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1、1无穷小无穷小(infinitely small)无穷大无穷大(infinitely great)小结小结 思考题思考题 作业作业 无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系2.3 无穷小与无穷大无穷小与无穷大第第2 2章章 极限与连续极限与连续21. 定义定义极限为零的极限为零的变量变量称为称为 无穷小量无穷小量, ,简称简称如如,无穷小是指无穷小是指函数变化的趋势函数变化的趋势.无穷小无穷小. .一、无穷小一、无穷小在某个过程中在某个过程中皆非无穷小皆非无穷小.极限问题可归结为无穷小问题极限问题可归结为无穷小问题. 极限方法的极限方法的重要部分是无穷小分析重要部分是无穷小分析.2.3 无穷小
2、与无穷大无穷小与无穷大定义定义2.82.83记作记作注注“无限制变小的量无限制变小的量”(1) 无穷小无穷小是变量是变量, “无穷小量无穷小量”并不是表达量的大小并不是表达量的大小, 化状态的化状态的.(2) 零是可以作为无穷小的零是可以作为无穷小的唯一的数唯一的数.使得当使得当 不能与很小很小的数混淆不能与很小很小的数混淆; 而是表达它的而是表达它的变变恒有恒有2.3 无穷小与无穷大无穷小与无穷大定义定义2.82.8恒有恒有42. 无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系证证定理定理2.122.12恒有恒有也即也即恒有恒有2.3 无穷小与无穷大无穷小与无穷大5于是于是恒有恒有即即类似可证
3、明类似可证明 的情形的情形.其中其中A是常数是常数,恒有恒有2.3 无穷小与无穷大无穷小与无穷大定理定理2.122.126二、无穷大二、无穷大绝对值无限增大绝对值无限增大的变量称为的变量称为无穷大无穷大. .如如,是无穷大是无穷大;是无穷大是无穷大.2.3 无穷小与无穷大无穷小与无穷大7定义定义2.92.9记作记作特殊情形特殊情形: 正无穷大正无穷大, 负无穷大负无穷大. 定义定义定义定义使得当使得当恒有恒有2.3 无穷小与无穷大无穷小与无穷大8无穷大一定是无界函数无穷大一定是无界函数,注注(3) 无穷大与无界函数的区别无穷大与无界函数的区别:它们是两个不同的概念它们是两个不同的概念.某个过程
4、的无穷大某个过程的无穷大.但是无界函数未必是但是无界函数未必是比如数列比如数列是无界的是无界的, 时的无穷大时的无穷大.(1) 无穷大是变量无穷大是变量, 不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;绝对值无限增大的变量称为绝对值无限增大的变量称为无穷大无穷大. .但不是但不是2.3 无穷小与无穷大无穷小与无穷大9如如是无界函数是无界函数, 但但不是无穷大不是无穷大.因为取因为取而取而取所以所以 f (x)不是不是无穷大无穷大! !当当n充分大时充分大时, f (xn)可以大于一预先给定的正数可以大于一预先给定的正数M;绝对值无限增大的变量称为绝对值无限增大的变量称为无穷大无穷大. .2.3 无穷小
5、与无穷大无穷小与无穷大10证证例例的图形的的图形的 铅直渐近线铅直渐近线(vertical asymptote).结结论论所以所以则直线则直线x = x0是函数是函数y = f (x)使得当使得当恒有恒有2.3 无穷小与无穷大无穷小与无穷大11证证定理定理2.132.13恒不为零的无穷小的倒数为无穷大恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. .三、无穷小与无穷大的关系三、无穷小与无穷大的关系此时对此时对使得当使得当所以所以因为因为在同一过程中在同一过程中, 无穷大的倒数为无穷大的倒数为即即使得当使得当恒有恒有2.3 无穷小与无穷大无穷小与无穷大无穷小无穷小;12意义意义无穷小的讨论无穷小的讨论.都可归
6、结为关于都可归结为关于 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. .此时对此时对使得当使得当定理定理2.13 2.13 在同一过程中在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小;所以所以所以所以关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论,从而从而使得当使得当2.3 无穷小与无穷大无穷小与无穷大13 两个正两个正 无穷大之和仍为正无穷大之和仍为正 无穷大无穷大; 有界变量与无穷大的和、差仍为无穷大有界变量与无穷大的和、差仍为无穷大; 有非零极限的变量有非零极限的变量(或无穷大或无穷大)与无穷大之积与无穷大之积容易证明容易证明例例解解但须注意, 无穷大无穷大.仍为无穷大仍为无
7、穷大, 有限个无穷大的乘积也是无穷大有限个无穷大的乘积也是无穷大;有界量与无穷大的乘积不见得是有界量与无穷大的乘积不见得是(负负)(负负)2.3 无穷小与无穷大无穷小与无穷大14无穷小的概念无穷小的概念;无穷小的运算无穷小的运算;无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系;无穷大的概念无穷大的概念;无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系.四、小结四、小结2.3 无穷小与无穷大无穷小与无穷大15思考题思考题考研数学三考研数学三, 3分分A. 无穷小量无穷小量B. 无穷大量无穷大量C. 有界量非无穷小量有界量非无穷小量D. 无界但非无穷大量无界但非无穷大量D2.3 无穷小与无穷大无穷小与无穷大16作业作业习题习题2.3(2.3(第第3030页页) ) 2.3 无穷小与无穷大无穷小与无穷大
