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1、第第1 1课时课时推理与证明推理与证明知识网络要点梳理答案:归纳推理从特殊到特殊从结论出发寻找结论成立的充分条件反证法与正整数n有关的命题知识网络要点梳理1.归纳推理与数学归纳法.归纳推理是一种合情推理,但“合情”不一定“合理”,其正确性都有待于严格证明,尽管如此,由归纳推理建立的“猜想”在探究新知识方面有着极其重要的作用.若是与自然数有关的“猜想”往往可以用数学归纳法来证明.2.直接证明与间接证明.综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法,但两种证明方法的思路截然相反,分析法既可用于寻找解题思路,也可以是完整的证明过程,分析法和综合法可相互转换,相互渗透,在解题中综合法和分析法联合运
2、用,可转换解题思路,增加解题途径.反证法是一种间接证明的方法,它从命题结论的反面出发引出矛盾,从而肯定命题的结论.知识网络要点梳理思考辨析判断以下说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.(1)在归纳推理的过程中,前提真而结论假的情况有可能发生. ()(2)合情推理包括归纳推理和类比推理. ()(3)综合法与分析法都是直接证明的方法. ()(4)“正难则反”的思想与反证法原理相同. ()专题归纳高考体验专题一归纳推理与类比推理 上不等式的规律,请写出一个对正实数m,n都成立的条件不等式.解析:观察所给不等式可以发现:不等号左边两个根式的被开方专题归纳高考体验【例2】对于问题:“已
3、知关于x的不等式ax2+bx+c0的解集为(-1,2),解关于x的不等式ax2-bx+c0”给出如下一种解法:解:由ax2+bx+c0的解集为(-1,2),得a(-x)2+b(-x)+c0的解集为(-2,1),即关于x的不等式ax2-bx+c0的解集为(-2,1).答案:(-3,-1)(1,2) 专题归纳高考体验反思感悟归纳推理的一般步骤为首先通过观察个别情况发现某些相同特征,然后从相同特征中推出一个明确表述的一般性结论.类比推理的一般步骤是先找出两类事物之间的相似性或一致性,再用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得到一个明确的命题.专题归纳高考体验变式训练变式训练1观察下列各式:a+b=
4、1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,则a10+b10=()A.28 B.76C.123 D.199解析:1+3=4,3+4=7,4+7=11,7+11=18,11+18=29,47+76=123,可得a10+b10=123.答案:C专题归纳高考体验专题二综合法和分析法 专题归纳高考体验【例4】已知x,y0,x+y=1,试用分析法证明log2(x2y2+1)-log2x-log2ylog217-2.证明:x,y0,欲证log2(x2y2+1)-log2x-log2ylog217-2,式成立,这就证明了log2(x2y2+1)-log2x-log2ylog217-
5、2成立.专题归纳高考体验反思感悟综合法与分析法是直接证明中最基本的两种证明方法,是解决数学问题的常用方法,也是两种思路相反的推理方法.分析法是执果索因,而综合法是由因导果,两者各有优缺点.分析法容易探路,且探路与表述合一,缺点是表述易错;综合法条理清晰,易于表述,因而对于难题常把二者结合,互补优缺,形成分析综合法.专题归纳高考体验变式训练变式训练2设a0,b0,a+b=1,求证: 8,试用分析法和综合法分别证明.证明:(方法一:综合法)a0,b0,a+b=1,专题归纳高考体验(方法二:分析法)a0,b0,a+b=1,由基本不等式可知,当a0,b0时, 2成立,(当且仅当a=b时等号成立)所以原
6、不等式成立.专题归纳高考体验专题三反证法【例5】如图,已知两直线lm=O,l,m,l,m,=a,求证:l与m中至少有一条与平面相交.分析:结论中以“至少”形式出现,直接证明较困难,可考虑用反证法.证明:假设l,m都不与平面相交,它们都不在平面内,l,且m.又l,m,=a,la,ma.lm.这与已知l,m是相交直线矛盾,因此,l与m中至少有一条与平面相交.专题归纳高考体验反思感悟反证法是高中数学的一种重要的证明方法,在不等式和立体几何的证明中经常用到,在高考题中也经常出现,它所反映出的“正难则反”的解决问题的思想方法更为重要.反证法主要证明否定性、唯一性命题,至多、至少型问题,几何问题.专题归纳
7、高考体验证明:假设a,b,c都不小于零,则a+b+c0.=-(x-2)2+(y-2)2+(z-2)2-4+120.因为-(x-2)2+(y-2)2+(z-2)20,所以-4+120,即412,这与基本事实412矛盾.故a,b,c中至少有一个小于零.专题归纳高考体验专题四数学归纳法 专题归纳高考体验反思感悟数学归纳法是一种直接证明的方法,主要用来证明与正整数n有关的命题.证明时先证n取第一个值n0时命题成立,然后假设n=k(kn0,kN+)时命题成立,证明n=k+1时命题也成立即可.用数学归纳法证明时,要注意几个方面:(1)n的范围以及递推的起点;(2)从f(k+1)和f(k)的差异,寻找由k到
8、k+1的递推中,左边要加(乘)上的式子;(3)在归纳递推中,一定要运用归纳假设;(4)注意“归纳猜想证明”的思维模式的应用.专题归纳高考体验考点一:合情推理1.(2017全国高考)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩,看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则()A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩解析:因为甲不知道自己的成绩,所以乙、丙的成绩是一位优秀一位良好.又因为乙知道丙的成绩,所以乙知道自己的成
9、绩.又因为乙、丙的成绩是一位优秀一位良好,所以甲、丁的成绩也是一位优秀一位良好.又因为丁知道甲的成绩,所以丁也知道自己的成绩,故选D.答案:D专题归纳高考体验2.(2016全国丙高考)定义“规范01数列”an如下:an共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意k2m,a1,a2,ak中0的个数不少于1的个数.若m=4,则不同的“规范01数列”共有()A.18个 B.16个C.14个D.12个专题归纳高考体验解析:由题意知a1=0,a8=1,则满足题意的a1,a2,a8的可能取值如下:综上可知,不同的“规范01数列”共有14个.答案:C 专题归纳高考体验3.(2016全国甲高考)如图,小明从街
10、道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A.24B.18C.12 D.9解析:由题意知,小明从街道的E处出发到F处的最短路径有6条,再从F处到G处的最短路径有3条,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为63=18,故选B.答案:B专题归纳高考体验4.(2016山东高考)观察下列等式: 专题归纳高考体验解析:由等式可知,等式右边共三个数相乘,第一个数都是 ;而所给等式就是第n个式子,显然第2个数与该等式所在行数相同,故第2个数为n;第三个数比第2个数大1,所以第3个数为n+1.所以第n个式子等号右边为 n(n+1)
11、.专题归纳高考体验5.(2016北京高考)袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则()A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C.乙盒中红球不多于丙盒中红球D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多专题归纳高考体验解析:若乙盒中放入的是红球,则须保证抽到的两个均是红球;若乙盒中放入的是黑球,则须保证抽到的两个球是一红一黑,且红球放入甲盒;若丙盒中放入的是红球,则须保证抽到的两个球是一红一黑,且黑球放入甲盒;若丙盒
12、中放入的是黑球,则须保证抽到的两个球都是黑球;又由于袋中有偶数个球,且红球、黑球各占一半,则每次从袋中任取两个球,抽到两个红球的次数与抽到两个黑球的次数一定是相等的,故乙盒中红球与丙盒中黑球一样多,选B.答案:B专题归纳高考体验6.(2016全国甲高考)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是.解析:由丙说的话可知,丙的卡片上的数字可能是“1和2”或“1和3”.若丙的卡片上的数字是“1和2”,
13、则由乙说的话可知,乙的卡片上的数字是“2和3”,甲的卡片上的数字是“1和3”,此时与甲说的话一致;若丙的卡片上的数字是“1和3”,则由乙说的话可知,乙的卡片上的数字是“2和3”,甲的卡片上的数字是“1和2”,此时与甲说的话矛盾.综上可知,甲的卡片上的数字是“1和3”.答案:1和3专题归纳高考体验考点二:分析法、综合法、反证法7.(2016北京高考)某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩,其中有三个数据模糊.专题归纳高考体验在这10名学生中,进入立定跳远决赛的有8人,同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人,则()A.2号学生进入30
14、秒跳绳决赛B.5号学生进入30秒跳绳决赛C.8号学生进入30秒跳绳决赛D.9号学生进入30秒跳绳决赛解析:将30秒跳绳成绩确定的学生,按其成绩从大到小,把他们的序号排列为3,6,7,10,1与5并列,4;由题意可知3,6,7号同时进入立定跳远和30秒跳绳的决赛.假设5号学生没有进入30秒跳绳决赛,则1号和4号学生也没有进入30秒跳绳决赛.这与“同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人”矛盾.故5号学生进入30秒跳绳决赛,故选B.答案:B专题归纳高考体验8.(2015浙江高考)设实数a,b,t满足|a+1|=|sin b|=t. ()A.若t确定,则b2唯一确定B.若t确定,则a2+2a唯一
15、确定C.若t确定,则sin 唯一确定D.若t确定,则a2+a唯一确定解析:当t=0时,sin b=0,b=k,kZ,所以b2不确定,故A错; 当t=2时,|a+1|=2,解得a=1或a=-3,所以a2+a=2或a2+a=6,故D错;因为|a+1|=t,所以a2+2a=t2-1;当t确定时,t2-1唯一确定,即a2+2a唯一确定,故B正确.答案:B 专题归纳高考体验9.(2015福建高考)一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2xn(nN+),其中xk(k=1,2,n)称为第k位码元.二元码是通信中常用的码,但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1,或者由1变为0).已知某种二元码x1
16、x2x7的码元满足如下校验方程为:0 0=0,0 1=1,1 0=1,1 1=0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101,那么利用上述校验方程组可判定k等于.专题归纳高考体验解析:若1k3,则x4=1,x5=1,x6=0,x7=1,不满足x4 x5 x6 x7=0;若k=4,则二元码为1100101,不满足x1 x3 x5 x7=0;若k=5,则二元码为1101001,满足方程组,故k=5.答案:5专题归纳高考体验10.(2016天津高考)已知an是各项均为正数的等差数列,公差为d.对任意的nN+,bn是an和an+1的等比中项.专题归纳高考体验考点三:数
17、学归纳法11.(2015江苏高考)已知集合X=1,2,3,Yn=1,2,3,n(nN+),设Sn=(a,b)|a整除b或b整除a,aX,bYn.令f(n)表示集合Sn所含元素的个数.(1)写出f(6)的值;(2)当n6时,写出f(n)的表达式,并用数学归纳法证明.专题归纳高考体验解:(1)f(6)=13.下面用数学归纳法证明: 专题归纳高考体验假设n=k(k6)时结论成立,那么n=k+1时,Sk+1在Sk的基础上新增加的元素在(1,k+1),(2,k+1),(3,k+1)中产生,分以下情形讨论:1)若k+1=6t,则k=6(t-1)+5,此时有专题归纳高考体验专题归纳高考体验专题归纳高考体验1
18、2.(2015北京高考)已知数列an满足:a1N+,a136,且 (1)若a1=6,写出集合M的所有元素;(2)若集合M存在一个元素是3的倍数,证明:M的所有元素都是3的倍数;(3)求集合M的元素个数的最大值.专题归纳高考体验解:(1)6,12,24.(2)因为集合M存在一个元素是3的倍数,所以不妨设ak是3的倍数.如果k=1,则M的所有元素都是3的倍数.如果k1,因为ak=2ak-1或ak=2ak-1-36,所以2ak-1是3的倍数,于是ak-1是3的倍数.类似可得,ak-2,a1都是3的倍数,从而对任意n1,an是3的倍数,因此M的所有元素都是3的倍数.综上,若集合M存在一个元素是3的倍数
19、,则M的所有元素都是3的倍数.专题归纳高考体验所以a2是2的倍数.从而当n3时,an是4的倍数.如果a1是3的倍数,由(2)知对所有正整数n,an是3的倍数.因此当n3时,an12,24,36.这时M的元素个数不超过5.如果a1不是3的倍数,由(2)知对所有正整数n,an不是3的倍数.因此当n3时,an4,8,16,20,28,32.这时M的元素个数不超过8.当a1=1时,M=1,2,4,8,16,20,28,32有8个元素.综上可知,集合M的元素个数的最大值为8.专题归纳高考体验(1)若b=1,求a2,a3及数列an的通项公式;(2)若b=-1,问:是否存在实数c使得a2ncf(a2k+1)
20、f(1)=a2,即1ca2k+2a2.再由f(x)在(-,1上为减函数得c=f(c)f(a2k+2)f(a2)=a31.故ca2k+31,因此a2(k+1)ca2(k+1)+11.这就是说,当n=k+1时结论成立.专题归纳高考体验则an+1=f(an).先证:0an1(nN+).当n=1时,结论明显成立.假设n=k时结论成立,即0ak1.易知f(x)在(-,1上为减函数,即0ak+11,这就是说,当n=k+1时结论成立.故成立.再证:a2na2n+1(nN+).专题归纳高考体验假设n=k时,结论成立,即a2kf(a2k+1)=a2k+2,a2(k+1)=f(a2k+1)f(a2k+2)=a2(k+1)+1.这就是说,当n=k+1时成立.所以对一切nN+成立.专题归纳高考体验
