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1、练习四参考答案练习四参考答案二二解：设解：设A为事件为事件“飞机被击落飞机被击落”， 分别分别三三为事件为事件“甲、乙、丙击中飞机甲、乙、丙击中飞机”， 为事为事四四件件“飞机被飞机被i人击中人击中”，则，则1所以飞机被击落的概率为所以飞机被击落的概率为三三 解解（1）A,B互不相容，则互不相容，则（2）A,B相互独立，则相互独立，则 也相互独立，从而也相互独立，从而四四 解：电路系统如图解：电路系统如图设设M为事件为事件“电路发生断电电路发生断电”，A,B,C分别为事件分别为事件“电池电池A,B,C正常正常”，则，则 第六讲第六讲连续型随机变量的分布连续型随机变量的分布5 5 连续型随机变量
2、连续型随机变量X所有可能取值充满所有可能取值充满一个区间一个区间, 对这种类型的随机变量对这种类型的随机变量, 不能不能象离散型随机变量那样象离散型随机变量那样, 以指定它取每个以指定它取每个值概率的方式值概率的方式, 去给出其概率分布去给出其概率分布, 而是而是通过给出所谓通过给出所谓“概率密度函数概率密度函数”的方式的方式. 下面我们就来介绍对连续型随机变量下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述方法的描述方法.设设 X 是一随机变量，若存在一个非负是一随机变量，若存在一个非负 可积函数可积函数 f ( x ), 使得使得其中其中F ( x )是它的分布函数是它的分布函数则称则称 X 是是连
3、续型随机变量连续型随机变量，f ( x )是它的是它的概率密概率密度函数度函数( p.d.f. )，简称为简称为概率密度概率密度或或密度函数密度函数一、连续型随机变量的概念一、连续型随机变量的概念1、定义、定义7xf ( x)xF ( x )分布函数分布函数F ( x )与概率密度与概率密度 f ( x )的几何意义的几何意义82、概率密度概率密度 f ( x )的性质的性质1) 2) 常利用这两个性质检验一个函数能否作常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续型随机变量的概率密度为连续型随机变量的概率密度 ，或求，或求其中的未知参数其中的未知参数9 故故 X的密度的密度 f(x) 在在 x 这
4、一点的值，恰好是这一点的值，恰好是X落在区间落在区间 上的概率与区间长度上的概率与区间长度 之比的极限之比的极限. 这里，如果把概率理解为质量，这里，如果把概率理解为质量， f (x)相当于线密度相当于线密度. 若若x是是 f(x)的连续点，则：的连续点，则：3. 对对 f(x)的进一步理解的进一步理解:3)在在 f ( x ) 的连续点处，的连续点处，X在在 x 附近单位长度的区间内取值的概率附近单位长度的区间内取值的概率. ,f ( x ) 描述了描述了 要注意的是，密度函数要注意的是，密度函数 f (x)在某点处在某点处a的高度，并不反映的高度，并不反映X取值的概率取值的概率. 但是，这
5、但是，这个高度越大，则个高度越大，则X取取a附近的值的概率就越附近的值的概率就越大大. 也可以说，在某点密度曲线的高度反也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度映了概率集中在该点附近的程度. f (x)xo若不计高阶无穷小，有：若不计高阶无穷小，有： 它表示随机变量它表示随机变量 X 取值于取值于 的的概率近似等于概率近似等于 .在连续型在连续型r.v理论中所起的作用与理论中所起的作用与在离散型在离散型r.v理论中所起的理论中所起的作用相类似作用相类似.连续型连续型r.v取任一指定值的概率为取任一指定值的概率为0.即：即：a为为任一指定值任一指定值这是因为这是因为需要指出的
6、是需要指出的是:1) 由由P(X=a)=0 可推知可推知而而 X=a 并非不可能事件并非不可能事件并非必然事件并非必然事件称称A为为几乎不可能事件几乎不可能事件，B为为几乎必然事件几乎必然事件.可见，可见，由由P(A)=0, 不能推出不能推出由由P(B)=1, 不能推出不能推出 B=S2)对于连续型随机变量对于连续型随机变量Xbxf ( x)a（等于以曲线（等于以曲线y=f(x)为曲边，底为为曲边，底为(a,b的曲边的曲边梯形的面积梯形的面积)15xf ( x)a16例例1 有一批晶体管，已知每只的使用寿命有一批晶体管，已知每只的使用寿命 X 为为 连续型随机变量，其概率密度函数为连续型随机变
7、量，其概率密度函数为( c 为常数为常数)(1) 求常数求常数 c(3) 已知一只收音机上装有已知一只收音机上装有3只这样的晶体管，只这样的晶体管， 每只晶体管能否正常工作相互独立，求在每只晶体管能否正常工作相互独立，求在 使用的最初使用的最初1500小时只有一个损坏的概率小时只有一个损坏的概率.(2) 求求X的分布函数的分布函数F(x)17解解 (1)c = 1000(3)设事件设事件 A 表示一只晶体管的寿命小表示一只晶体管的寿命小1500小时小时设在使用的最初设在使用的最初1500小时三只晶体管中损坏小时三只晶体管中损坏的只数为的只数为 Y(2)18例例2 在高为在高为h 的的 ABC
8、中任取一点中任取一点M ,点点M到到AB 的距离为的距离为X , 求求X 的概率密度函数的概率密度函数 f (x). EFABCh.MXx解解 作作 当当 时时使使EF 与与AB间的距离为间的距离为x19于是于是20求求 （1） F(x). （2）例例3 设设X的概率密度为的概率密度为21=01解解（1）(2)1、 均匀分布均匀分布( a , b)上的均匀分布上的均匀分布 记作记作二、常见的连续型随机变量的分布二、常见的连续型随机变量的分布若若 X 的概率密度为的概率密度为 ，则称，则称 X 服从服从区间区间其中其中X 的分布函数为的分布函数为23xf ( x)abxF( x)ba24即 X
9、的取值在(a,b)内任何长为 d c 的小区间的概率与小区间的位置无关, 只与其长度成正比. 这正是几何概型的情形.252、 指数分布指数分布若若 X 的概率密度为的概率密度为则称则称 X 服从服从 参数为参数为 的指数分布的指数分布记作记作X 的分布函数为的分布函数为 0 为常数为常数261xF( x)0xf ( x)027对于任意的对于任意的 0 a b, 应用场合应用场合用指数分布描述的实例有：用指数分布描述的实例有：随机服务系统中的服务时间随机服务系统中的服务时间电话问题中的通话时间电话问题中的通话时间无线电元件的寿命无线电元件的寿命动物的寿命动物的寿命指数分布常作为各种指数分布常作为
10、各种“寿命寿命”分布的近似分布的近似28若若 X ( ),则则所以，又把指数分布称为所以，又把指数分布称为“永远年轻永远年轻”的分布的分布指数分布的指数分布的“无记忆性无记忆性”事实上事实上29例例4 假定一大型设备在任何长为假定一大型设备在任何长为 t 的时间内发生的时间内发生故障的次数故障的次数 N( t ) 服从参数为服从参数为 t 的的Poisson分布分布,(1) 求相继两次故障的时间间隔求相继两次故障的时间间隔 T 的概率分布的概率分布(2)(2) 求设备已经无故障运行小时的情况下，再求设备已经无故障运行小时的情况下，再(3)无故障运行无故障运行 10 小时的概率小时的概率.解解
11、(1)30即即(2)由指数分布的由指数分布的“无记忆性无记忆性”313、 正态分布正态分布若若X 的概率密度为的概率密度为则称则称 X 服从服从参数为参数为 , 2 的正态分布的正态分布记作记作 X N ( , 2 )为常数，为常数，32N (-3 , 1.2 )33f (x) 的性质的性质：q 图形关于直线图形关于直线 x = 对称：对称： f ( + x) = f ( - x) 在在 x = 时时, f (x) 取得最大值取得最大值在在 x = 时时, 曲线曲线 y = f (x) 在对应的点处有在对应的点处有拐点拐点( , f ( ) ).曲线曲线 y = f (x) 以以x轴为渐近线轴
12、为渐近线曲线曲线 y = f (x) 的图形呈单峰状的图形呈单峰状35q f (x) 的两个参数：的两个参数： 位置参数位置参数即固定即固定 , 对于不同的对于不同的 , 对应的对应的 f (x)的形状不变化，只是位置不同的形状不变化，只是位置不同 形状参数形状参数固定固定 ，对于不同的，对于不同的 ，f ( x) 的形状不同的形状不同.若若 1 2 则则比比x = 2 所对应的拐点更靠近直线所对应的拐点更靠近直线 x = 附近值的概率更大附近值的概率更大. x = 1 所对应的所对应的拐点拐点前者取前者取 36Showfn1,fn3 大大 小小37一种重要的正态分布一种重要的正态分布：N (
13、0,1) 标准正态分布标准正态分布它的分布函数记为它的分布函数记为 (x)，其值有专门的表可查其值有专门的表可查 (x) 是偶函数，其图形关于纵轴对称是偶函数，其图形关于纵轴对称3839-xx40对一般的正态分布对一般的正态分布 ：X N ( , 2) 其分布函数其分布函数作变量代换作变量代换即若即若X N ( , 2) ,则则N(0,1)413 原理原理设设 X N ( , 2), 求求解解在一次试验中在一次试验中, X 落入区间落入区间( - 3 , +3 )的概率为的概率为 0.9974, 而超出此区间的可能性很小而超出此区间的可能性很小由由3 原理知原理知，当当42标准正态分布的标准正
14、态分布的上上 分位数分位数 z 设设 X N (0,1) , 0 1, 称满足称满足的点的点 z 为为X 的的上上 分位数分位数 z 常用的几个数据常用的几个数据43 例例5 公共汽车车门的高度是按男子与车门公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在顶头碰头机会在0.01以下来设计的以下来设计的. .设男子设男子身高身高XN( (170, ,62),),问车门高度应如何确定问车门高度应如何确定? ? 解解: : 设车门高度为设车门高度为h cm, ,按设计要求按设计要求P(X h)0.01或或 P(X h) 0.99，下面我们来求满足上式的最小的下面我们来求满足上式的最小的 h. .看一个应用正态分布的例子看一个应用正态分布的例子:44因为因为XN( (170, ,62),),故故 P(X0.99所以所以 = =2.33, ,即即 h=170+13.98 184设计车门高度为设计车门高度为184厘米时，可使厘米时，可使男子与车门碰头男子与车门碰头机会不超过机会不超过0.01. .P(X h ) 0.99求满足求满足的最小的的最小的 h .45例例6 设设 X N(1,4) , 求求 P 0 X 1.6, P |X| 4解解46例例7 已知已知且且 P 2 X 4 = 0.3,求求 P X 3所以至少要进行所以至少要进行 4 次独立测量才能满足要求次独立测量才能满足要求. 49
