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1、24.2 24.2 圆的对称性圆的对称性(2)(2) - -垂径定理垂径定理 想一想想一想圆是轴对称图形吗？圆是轴对称图形吗？你是用什么方法解决这个问题的你是用什么方法解决这个问题的? ?圆是轴对称图形圆是轴对称图形. .其对称轴是任意一条过圆心的直线其对称轴是任意一条过圆心的直线. .如果是如果是, ,它的对称轴是什么它的对称轴是什么? ?用折叠的方法即可解决这个问题用折叠的方法即可解决这个问题. .你能找到多少条对称轴你能找到多少条对称轴? ?OAB观察猜想观察猜想. OCDE 操作操作：CD是是0的直径，过直的直径，过直径上任一点径上任一点E作弦作弦AB CD，将，将0沿沿CD对折，比较
2、图中的线对折，比较图中的线段和弧，你有什么发现？段和弧，你有什么发现？猜想猜想：AE=BE, AD=BD,AC=BC 连接连接OA,OB, ,则则OA=OB.证明：证明：已知：已知：CD是是 O的直径，的直径，AB是是 O的弦，的弦， 且且CDAB于于E，求证：求证：AE=BE， AC =BC, AD =BD OABOAB为等腰三角形，为等腰三角形，所以底边所以底边ABAB上的高上的高OEOE所在的直线所在的直线CDCD是是ABAB的垂直平分线，因此点的垂直平分线，因此点A A与点与点B B关于关于直线直线CDCD对称。对称。 Q 同样，如果点同样，如果点P P是是O O上任意一点，上任意一点
3、，过点过点P P作直径作直径CDCD的垂线，与的垂线，与O O交于点交于点Q Q，则点，则点P P与点与点Q Q关于直线关于直线CDCD也对称，所以也对称，所以O O关于直线关于直线CDCD对称，当把圆沿着直线对称，当把圆沿着直线CDCD折叠时，折叠时，CDCD两侧的两个半圆重合，两侧的两个半圆重合，AEAE与与BEBE重合，点重合，点A A与点与点B B重合，重合， AD AD与与 BD,ACBD,AC与与BCBC重合。重合。因此因此，AE=EB,AD=BD,AC=BC 错总结总结：垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
4、平分弦平分弦平分弦所对的优弧平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧直径（或过圆心的直线）直径（或过圆心的直线）垂直于弦垂直于弦判断题：判断题：(1)过圆心的直线平分弦过圆心的直线平分弦(2)垂直于弦的直线平分弦垂直于弦的直线平分弦(3)O中，中，OE 弦弦AB于于E，则则AE=BE oABCDE(1)oABCDE(2)O ABE(3)题设题设结论结论错对BAODCE垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。对的两条弧。垂径定理：垂径定理：CD是直径是直径CDABAE BEACBCADBD几何语言表达：几何语言表达：文字语言表达：文字语言表
5、达：图形语言表达：图形语言表达：例例1、已知：如图在、已知：如图在 O中，弦中，弦AB的长是的长是8cm，圆心，圆心O到到AB的距的距离为离为3cm，求，求 O的半径的半径 oABE解：连结解：连结解：连结解：连结OAOA，作，作，作，作OEOE ABAB于于于于E E，则，则，则，则OE=3cm,AE=BEOE=3cm,AE=BE AB=8cmAB=8cm AE=4cmAE=4cm在在在在RtRt AOEAOE中有中有中有中有OA=OA= = = =5cm =5cm OO的半径为的半径为的半径为的半径为5cm5cm这里圆心这里圆心O到弦到弦的距离叫做的距离叫做弦心距弦心距弦心距弦心距1.在在
6、 O中，若中，若CD AB于于M，AB为直为直径，则下列结论不正确的是（径，则下列结论不正确的是（ ）2.已知已知 O的直径的直径AB=10，弦，弦CD AB，垂，垂足为足为M，OM=3，则，则CD= .3.在在 O中，中，CD AB于于M，AB为直径，若为直径，若CD=10，AM=1，则，则 O的半径是的半径是 . OCDABMC A、AC=AD B、BC=BD C、AM=OM D、CM=DM813注意：注意：解决有关弦的问题时解决有关弦的问题时,半径是常用的一种半径是常用的一种辅助线的添法构造半径、半弦、弦心距组成辅助线的添法构造半径、半弦、弦心距组成直角三角形，结合勾股定理解题。直角三角
7、形，结合勾股定理解题。1 1 1 1、本节课主要学习了：、本节课主要学习了：、本节课主要学习了：、本节课主要学习了：(1)(1)(1)(1)圆的轴对称性；圆的轴对称性；圆的轴对称性；圆的轴对称性； (2)(2)(2)(2)垂径定理。垂径定理。垂径定理。垂径定理。2 2 2 2、有关弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非、有关弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非、有关弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非、有关弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非 常重要的辅助线常重要的辅助线常重要的辅助线常重要的辅助线. . . .圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三
8、角形，圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，便将问题转化为解直角三角形的问题便将问题转化为解直角三角形的问题便将问题转化为解直角三角形的问题便将问题转化为解直角三角形的问题. . . .3 3 3 3、垂径定理的证明，是通过、垂径定理的证明，是通过、垂径定理的证明，是通过、垂径定理的证明，是通过“ “操作操作操作操作观察观察观察观察猜想猜想猜想猜想证证证证明明明明” ” 实现的，体现了实践的观点、运动变化的观点和先猜想后实现的，体现了实践的观点、运动变化的观点和先猜想后实现的，体现了实践的观点、运动变化的观点和先猜想后实现的，体现了实践的观点、运动变化的观点和先猜想后 证明的观点，定理的引入还应用了从特殊到一般的思想。证明的观点，定理的引入还应用了从特殊到一般的思想。证明的观点，定理的引入还应用了从特殊到一般的思想。证明的观点，定理的引入还应用了从特殊到一般的思想。
