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1、混沌动力学初步混沌动力学初步郑志刚，北京师范大学2013-09，玉溪师范学院“道生一，一生二，二生三，三生万物” -道德经复杂性物理专题：第二讲圣经。创世在宇宙天地尚未形成之前，黑暗笼罩着无边无际的空虚混沌上帝用七天创造了天地万物。第一日，上帝说：要有光！便有了光。上帝将光与暗分开，称光为昼，称暗为夜。于是有了晚上，有了早晨。第二日，上帝说：诸水之向要有空气隔开。上帝便造了空气，称它为天。第三日，上帝说：普天之下的水要聚在一处，使旱地露出来。水和旱地便分开-大陆，海洋-青草，蔬菜，结果子的树第四日，上帝说：“天上要有光体”日月星辰。第五日，上帝说，水要多多滋生有生命之物，要有雀鸟在地面天空中飞
2、翔。水中生命，飞鸟，第六日，上帝说：地要生出活物来；牲畜、昆虫、野兽各从其类。我要照着我的形象，按着我的样式造人，派他们管理海里的鱼、空中的鸟、地上的牲畜和地上爬行的一切昆虫。上帝就照着自己的形象创造了人。第七日，天地万物都造齐了，上帝完成了创世之功。在这一天里，他歇息了，并赐福给第六天，圣化那一天为特别的日子，因为他在那一天完成了创造，歇工休息。星期日也成为人类休息的日子。提纲提纲一、描述系统的基本概念一、描述系统的基本概念二、非线性动力学方程的典型解二、非线性动力学方程的典型解三、解的稳定性三、解的稳定性四、解的失稳与转变：分岔四、解的失稳与转变：分岔五、虫口模型：五、虫口模型：Logis
3、tic映象映象六、混沌行为的时间特征刻画六、混沌行为的时间特征刻画七、走向混沌七、走向混沌要有光！一、描述系统的基本概念描述系统的基本概念n要完整描述一个系统，需要两个元素：要完整描述一个系统，需要两个元素：n存在（状态）存在（状态）n变化规律（演化）变化规律（演化）n状态变量状态变量：完整描述系统的状态的所有的量完整描述系统的状态的所有的量n状态变量是随时间变化的，知道了任意时刻系状态变量是随时间变化的，知道了任意时刻系统的状态，我们就知道了系统的完整信息统的状态，我们就知道了系统的完整信息n系统任意一个状态变量的变化通常与其他变量系统任意一个状态变量的变化通常与其他变量有密切依赖关系有密切
4、依赖关系n如何实现上述描述的数学化？如何实现上述描述的数学化？建立状态的描述空间建立状态的描述空间-相空间相空间系统的任一状态都是相空间的一个系统的任一状态都是相空间的一个点点，反之未必；，反之未必；系统状态发生变化系统状态发生变化-在相空间中的系统容许点在相空间中的系统容许点之间的之间的跃迁跃迁系统状态的变化（系统状态的变化（演化演化）-轨道轨道-动力学动力学动力（学）系统动力（学）系统：A dynamic(al) system may be defined as a deterministic mathematical prescription for evolving the state
5、 of a system forward in time. 定义定义N维空间矢量函数（矢量）动力学由一组微分方程给出动力学由一组微分方程给出:轨道（轨道（orbit，trajectory），流），流自治系统自治系统: 动力学方程可以写成右边不显含时间动力学方程可以写成右边不显含时间的一阶微分方程组的一阶微分方程组非自治系统非自治系统：若右边显含时间：若右边显含时间(例：受驱系统例：受驱系统)在很多情况下，非自治系统可以由引入新的变在很多情况下，非自治系统可以由引入新的变量量(增加相空间维数增加相空间维数)而变为自治系统而变为自治系统离散时间动力系统离散时间动力系统 （映射（映射/映像，映像，m
6、ap/mapping)演化（轨道）：演化（轨道）：提示：提示：N维的连续时间系统通常可以通过维的连续时间系统通常可以通过Poincare截面的方法约化为截面的方法约化为N-1维离散时间映维离散时间映射系统射系统混沌：何时会出现？混沌：何时会出现？系统相空间维数系统相空间维数N需要多大？需要多大？从动力系统演化方程来看，出现混沌运动需要满从动力系统演化方程来看，出现混沌运动需要满足一定的条件。足一定的条件。微分自治系统：微分自治系统：相空间维数相空间维数 N2映射系统：映射系统：取决于映射是否可逆取决于映射是否可逆可逆映射：可逆映射：不可逆映射：不可逆映射：N=1就可能出现混沌！就可能出现混沌！
7、最终是否出现还取决于系统的非线性。最终是否出现还取决于系统的非线性。Duffing（达芬，杜芬）振子：（达芬，杜芬）振子：软弹簧Duffing振子：硬弹簧Duffing振子：Van de Pol振子：振子：LC回路电子管振荡器（回路电子管振荡器（Van de Pol, 1928)回路固有频率可变阻尼：Lorenz模型模型Rossler模型模型 （Rossler，1976）要有空气！要有空气！二、非线性动力学方程的典型解二、非线性动力学方程的典型解非线性动力学方程的解：给定初始条件非线性动力学方程的解：给定初始条件X(0)，按，按照动力学方程演化即可得到方程的解照动力学方程演化即可得到方程的解相
8、空间的轨道就是方程的解的形象展示相空间的轨道就是方程的解的形象展示这样的解对于非线性情况通常难以解析得到这样的解对于非线性情况通常难以解析得到另外，这样的解通常也不是解析分析所需要的另外，这样的解通常也不是解析分析所需要的我们通常所需要的：我们通常所需要的：长时间之后系统的解长时间之后系统的解-渐近解渐近解（暂态暂态有时很重有时很重要，但多数时候需要略去）要，但多数时候需要略去）系统不随时间变化的解系统不随时间变化的解-定态解定态解相对比较相对比较规则的解规则的解-周期解（有时不尽然，混沌）周期解（有时不尽然，混沌）定态解所有状态变量对时间的导数都等于所有状态变量对时间的导数都等于0的状态的状
9、态定态（定态（steady state）在相空间对应的代表点称在相空间对应的代表点称为为定点、不动点（定点、不动点（fixed point）、平稳点）、平稳点（stationary point）相空间的不动点处轨道无确定斜率相空间的不动点处轨道无确定斜率故不动点亦称为故不动点亦称为奇点（奇点（singular point）或或临界临界点（点（critical point）周期解周期振荡：状态周而复始的变化周期振荡：状态周而复始的变化在相空间为围绕某一不稳定奇点的闭合曲线在相空间为围绕某一不稳定奇点的闭合曲线准周期解（quasiperiodic）准周期准周期-拟周期拟周期：规则的非周期解：规则的
10、非周期解与周期解不同，系统存在多个不同频率，频率与周期解不同，系统存在多个不同频率，频率之间相互之间相互不公度不公度（比值为无理数！）（比值为无理数！）多个公度频率情况仍然为周期解，频率之间存多个公度频率情况仍然为周期解，频率之间存在锁频在锁频混沌解不规则的非周期解不规则的非周期解-具有一定随机性具有一定随机性无法写出解析表达式无法写出解析表达式我们讨论的焦点我们讨论的焦点洛伦兹方程洛伦兹方程要有陆地！要有陆地！三、解的稳定性三、解的稳定性p非线性系统状态的稳定性有不同表述非线性系统状态的稳定性有不同表述p稳定性随系统性质（一般是整体或拓扑性质）或稳定性随系统性质（一般是整体或拓扑性质）或参数
11、（具有的特征解及其数目）不同而不同参数（具有的特征解及其数目）不同而不同p经常存在多稳特征，不同的稳定解在相空间形成经常存在多稳特征，不同的稳定解在相空间形成各自的各自的吸引域（吸引域（basins of attraction）p如何考察稳定性？如何考察稳定性？p对状态施以扰动，分析扰动对时间的变化对状态施以扰动，分析扰动对时间的变化p考察系统的拓扑性质（考察系统的拓扑性质（potential），了解全貌），了解全貌pLyapunov稳定性，渐近稳定性稳定性，渐近稳定性p线性稳定性分析考虑动力系统考虑动力系统存在一个解存在一个解 ，该解称为，该解称为参考态（解）参考态（解）在在t=0t=0时考
12、虑参考态附近的初始条件时考虑参考态附近的初始条件分析初始的小偏离随时间的演化：分析初始的小偏离随时间的演化：线性线性稳定性分析与不动点分类稳定性分析与不动点分类在参考态附近进行在参考态附近进行Taylor展开展开参考态是方程的解，红色部分抵消，略去高阶参考态是方程的解，红色部分抵消，略去高阶项项写成矢量形式写成矢量形式Jacobi矩阵矩阵n矩阵元矩阵元至此我们得到了非线性方程在参考态邻域的线性化至此我们得到了非线性方程在参考态邻域的线性化方程方程上述方程对于不同参考态形式一样，但上述方程对于不同参考态形式一样，但Jacobi矩矩阵阵A的值不同的值不同线性化方程很容易求解线性化方程很容易求解将基
13、本解带入方程得到齐次方程将基本解带入方程得到齐次方程该方程有该方程有非平凡解（非平凡解（nontrivial）的条件是的条件是久期方程久期方程：即特征值的一元即特征值的一元N次方程次方程基本解基本解扰动演化的通解可以表示为扰动演化的通解可以表示为其中系数可以由初始条件决定。其中系数可以由初始条件决定。参考态的稳定性取决于扰动是否随时间收敛，参考态的稳定性取决于扰动是否随时间收敛，即取决于上式的指数部分是否衰减，即即取决于上式的指数部分是否衰减，即Jacobi矩阵本征值（实部）是否小于矩阵本征值（实部）是否小于0因此，稳定性要求对于所有本征值因此，稳定性要求对于所有本征值本征值可能为正，也可能为
14、负本征值可能为实，也可能为复本征值会随着系统参数变化而变化故而系统解的稳定性也会变化（存在，不见得稳定！）临界点：系统从稳定定态到不稳定定态的转变点至少有一个本征值实部为零的点临界点的数值，线性化矩阵的值十分重要要有光体！要有光体！四、解的失稳与转变：分岔四、解的失稳与转变：分岔p非线性系统可以具有不同的解（长时解）非线性系统可以具有不同的解（长时解）p不同的解对同一参数的稳定性是不同的，随着参数不同的解对同一参数的稳定性是不同的，随着参数变化，有的解会由稳定变为不稳定，有的解会由不变化，有的解会由稳定变为不稳定，有的解会由不稳定变稳定，有的解会随参数变化出现（或消失）稳定变稳定，有的解会随参
15、数变化出现（或消失）p动力系统在系统参数变化时发生的解的失稳与转变：动力系统在系统参数变化时发生的解的失稳与转变：数学上称为数学上称为分岔（分岔（bifurcation，分叉，分歧），分叉，分歧），物理上称为物理上称为相变（相变（phase transition），突变），突变。分岔点（相变点，岐点）称为分岔点（相变点，岐点）称为临界点（临界点（critical point）。p分岔也意味着系统相空间拓扑性质发生突变，意味分岔也意味着系统相空间拓扑性质发生突变，意味着系统的着系统的结构稳定性（结构稳定性（structural stability）发发生变化（结构不稳定）。生变化（结构不稳定）。
16、p分岔发生的变化：解的类型，解的数目，性质等。分岔发生的变化：解的类型，解的数目，性质等。鞍鞍-结分岔（结分岔（saddle-node bifurcation，或切，或切分岔，分岔，tangent bifurcation，折叠分岔），折叠分岔）特征方程：特征方程：临界点：临界点： 时，系统无定态解；时，系统无定态解； 时，系统有两个实根：时，系统有两个实根：稳定：稳定：不稳定：不稳定：跨临界分岔（跨临界分岔（transcritical bifurcation）特征方程：特征方程：临界点：临界点： ： 解稳定解稳定 ： 解稳定。解稳定。临界点两边都有两支解，临界点两边都有两支解， 但稳定性交换（
17、都是鞍结点）但稳定性交换（都是鞍结点）叉式分岔（叉式分岔（pitchfork bifurcation）特征方程：特征方程：临界点：临界点： ： 解稳定解稳定 ： 两支解（对称）稳定。两支解（对称）稳定。叉式分岔是一种超叉式分岔是一种超临界分岔！临界分岔！反（逆）叉式分岔（反（逆）叉式分岔（inversed pitchfork）特征方程：特征方程：临界点：临界点： ： 一支解，不稳定！一支解，不稳定！ ： 两支解（对称），不稳定！两支解（对称），不稳定！ 解，不稳定！解，不稳定！ 反叉式分岔是亚临界分岔反叉式分岔是亚临界分岔！Hopf分岔分岔这是一类不同于静态分岔的突变，它是当系统这是一类不同于
18、静态分岔的突变，它是当系统参数变化时系统原有的定态失稳而产生出时间参数变化时系统原有的定态失稳而产生出时间周期变化的解（振荡解）周期变化的解（振荡解）-极限环极限环产生极限环的动力系统须至少为二维自治动力产生极限环的动力系统须至少为二维自治动力系统系统考虑如下动力系统考虑如下动力系统引入极坐标引入极坐标代入动力学方程代入动力学方程该方程径向与切向该方程径向与切向 独立演化，故可分别分析独立演化，故可分别分析切向：相位以单位速度匀速旋转切向：相位以单位速度匀速旋转径向：即前面分析的叉式分岔方程，但要求非负，径向：即前面分析的叉式分岔方程，但要求非负， 故没有负分支故没有负分支在在 空间可以看得更
19、形象空间可以看得更形象要有生命！要有生命！五、虫五、虫口模型：口模型：LogisticLogistic映象映象描述描述昆虫数目的世代昆虫数目的世代变化：非线性映射变化：非线性映射 b b为以单位虫口食量计算的食品总量为以单位虫口食量计算的食品总量 . .经适当变换，即经适当变换，即 上式写成上式写成 LogisticLogistic方程的解：图上作业法方程的解：图上作业法（cobwebcobweb）n (a=2)0 0.11 0.182 0.29523 0.416113924 0.4859262515 0.4996038596 0.4999996867 0.58 0.5xnxn+111x0x1
20、x1x0（不动点或周期不动点或周期1）虫口维持到环境允许的一定数目上xnXn+111x0x1x1（a=3.2a=3.2）x2x2x3x30.513044510.799455492点周期解 周期周期2T=4T=4的周期跳动（的周期跳动（a=3.5 a=3.5 ）稳定的周期四解当anaan+1时，多次迭代就进入2n点周期其中 a1=3 a2=3.44949 a3=3.54 a=3.57 稳定的周期 解无穷长周期，混沌解倍周期分岔倍周期分岔 简单的非线性导致极为简单的非线性导致极为复杂和丰富的内容复杂和丰富的内容 40一棵树的倍周期分岔：一棵树的倍周期分岔：周期周期三窗口附近的切分叉三窗口附近的切分
21、叉 在混沌区中有许多周期窗口，如图的周期三窗口，在窗口内有： 或写成阵发混沌阵发混沌(切分叉切分叉)42参数空间分岔的自相似行为参数空间分岔的自相似行为特点总结特点总结周期p轨道准周期轨道随机轨道、混沌轨道周期窗口暗线激变(crisis)不动点(周期1)及其稳定性分析LogisticFixed PointPerturbationStabilityCritical point周期2分析Period 2：LogisticPeriod 1：Natural SolutionsBut-unstable!StabilityThe same stability!利用上述链式法则，可讨论任意周期p轨道及其稳定
22、性，并可确定所以的稳定区及其临界点把所有这些稳定区连接起来倍周期分岔！参数空间分岔的自相似行为倍周期倍周期分岔分岔的的普适普适常数与常数与重整化重整化群群 两个普适常数(Feigenbaum常数)：这些精密的相似比率和对大量耗散系统倍周期分岔都是普适的，在一系列非线性物理系统的实验（流体力学，非线性电路，非线性振动等）中都得到了完全一致的数值非线性中也有普适性！(a) 周期一 (b) 周期二(c) 周期四在三个图中，后一个图的中部框放大 倍上下颠倒一下可近似得到前一个图，放大比率问题：是否有极限存在，极限是什么？FeigenbaumFeigenbaum第一常数：第一常数： 为有限值。考察相邻的
23、间隔： FeigenbaumFeigenbaum第二常数：第二常数：分岔临界点分岔临界点Feigenbaum等研究倍周期分岔过程的贡献：（1）发现了刻划标度性质的普适常数 和（2）引用相变和临界现象理论中的重正化群思想，给出了决定这些普适常数的方程。重正化群方法可以应用于研究在尺度变换下不变的系统。尺度变换下的不变性，通常意味着系统中存在某种分形几何结构，而重正化群方程提供建立在这种分形结构上的分析工具。要有人！要有人！六、混沌行为的时间特征刻画六、混沌行为的时间特征刻画混沌的时间行为: 时间序列的随机性 功率谱: 扩展的分布 关联函数: 指数衰减 李雅普诺夫指数: 正 Kolmogorov-
24、Sinai（KS）熵: 正561. Poincar截面截面考虑微分动力系统对于N维系统的一条连续轨道，取N-1维超曲面F(x)=0轨道从某一固定方向穿过曲面F(x)=0的点 57p周期运动：有限个交点p准周期：光滑环面p混沌运动: 散乱无规的映象点(scattering points) Henon-Heile系统的Poincar映象平面 58Lorenz方程混沌轨道自上而下穿过z=0平面的Poincar映象是不是跟是不是跟Logistic映射有点像？映射有点像？-单峰映射，单峰映射，表现出类似的表现出类似的行为行为2. 关联函数与功率谱时间序列u(t)的自关联函数:若u(t)是规则的, 自关联
25、函数会保持不变或无衰减地振荡; 若u(t)是混沌的, C( )就随 迅速衰减 (几乎以指数形式)。功率谱功率谱(power spectrum): 对时间序列 , 可对其进行傅立叶变换计算功率谱：如果u(t)是周期的, 其功率谱只有有限的分立的尖峰; 若u(t)是准周期的, 其功率谱存在若干个相互不公度的频率, 且频谱分布密集但较规则; 当u(t)是混沌的, P()将表现出宽带分布, 即会在 的一个范围内整体有一个分布 (类似于噪声谱)。倍周期分岔的相图与功率谱倍周期分岔的相图与功率谱Rayleigh-Bernard对流：对流：在临在临界点上下的层流到湍流的转变。界点上下的层流到湍流的转变。Po
26、wer spectra for a Couette-Taylor experiment with increasing rotation rate of the inner cylinders (Gollub and Swinney, 1975). 633. Lyapunov指数指数上面的稳定性可以用线性稳定性分析来得到，那里得到的是线性情况下的Lyapunov指数，反映的是状态稳定性的特征指数。(a)单摆朝下，定态稳定 (b) 单摆朝上 ，定态不稳定 “失之毫厘，差之千里” ， 相空间的个别点附近混沌运动状态时，初值敏感行为存在于整个轨道运行中两轨道的初始相邻在t0，轨道之间距离指数变化 值
27、与轨道的初值 无关 是系统在相应相空间区域运动的最大Lyapunov指数正的最大Lyapunov指数，对应运动轨道具有指数型的初值敏感性，即混沌运动 Lyapunov指数谱指数谱最大李指数说明混沌运动的初值敏感程度N维相空间的动力系统在N个不同方向上有不同的膨胀和收缩，可用N个李指数来全面刻画，这N个李指数的集合叫做李指数谱 计算一系列重要的特征量时许多非最大的李指数，特别是所有的正李指数都起重要作用 高维相空间中吸引子的类型和维数利用李雅普诺夫指数谱随系统参数的变化, 还可确认系统的分岔行为。D=3倍周期分岔在指数倍周期分岔在指数谱的变化上就表现谱的变化上就表现为系统的第二个指为系统的第二个
28、指数不断由负值碰零数不断由负值碰零再变为负。再变为负。举例：一维映射的举例：一维映射的Lyapunov指数指数要有休息日！要有休息日！七、走向混沌七、走向混沌对应于不同的分岔方式对应于不同的分岔方式倍周期分岔倍周期分岔(Feigenbaum(Feigenbaum道路道路): ): 叉式分岔叉式分岔 阵发通向混沌的道路阵发通向混沌的道路: : 切分岔切分岔 准周期到混沌的道路准周期到混沌的道路: : 霍普夫分霍普夫分岔岔1.倍周期分岔道路：Feigenbaum道路 pitch-fork分岔 Grossman&Thomae(1977)Feigenbaum(1978)Coullet&Tressler
29、(1976)周期1周期2周期4.周期2n混沌模型: Logistic map xn+1 = rxn(1 xn)有非常多的实验普适性, 普适常数2. 阵发：Pomeau-Manneville道路Pomeau&Manneville (1979)现象: rrc, 层流相+爆发实验: Rayleigh-Bernard对流 Taylor-Couette对流, 3. 准周期：Ruelle-Takens-Newhouse道路湍流与Hopf分岔有密切关系: 新的频率产生Landau(1944): 无穷的Hopf失稳: 周期准周期高维准周期.湍流与实验不符合: 仅仅两次Hopf分岔Ruelle&Takens(1
30、977)三个非公度频率Ruelle, Takens& Newhouse (1978) 两个非公度频率Dubois&Berge(1982): Benard convectionSwinney&Gollub (1975): Taylor不稳定性How to chaos?Landau道路圆映射周期驱动的转子系统: 圆映射转数(winding number)锁模: 相图相图: Arnold: Arnold舌头舌头( (有理数有理数m/n): 0/1, 1/1, m/n): 0/1, 1/1, 1/2, 1/2, K K增加增加, , 长出舌头，舌头之间是准周期运动长出舌头，舌头之间是准周期运动当当K1K1时时, , 映象不可逆映象不可逆, , 舌头交叉舌头交叉, , 混沌运动混沌运动. .魔鬼阶梯(devil staircases)共振台阶图利用Farey树构造Arnold舌头A video of Chaos: BBC.The.Secret.Life.of.Chaos (2009)My permanent address: Department of Physics Beijing Normal University Beijing 100875, CHINA Email: Tel./Fax: 86-10-5880-5147
