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1、概率论与数理统计 7/30/20241 概 率 论2第三章 多维随机变量及其分布关键词：二维随机变量分布函数 分布律 概率密度边缘分布函数 边缘分布律 边缘概率密度条件分布函数 条件分布律 条件概率密度随机变量的独立性Z=X+Y的概率密度M=max(X,Y)的概率密度N=min(X,Y)的概率密度31 二维随机变量问题的提出例1：研究某一地区学龄儿童的发育情况。仅研究身高H H的分布或仅研究体重W W的分布是不够的。需要同时考察每个儿童的身高和体重值，研究身高和体重之间的关系，这就要引入定义在同一样本空间的两个随机变量。例2：研究某种型号炮弹的弹着点分布。每枚炮弹的弹着点位置需要由横坐标和纵坐
2、标来确定，而它们是定义在同一样本空间的两个随机变量。4定义：设E是一个随机试验，样本空间S=e；设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的随机变量，由它们构成的向量(X,Y)叫做二维随机向量二维随机向量或二维随机变量二维随机变量。0Se定义：设(X,Y)是二维随机变量对于任意实数x,y，二元函数称为二维随机变量二维随机变量( (X,Y)X,Y)的分布函数。的分布函数。5 分布函数 的性质x1x2(x1,y)(x2,y)yy2xy1(x,y1)(x,y2)6x2y1x1y27二维离散型随机变量 定义：若二维随机变量(X,Y)全部可能取到的不同值是有 限对或可列无限对，则称(X,Y)是离散型随机变
3、量。y1y2 yjXYp11p12p1jp21p22p2jpi1pi2pij离散型随机变量的联合概率分布：为二维离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布。可以用如右表格表示：8 分布律的性质 例1：设随机变量X在1、2、3、4四个整数中等可能地取 一个值，另一个随机变量Y在1X中等可能地取一 整数值，试求(X,Y)的联合概率分布。YX12344000120300 解：(X=i,Y=j)的取值情况为：i=1,2,3,4； j取不大于i的正整数。即(X,Y)的联合概率分布为：9 10 二维连续型随机变量11 12 例3：设二维随机变量(X,Y)具有概率密度： 1314 例4：设二维随机变量(X,Y)
4、具有概率密度 (1) 求常数k；(2) 求概率 解：1152 边缘分布 二维随机变量(X,Y)作为整体，有分布函数 其中X和Y都是随机变量，它们的分布函数 记为： 称为边缘分布函数边缘分布函数。事实上，16对于离散型随机变量(X,Y)，分布律为p11p12p1jp1p21p22p2jp2pi1pi2pijpi XYy1y2yjp1p2p.j1X,Y的边缘分布律为：注意：17对于连续型随机变量(X,Y)，概率密度为事实上，同理： X,Y的边缘概率密度为：18 00.0250.350.04YX0102010.02520.020 0.100.250.150.04X0210.3700.415 0.21
5、5pY020100.3150.395 0.290p19 例2：(X,Y)的联合分布律为 求：(1)a,b的值； (2)X,Y的边缘分布律； (3) YX-1100.20.1a120.1 0.2bX10.420.6Y0.3 0.5-1100.2(2) 解： (1) 由分布律性质知 a+b+0.6=1 即a+b=0.420 例3：设G是平面上的有界区域，其面积为A，若二维随机变量(X,Y)具有概率密度则称(X,Y)在G上服从均匀分布均匀分布。现设(X,Y)在有界区域上均匀分布，其概率密度为 求边缘概率密度 解：21 22233 条件分布正如对两事件A,B，若 可以考虑条件概率一样，对二维离散型随机
6、变量(X,Y)，其分布律为：我们也可以考虑条件概率由条件概率公式可得：24 定义：设(X,Y)是二维离散型随机变量， 对于固定的yj，同样，对于固定的xi，25 例1：盒子里装有3只黑球，4只红球，3只白球，在其中 任取2球，以X表示取到黑球的数目，Y表示取到红球 的只数。求 （1）X，Y的联合分布率； （2）X=1时Y的条件分布率； (3) Y=0时X的条件分布率。 解：X, Y的联合分布率为X Y 0 1 2 01/154/152/15 13/154/15 0 21/15 0 026故在X=1的条件下，Y的分布律为：同理P(Y=0)=1/5，故在Y=0的条件下，X的分布律为：X Y 0 1
7、 2 01/154/152/15 13/154/15 0 21/15 0 0 X 0 1 2P(X=k/Y=0) 1/5 3/5 1/5 Y 0 1 2P(Y=k/X=1) 4/7 3/7 027 例2：一射手进行射击，击中目标的概率为 射击直至击中目标两次为止，设以X表示首次击中目标所进行的射击次数，以Y表示总共进行的射击次数，试求X和Y的联合分布律和条件分布律。 解：2829 定义：条件分布函数30 定义：条件概率密度31由定义：事实上，32 例3：设二维随机变量(X,Y)在区域(x,y): y x1 内均匀分布，求条件概率密度二维均匀分布的条件 分布仍为均匀分布 解： 根据题意，(X,Y
8、) 的概率密度为： Y的边缘概率密度为： 于是给定y(-1y1)，X的条件概率密度为：33 344 相互独立的随机变量 35例1：1例2中X和Y 是否相互独立？(X,Y)具有概率密度连续型随机变量X,Y相互独立，其密度函数有何特征？ X和Y的边缘概率密度分别为：36YX01P(y=j)12P(X=i)YX01P(y=j)12P(X=i) ) 37 38 394041 一般一般n n维随机变量的一些概念和结果维随机变量的一些概念和结果 42 边缘分布边缘分布 如：43 相互独立相互独立 44 定理1： 定理2：455 两个随机变量的函数的分布 46例1：设X和Y是相互独立的标准正态随机变量，求
9、的概率密度。解：由卷积公式：一般：设X,Y相互独立，47 例2：X,Y相互独立，同时服从0,1上的均匀分布，求 的概率密度。xx=zz120x=z-1 1 解：根据卷积公式：易知仅当参考图得：48 例3：设X,Y相互独立、服从相同的指数分布，概率密度为： 求 的概率密度。 解：根据卷积公式：49一般的，可以证明一般的，可以证明：若X,Y相互独立，且分别服从参数为X,Y的概率密度分别为证明：这是例3的推广，由卷积公式由此可知：50 51 推广推广到n个相互独立的随机变量的情况 设X1,X2,Xn是n个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为： 则：52 53 例5：设系统L由两个相互独立的子系统
10、L1,L2联结而成，联结的方式分别为：(1)串联；(2)并联；(3)备用(当系统L1损坏时，系统L2开始工作)。如图，设L1,L2的寿命分别为X,Y，已知它们的概率密度分别为：试分别就以上三种联结方式写出L的寿命Z的概率密度。XYL1L2XYL2L1XYL2L154A.A.串联的情况串联的情况 由于当L1,L2中由一个损坏时，系统L就停止工作，所以L的寿命为Z=min(X,Y)Z=min(X,Y)； 而X,Y的分布函数分别为：故Z的分布函数为：于是Z的概率密度为：即Z仍服从指数分布L1L255B.B. 并联的情况并联的情况 由于当且仅当L1,L2都损坏时，系统L才停止工作，所以这时L的寿命为Z
11、=max(X,Y)，Z的分布函数为：于是Z的概率密度为：L1L256C.C. 备用的情况备用的情况 由于这时当系统L1损坏时，系统L2才开始工作，因此整个系统L的寿命Z是L1,L2寿命之和，即Z=X+Y；因此：L1L257复习思考题复习思考题 3 31.设(X,Y)为二维向量， 则Px1Xx2,y1Yy2=F(x2,y2)-F(x1, y1),对吗？2.设(X,Y)为二维连续量，则PX+Y =1=0,对吗？3.(X,Y)为二维连续型向量，f(x,y)为(X,Y)的联合概率密度，fX(x)和fY(y)分别为关于X和Y的边缘概率密度，若有一点(x0,y0)使f(x0,y0) fX(x0)fY(y0
12、)则X和Y不独立，对吗？58关键词：数学期望方差协方差相关系数第四章 随机变量的数字特征59问题的提出： 在一些实际问题中，我们需要了解随机变量的分布函数外，更关心的是随机变量的某些特征。例： 在评定某地区粮食产量的水平时，最关心的 是平均产量； 在检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的 平均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的 偏离程度； 考察杭州市区居民的家庭收入情况，我们既知 家庭的年平均收入，又要研究贫富之间的差异 程度；601 数学期望 例1：甲、乙两人射击比赛，各射击100次，其中甲、乙的成绩 如下： 评定他们的成绩好坏。甲次数1080108910乙次数2065158910 解：计
13、算甲的平均成绩： 计算乙的平均成绩： 所以甲的成绩好于乙的成绩。61定义：定义：数学期望简称期望，又称均值。数学期望简称期望，又称均值。62 例2：有2个相互独立工作的电子装置，它们的寿命服从同一指数分布，其概率密度为： 若将这2个电子装置串联联接组成整机，求整机寿命N(以小时计)的数学期望。 解：是指数分布的密度函数问题：将2个电子装置并联联接组成整机， 整机的平均寿命又该如何计算？只要求出一般指数分布的期望（即E(X1)，就可得到E(N).63 例3：设有10个同种电子元件，其中2个废品。装配仪器 时，从这10个中任取1个，若是废品，扔掉后重取 1只，求在取到正品之前已取出的废品数X的期望
14、。解：X的分布律为：64 例4：设一台机器一天内发生故障的概率为0.2，机器发生 故障时全天停工。若一周5个工作日里无故障，可获 利10万元；发生一次故障获利5万元；发生2次故障 获利0元，发生3次或以上故障亏损2万元，求一周内 期望利润是多少？解：设X表示一周5天内机器发生故障天数，设Y表示一周内所获利润，则65 例5：66例6：67 68 69 例7：已知某零件的横截面是个圆，对横截面的直径X进 行测量，其值在区间（1，2）上均匀分布，求横截 面面积S的数学期望。70 例8：71 例9：设随机变量(X,Y)的概率密度为： X=172 73数学期望的特性： 这一性质可以推广到任意有限个随机变
15、量线性组合的情况74证明：下面仅对连续型随机变量给予证明：75 例11：一民航送客车载有20位旅客自机场出发，旅客有10 个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就 不停车，以X表示停车的次数，求 (设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅 客是否下车相互独立)本题是将X分解成数个随机变量之和，然后利用随机变量和的数学期望等于随机变量数学期望之和来求数学期望，这种处理方法具有一定的普遍意义。 解：引入随机变量：76 例12：772 方差设有一批灯泡寿命为：一半约950小时，另一半约1050小时平均寿命为1000小时； 另一批灯泡寿命为： 一半约1300小时，另一半约700小时平均寿命为1
16、000小时；问题：哪批灯泡的质量更好？ 单从平均寿命这一指标无法判断，进一步考察灯泡寿命X与均值1000小时的偏离程度。方差正是体现这种意义的数学特征。正是体现这种意义的数学特征。78定义：79对于离散型离散型随机变量X，对于连续型连续型随机变量X，此外，利用数学期望的性质，可得方差得计算公式：80 例1：设随机变量X具有数学期望81 例2：设随机变量X具有0-1分布，其分布律为： 解：82 例3： 解： 83 例4：解：X的概率密度为：84 例5：设随机变量X服从指数分布，其概率密度为：即对指数分布而言，方差是均值的平方，而均值恰为参数即对指数分布而言，方差是均值的平方，而均值恰为参数85方
17、差的性质： 86证明：87 例6：Xkpk011-pp88 例7： 解：例8：设活塞的直径(以cm计) 汽缸的直径 X,Y相互独 立，任取一只活塞，任取一只汽缸，求活 塞能装入汽缸的概率。91表1 几种常见分布的均值与方差数学期望 方差 分布率或分布率或 密度函数密度函数 分布分布01分布分布 p p(1-p)二项二项分布分布b(n,p) npnp(1-p)泊泊松分布松分布 均匀分布均匀分布U(a,b)指数分布指数分布正态分布正态分布923 协方差及相关系数 对于二维随机变量(X,Y)，除了讨论X与Y的数学期望和方差外，还需讨论描述X与Y之间相互关系的数字特征。这就是本节的内容。 定义： 93
18、协方差的性质：思考题：思考题：94 相关系数的性质：续959697 例1：设X,Y服从同一分布，其分布律为： X -1 0 1 P 1/4 1/2 1/4 已知P(X = Y )=0,判断X和Y是否不相关？是否 不独立？ 9899 续100续101102 例3：设X,Y相互独立服从同一分布， 记U=X-Y,V=X+Y,则随机变量U与V是否一 定不相关，是否一定独立？1034 矩、协方差矩阵 104105 利用协方差矩阵，可由二维正态变量的概率密度推广，得到n维正态变量的概率密度。n维正态变量具有以下四条重要性质：108复习思考题复习思考题 4 41.叙述E(X)和D(X)的定义。1094.试述
19、计算随机变量X的函数g(X)的数学期望Eg(X)的两种方法。5.设XN(,2),用如下两种方法求E(X2)： (1)E(X2)=D(X)+E(X)2=2+2； (2) E(X2)=E(X.X)=E(X). E(X)=2； 两种结果不一样，哪一种错？为什么？6.设X和Y为两随机变量，且已知D(X)=6, D(Y)=7, 则D(XY)=D(X)D(Y)=67=10,这与任意一个随机变量的方 差都不小于零相矛盾，为什么？1107.考虑100包水泥的总重量Y用以下两种方式表示：(1)设第i袋水泥的重量为Xi , i=1,2,100, 由题意知, Xi N(50,2.52),Y=Xi , 则YN(100*50,100*2.52)； (2)设一包水泥的重量为X, 由题意知 XN(50,2.52)。若将100包水泥的总重量看成是1包水泥的100倍，即Y=100X,Y是X的线性函数，则：E(Y)=100E(X)=100*50, D(Y)=1002D(X)=1002*2.52YN(100*50,1002*2.52)这两种方法得到的总重量的分布不一样(因为方差不同，后者方差是前者的100倍)，试问哪一种正确？8.试问D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2cov(X,Y)对吗？111课件结束!7/30/2024
