《量子力学第三章3.5厄米算符本征函数的正交性.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《量子力学第三章3.5厄米算符本征函数的正交性.ppt（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、一、两函数正交的定义：一、两函数正交的定义： 三维空间中二矢量正交：三维空间中二矢量正交： N维空间中二矢量正交：维空间中二矢量正交： 若两函数若两函数 满足关系式：满足关系式：则称为两函数则称为两函数 相互正交，式中积分是对变量相互正交，式中积分是对变量变化的全部区域进行的。变化的全部区域进行的。例如：动量本征函数例如：动量本征函数 ，则：，则：这就是说这就是说属于动量算符不同本征值的两个本征函数属于动量算符不同本征值的两个本征函数 相互正交。相互正交。二、厄米算符属于不同本征值的本征函数正交二、厄米算符属于不同本征值的本征函数正交证明：证明： 因因 ； ，则有：，则有：而而 设厄米算符设厄
2、米算符 对应于不同本征值对应于不同本征值 、 的本征函数为的本征函数为和和 ，即证：，即证： 。属于不同本征值的本征函数都是正交的。属于不同本征值的本征函数都是正交的。则：则： 即即： 所以：所以： ，证毕。，证毕。无论无论 的本征值组成分立谱还是连续谱，这个定理的本征值组成分立谱还是连续谱，这个定理及其证明都成立。及其证明都成立。而而 说明：说明：于是称于是称 为厄为厄米算符米算符 的正交归一本征函数系。的正交归一本征函数系。假若假若 的本征值组成分立谱，且的本征值组成分立谱，且 ，则：则： 假若假若 的本征值组成连续谱，则代替上式有：的本征值组成连续谱，则代替上式有： 于是称于是称 为厄米
3、算符为厄米算符 的正交归一本征函的正交归一本征函数系。数系。三、厄米算符属于相同本征值的本征函数的正交性（简并情况）三、厄米算符属于相同本征值的本征函数的正交性（简并情况）于是上面的证明不再成立。一般说这些函数并不一定正交。但我于是上面的证明不再成立。一般说这些函数并不一定正交。但我们总可以用们总可以用 个常数个常数 把这把这 个函数线性组合成个函数线性组合成 个新的线个新的线性独立的待定函数性独立的待定函数 ，即：，即：其中其中 仍然是仍然是 的本征函数（迭加原理），即：的本征函数（迭加原理），即：如果如果 的一个本征值的一个本征值 是是 度简并的，既有度简并的，既有 个（而不是一个）个（而
4、不是一个）本征函数本征函数 都属于相同的本征值都属于相同的本征值 ，而且，而且是线性无关的，则有：是线性无关的，则有： 使新函数使新函数 组成正交归一系应满足的条件为：组成正交归一系应满足的条件为：即待定系数即待定系数 必须满足的条件有必须满足的条件有 个个方程，其方程，其中中 的归一化条件有的归一化条件有 个；个； 的的正交条件有正交条件有 个。个。而待定系数而待定系数 共有共有 个值。个值。个个个个由简并的这由简并的这 f 个函数可以线性组合成个函数可以线性组合成 f 个独立的新函个独立的新函数，它们仍属于原本征值且满足正交归一化条件。数，它们仍属于原本征值且满足正交归一化条件。于是只要于
5、是只要 ，就有，就有 ，即待定系数，即待定系数 的个数大于条件方程的个数，所以的个数大于条件方程的个数，所以 可以有许多选可以有许多选择方式，使得函数择方式，使得函数 满足正交归一化条件。满足正交归一化条件。说明：在实际计算中，当出现简并时，为了把说明：在实际计算中，当出现简并时，为了把 的的本征态确定下来，往往本征态确定下来，往往用与用与 对易的其它的力学量对易的其它的力学量算符的本征值来对体系的状态分类算符的本征值来对体系的状态分类，其本征值与，其本征值与 一起共同确定状态，此时正交性问题自动得到解决。一起共同确定状态，此时正交性问题自动得到解决。如：如： 的本征值为的本征值为 ，对于确定
6、的，对于确定的 ，其本征函数，其本征函数 是是 重简并的。用与重简并的。用与 对对易的算符易的算符 的本征值的本征值 来确定态函数来确定态函数 ，此，此时，它对应的本征值为时，它对应的本征值为 ，这，这时，波函数是唯一确定的。时，波函数是唯一确定的。综合上述讨论可得如下结论：综合上述讨论可得如下结论： 既然厄密算符本征函数总可以取为正交既然厄密算符本征函数总可以取为正交归一化的，所以以后凡是提到厄密算符的本归一化的，所以以后凡是提到厄密算符的本征函数时，都是正交归一化的，即组成正交征函数时，都是正交归一化的，即组成正交归一系。归一系。四、正交归一函数系的例子：四、正交归一函数系的例子：1. 1. 一维线性谐振子的能量本征函数：一维线性谐振子的能量本征函数：组成正交归一系。组成正交归一系。2.2.角动量算符的本征函数：角动量算符的本征函数：角动量算符角动量算符 分量分量 的本征函数：的本征函数：组成正交归一系：组成正交归一系： 角动量平方算符角动量平方算符 属于本征值属于本征值 的本征函数的本征函数 组成正交归一系：组成正交归一系：把把合写合写 3.3.氢原子的波函数：氢原子的波函数： 组成正交归一系：组成正交归一系：合写为：合写为：所以所以 、 、 、 都是正交归一函数系。都是正交归一函数系。（给定（给定 ) )
