每秒方向以每秒1 cm1 cm的速度运动，同时动的速度运动，同时动点点N N自自D D点出发沿折线点出发沿折线DCDCCBCB以每秒以每秒2 cm2 cm的速度运动，到达的速度运动，到达B B点时运动
7、同时停止设点时运动同时停止设AMNAMN的面积为的面积为y(cmy(cm2 2) )，运动时间，运动时间为为x(sx(s) )，则下列图象中能大致反映，则下列图象中能大致反映y y与与x x之间的函数关系的之间的函数关系的是是( )( )2.(20172.(2017武汉武汉) ) 如图，在如图，在RtABCRtABC中，中，CC9090，以，以ABCABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在ABCABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为数最多为( )( )A A4 4 B B5 5
8、 C. 6C. 6 D D7 7类型二类型二 数形结合思想数形结合思想 数形结合思想是把抽象思维和形象思维结合起来分析数形结合思想是把抽象思维和形象思维结合起来分析问题，将抽象的数学语言和直观的图形语言结合起来表示问题，将抽象的数学语言和直观的图形语言结合起来表示问题，从而解决问题的数学思想运用数形结合思想解决问题，从而解决问题的数学思想运用数形结合思想解决问题，关键是要找到数与形的契合点数形结合在不等式问题，关键是要找到数与形的契合点数形结合在不等式( (组组) )、函数等知识中有着广泛的应用，综合题中始终渗透、函数等知识中有着广泛的应用，综合题中始终渗透着对数形结合思想的考查着对数形结合思
9、想的考查例例2 2 (2016(2016河南河南) )某班某班“数学兴趣小组数学兴趣小组”对函数对函数y yx x2 22|x|2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整(1)(1)自自变变量量x x的的取取值值范范围围是是全全体体实实数数，x x与与y y的的几几组组对对应应值值列列表表如下：如下：(2)(2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分(3)(3)观察函数图象
10、，写出两条函数的性质观察函数图象，写出两条函数的性质(4)(4)进一步探究函数图象发现：进一步探究函数图象发现：函数图象与函数图象与x x轴有轴有 个交点，所对应的方程个交点，所对应的方程x x2 22|x|2|x|0 0有有 个实数根；个实数根；方程方程x x2 22|x|2|x|2 2有有 个实数根；个实数根；关于关于x x的方程的方程x x2 22|x|2|x|a a有有4 4个实数根时，个实数根时，a a的取值范围的取值范围是是 【分析【分析】 (1)(1)把把x x2 2代入函数解析式求解即可；代入函数解析式求解即可；(2)(2)描点、描点、连线即可；连线即可；(3)(3)写出两条合
11、理的函数性质即可；写出两条合理的函数性质即可；(4)(4)利用数形结利用数形结合思想，通过观察图象直接写出答案即可合思想，通过观察图象直接写出答案即可【自主解答【自主解答】 (1)0(1)0(2)(2)如图所示：如图所示：(3)(3)性质：性质：函数函数y yx x2 22|x|2|x|的图象关于的图象关于y y轴对称；轴对称；当当x x1 1时，时，y y随随x x的增大而增大的增大而增大( (答案不唯一，合理即可答案不唯一，合理即可) )(4)3(4)33 3221 1a a0 03 3(2017(2017兰州兰州) )下表是一组二次函数下表是一组二次函数y yx x2 23x3x5 5的
12、自变的自变量量x x与函数值与函数值y y的对应值：的对应值： x x 1 1 1.11.1 1.21.2 1.31.3 1.41.4 y y1 10.490.49 0.040.04 0.590.59 1.161.16那么方程那么方程x x2 23x3x5 50 0的一个近似根是的一个近似根是( )( )A. 1 A. 1 B. 1.1 B. 1.1 C. 1.2 C. 1.2 D. 1.3D. 1.3C C4 4(2016(2016十堰十堰) )已知关于已知关于x x的二次函数的二次函数y yaxax2 2bxbxc c的图的图象经过点象经过点( (2 2，y y1 1) )，( (1 1，
13、y y2 2) )，(1(1，0)0)，且，且y y1 10 0y y2 2，对，对于以下结论：于以下结论：abcabc0 0；aa3b3b2c02c0；对于自变量对于自变量x x的任意一个取值，都有的任意一个取值，都有 x x2 2xx ；在在2 2x x1 1中存在一个实数中存在一个实数x x0 0，使得，使得x x0 0 ，其中结论错误的是，其中结论错误的是 _ (_ (只填写序号只填写序号) )类型三类型三 转化与化归思想转化与化归思想 转化与化归思想是一种最基本的数学思想，用于解决问转化与化归思想是一种最基本的数学思想，用于解决问题时的基本思想是化未知为已知，把复杂的问题简单化，把题
14、时的基本思想是化未知为已知，把复杂的问题简单化，把生疏的问题熟悉化，把非常规的问题化为常规问题，把实际生疏的问题熟悉化，把非常规的问题化为常规问题，把实际问题数学化，实现不同的数学问题间的相互转化，这也体现问题数学化，实现不同的数学问题间的相互转化，这也体现了把不易解决的问题化为有章可循、容易解决问题的思想了把不易解决的问题化为有章可循、容易解决问题的思想例例3 3 如图，圆锥的底面圆的半径为如图，圆锥的底面圆的半径为r(rr(r0)0)，母线长，母线长OAOA为为3r3r，C C为母线为母线OBOB的中点在圆锥的侧面上，一只蚂蚁从点的中点在圆锥的侧面上，一只蚂蚁从点A A爬行到点爬行到点C
15、C的最短线路长为的最短线路长为( () )【分析【分析】 要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，根据两点之间线段最短求解展开，根据两点之间线段最短求解【自主解答【自主解答】 由题意知，底面圆的直径为由题意知，底面圆的直径为2r2r，故底面，故底面周长等于周长等于2r.2r.设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n n，根据底面周长等于展开后扇形的弧长得根据底面周长等于展开后扇形的弧长得2r2r解得解得n n120120，AOAAOA120120，116060. .如图，过点如图，过点C C作作CFOA.CFOA.5 5(20
16、17(2017十堰十堰) )如图，已知圆柱的底面直径如图，已知圆柱的底面直径BCBC cmcm，高，高ABAB3 cm3 cm，小虫在圆柱表面爬行，从，小虫在圆柱表面爬行，从C C点爬到点爬到A A点，然后再点，然后再沿另一面爬回沿另一面爬回C C点，则小虫爬行的最短路程为点，则小虫爬行的最短路程为( )( )D D6 6(2017(2017黑龙江黑龙江) )如图，在矩形如图，在矩形ABCDABCD中，中，ADAD4 4，DACDAC3030，点，点P P，E E分别在分别在ACAC，ADAD上，则上，则PEPEPDPD的的最小值是最小值是( )( )B B类型四类型四 数学建模思想数学建模思
17、想 数学建模思想就是构造数学模型的思想，即用数学的语数学建模思想就是构造数学模型的思想，即用数学的语言言公式、符号、图表等刻画一个实际问题，然后经过数公式、符号、图表等刻画一个实际问题，然后经过数学的处理学的处理计算解决问题利用模型思想解决问题的关键：计算解决问题利用模型思想解决问题的关键：(1)(1)抓住关键的字、词、句，把生活中的语言转化为数学语抓住关键的字、词、句，把生活中的语言转化为数学语言，结合生活中的经验，灵活运用数学知识进行解决；言，结合生活中的经验，灵活运用数学知识进行解决；(2)(2)充分利用各种数学思想把实际问题转化为数学问题，然后解充分利用各种数学思想把实际问题转化为数学
18、问题，然后解答答例例4 4 (2016(2016潍坊潍坊) )旅游公司在景区内配置了旅游公司在景区内配置了5050辆观光车供游客辆观光车供游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金车的日租金x(x(元元) )是是5 5的倍数发现每天的营运规律如下：当的倍数发现每天的营运规律如下：当x x不不超过超过100100元时，观光车能全部租出；当元时，观光车能全部租出；当x x超过超过100100元时，每辆车的元时，每辆车的日租金每增加日租金每增加5 5元，租出去的观光车就会减少元，租出去的观光车就会减少1 1辆已知所有观辆
19、已知所有观光车每天的管理费是光车每天的管理费是1 1001 100元元(1)(1)优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？正，则每辆车的日租金至少应为多少元？( (注：净收入租注：净收入租车收入管理费车收入管理费) )(2)(2)当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？【分析【分析】 (1)(1)观光车全部租出每天的净收入出租观光车的观光车全部租出每天的净收入出租观光车的总收入管理费，根据不等关系：净收入为正，列出不等式总收入管理费，根据不等关系：净收
20、入为正，列出不等式求解即可；求解即可；(2)(2)由函数解析式是分段函数，在每一段内求出由函数解析式是分段函数，在每一段内求出函数最大值，比较得出函数的最大值函数最大值，比较得出函数的最大值【自自主主解解答答】 (1)(1)由由题题意意知知，若若观观光光车车能能全全部部租租出出，则则0 0x100x100，由由50x50x1 1001 1000 0，解得，解得x x22.22.又又xx是是5 5的倍数，的倍数，每辆车的日租金至少应为每辆车的日租金至少应为2525元元(2)(2)设每天的净收入为设每天的净收入为y y元，元，当当0 0x100x100时，时，y y1 150x50x1 1001
21、100，y y1 1随随x x的增大而增大，的增大而增大，当当x x100100时，时，y y1 1的最大值为的最大值为50501001001 1001 1003 9003 900；当当x x100100时，时，y y2 2(50(50 )x)x1 1001 100 x x2 270x70x1 1001 100 (x(x175)175)2 25 0255 025，当当x x175175时，时，y y2 2的最大值为的最大值为5 025.5 025.5 0255 0253 9003 900，当每辆车的日租金为当每辆车的日租金为175175元时，每天的净收入最多元时，每天的净收入最多是是5 025
22、 5 025 元元7 7一家游泳馆的游泳收费标准为一家游泳馆的游泳收费标准为3030元元/ /次，若购买会员年卡，次，若购买会员年卡，可享受如下优惠：可享受如下优惠：例如，购买例如，购买A A类会员年卡，一年内游泳类会员年卡，一年内游泳2020次，消费次，消费505025252020550550元若一年内在该游泳馆游泳的次数介于元若一年内在该游泳馆游泳的次数介于45455555次之间，则最省钱的方式为次之间，则最省钱的方式为( )( )A A购买购买A A类会员年卡类会员年卡 B B购买购买B B类会员年卡类会员年卡C C购买购买C C类会员年卡类会员年卡 D D不购买会员年卡不购买会员年卡C C8 8如图，利用一面墙如图，利用一面墙( (墙的长度不超过墙的长度不超过45 m)45 m)，用，用80 m80 m长的长的篱笆围一个矩形场地，当篱笆围一个矩形场地，当ADAD _ m_ m时，矩形场地的面积最时，矩形场地的面积最大大2020
