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1、第四节一、对面积的曲面积分的概念与性质一、对面积的曲面积分的概念与性质 二、对面积的曲面积分的计算法二、对面积的曲面积分的计算法对面积的曲面积分 一、对面积的曲面积分的概念与性质一、对面积的曲面积分的概念与性质引例引例: 设曲面形构件具有连续面密度类似求平面薄板质量的思想, 采用可得求质 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 的方法,量 M.其中, 表示 n 小块曲面的直径的最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者). 定义定义: 设 为光滑曲面,域任意取点, “乘积和式极限”恒等于I，即 的曲面积分其中 f (x, y, z) 叫做被积据此定义, 曲面形构件的质量为曲面面积为f
2、(x, y, z) 是定义在 上的一 个有界函数,记作或第一类曲面积分.若存在实数 I，对 做任意分割和局部区则称 I 为函数 f (x, y, z) 在曲面 上对面积函数, 叫做积分曲面.则对面积的曲面积分存在. 对积分域的可加性对积分域的可加性.则有 线性性质线性性质.在光滑曲面 上连续, 对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似. 积分的存在性积分的存在性. 若 是分片光滑的,例如分成两片光滑曲面定理定理: 设有光滑曲面f (x, y, z) 在 上连续,存在, 且有二、对面积的曲面积分的计算法二、对面积的曲面积分的计算法 则曲面积分证明证明: 由定义知而说明说明:可有类似的公式.如果曲面方程为例例1. 计算曲面积分其中是球面被平面截出的顶部.解解: :例例2. 计算其中 是由平面坐标面所围成的四面体的表面. 解解: 设上的部分, 则与 原式 = 分别表示 在平面 内容小结内容小结1. 定义:2. 计算: 设则(曲面的其他两种情况类似) 注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、重心公式简化计算的技巧. 作业 习题11-4 4（2）（3）; 备用题备用题 1. 已知曲面壳求此曲面壳在平面 z1以上部分 的的面密度质量 M . 解解: 在 xoy 面上的投影为 故2. 设 是四面体面, 计算解解: 在四面体的四个面上同上平面方程投影域
