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1、5 5 实数的完备性：实数的完备性： CauchyCauchy收敛定理收敛定理1一、柯西基本列一、柯西基本列定义定义5.15.1或叙述为或叙述为2例例1.1.证明证明：3例例2.2.证明：证明：所以不是基本列所以不是基本列4二、列紧性定理二、列紧性定理定理定理5 5.1.1任意有界数列中必可造出收敛子列任意有界数列中必可造出收敛子列. .证明：证明：（二分法：）（二分法：）5由闭区间套定理和夹逼定理：由闭区间套定理和夹逼定理：6三、柯西收敛准则三、柯西收敛准则定理定理5.25.2：证明证明：7由例由例1 1：由例由例2 2：注：注：CauchyCauchy收敛准则是判断数列收敛的重要方法收敛准
2、则是判断数列收敛的重要方法例例3 3：若数列满足下面情况，判断是否收敛若数列满足下面情况，判断是否收敛8解：(1)(1)不一定不一定，例如例，例如例2 2中中9定义定义6.16.1：（1 1）（2 2）设设是非空有下界集合，是非空有下界集合，四、确界的定义四、确界的定义10定义定义6.26.2：（1 1）（2 2）设设是非空有上界集合是非空有上界集合，11五、确界原理五、确界原理定理定理1:1:非空有上界的数集必有上确界非空有上界的数集必有上确界; ;非空有下界的数集必有下确界非空有下界的数集必有下确界. .证明：12此区间套特点此区间套特点：由区间套定理由区间套定理，13.上界上界14证明：
3、证明：例例4.4.15六、覆盖六、覆盖7/31/202416定理定理1.7.11.7.1则必可从中选出则必可从中选出有限个有限个开区间开区间来覆盖来覆盖证明证明：反证法反证法7/31/2024177/31/202418矛盾！矛盾！7/31/202419单调有单调有界定理界定理确确 界界定定 理理闭区间闭区间套定理套定理有限覆有限覆盖定理盖定理列紧性列紧性定定 理理Cauchy收敛定理收敛定理七、实数系统六定理等价性七、实数系统六定理等价性7/31/202420八、小结八、小结2 2、列紧性定理、列紧性定理3 3、柯西基本定理、柯西基本定理1 1、柯西基本列、柯西基本列4 4、确界原理、确界原理5 5、有限覆盖定理、有限覆盖定理6 6、实数系定理等价性、实数系定理等价性21习题1.51(2),2,3习题1.82(2,3),322
