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1、规范答题强化课（三）高考大题数 列类型一 求数列的前n项和 【真题示范】(2017天津高考)(12分)已知an为等差数列,前n项和为Sn(nN*),bn是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.(1)求an和bn的通项公式. (2)求数列a2nb2n-1的前n项和 【联想解题】看到求等差数列an和等比数列bn的通项公式,想到利用条件,列出方程,利用等差、等比数列的通项公式求解.看到求数列a2nb2n-1的前n项和,想到利用错位相减法求数列的前n项和. 【标准答案】规范答题 分步得分(1)设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q.由已知得
2、b2+b3=12,得b1(q+q2)=12,而b1=2,所以q2+q-6=0.2分 得分点又因为q0,解得q=2,所以bn=2n.3分 得分点由b3=a4-2a1,可得3d-a1=8.由S11=11b4,可得a1+5d=16.联立,解得a1=1,d=3,4分 得分点由此可得an=3n-2.5分 得分点所以数列an的通项公式为an=3n-2,数列bn的通项公式为bn=2n.6分 得分点(2)设数列a2nb2n-1的前n项和为Tn,由a2n=6n-2,b2n-1=24n-1,得a2nb2n-1=(3n-1)4n, 7分 得分点故Tn=24+542+843+(3n-1)4n, 8分 得分点4Tn=2
3、42+543+844+(3n-4)4n 9分 得分点+(3n-1)4n+1,-得-3Tn=24+342+343+34n-(3n-1)4n+1=-(3n-2)4n+1-8. 11分 得分点得Tn= 4n+1+ .所以数列a2nb2n-1的前n项和为 4n+1+ .12分 得分点【评分细则】正确求出q2+q-6=0得2分.根据等比数列的通项公式求出通项bn=2n得1分,通项公式使用错误不得分.求出a1=1,d=3得1分.根据等差数列的通项公式求出通项an=3n-2得1分,通项公式使用错误不得分.正确总结性写出两数列的通项公式得1分.正确写出a2nb2n-1=(3n-1)4n得1分.正确写出24+5
4、42+843+(3n-1)4n得1分.正确写出4Tn得1分.由两式相减得出-3Tn=-(3n-2)4n+1-8正确得2分,错误不得分.正确计算出 Tn得1分.【名师点评】 1.核心素养:数列的前n项和是高考重点考查的知识点,裂项相消法是高考考查的重点,突出考查“数学运算”的核心素养.2.解题引领:(1)牢记等差、等比数列的相关公式:熟记等差、等比数列的通项公式及前n项和公式,解题时结合实际情况合理选择.如第(1)问运用了等差、等比数列的通项公式.(2)注意利用第(1)问的结果:在题设条件下,如果第(1)问的结果第(2)问能用得上,可以直接用,有些题目不用第(1)问的结果甚至无法解决,如本题即是
5、在第(1)问的基础上得出数列a2nb2n-1的通项公式,分析数列特征,想到用裂项法求数列前n项和.类型二 数列与函数、不等式综合 【真题示范】(2017山东高考)(12分)已知xn是各项均为正数的等比数列,且x1+x2=3,x3-x2=2.(1)求数列xn的通项公式.(2)如图,在平面直角坐标系xOy中,依次连接点P1(x1, 1),P2(x2, 2),Pn+1(xn+1, n+1)得到折线P1 P2Pn+1,求由该折线与直线y=0,x=x1,x=xn+1所围成的区域的面积Tn. 【联想解题】看到求数列xn的通项公式,想到利用条件,列出方程,利用等比数列的通项公式求解.看到折线与直线y=0,x
6、=x1,x=xn+1所围成的区域的面积Tn,想到结合图形,列出关于面积Tn的各项,并根据各项的特征求出面积Tn. 【标准答案】规范答题 分步得分(1)设数列xn的公比为q,由已知q0.由题意得, 2分 得分点所以3q2-5q-2=0,3分 得分点因为q0,所以q=2,x1=1,4分 得分点因此数列xn的通项公式为xn=2n-1. 6分 得分点(2)过P1,P2,P3,Pn+1向x轴作垂线,垂足分别为Q1,Q2,Q3,Qn+1,由(1)得xn+1-xn=2n-2n-1=2n-1.7分 得分点记梯形PnPn+1Qn+1Qn的面积为bn.由题意,bn= 2n-1=(2n+1)2n-2, 8分得分点所
7、以Tn=b1+b2+b3+bn=32-1+520+721+(2n-1)2n-3+(2n+1)2n-2,9分得分点又2Tn=320+521+722+(2n-1)2n-2+(2n+1)2n-1, 10分 得分点-得-Tn=32-1+(2+22+2n-1)-(2n+1)2n-1= -(2n+1)2n-1.所以Tn= 12分 得分点 【评分细则】 正确列出方程组得2分.写出3q2-5q-2=0得1分.求出q=2,x1=1得1分.写出通项公式,正确得2分,错误不得分.求出xn+1-xn得1分.正确写出bn的通项公式得1分.求出Tn得1分.裂项法正确,两边同时乘以2,正确得1分.求出Tn再得2分.【名师点评】1.核心素养:数列问题是高考的必考题,求数列的通项公式及数列的前n项和是高考的常见题型.本题重点考查考生的识图能力及解决问题的能力,同时考查 “逻辑推理”及“数学运算”的核心素养.2.解题引领:(1)等差(或等比)数列的通项公式、前n项和公式中有五个元素a1,d(或q),n,an,Sn,“知三求二”是等差(等比)的基本题型,通过解方程的方法达到解题的目的.(2)数列的求和问题常采用“公式法”“裂项相消法”等,如本题采用裂项法问题便可以求解.
