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1、1 1、同底数幂的乘法法则；、同底数幂的乘法法则；2 2、幂的乘方法则；、幂的乘方法则；3 3、积的乘方法则；、积的乘方法则；4 4、同底数幂的除法法则；、同底数幂的除法法则；5 5、零次幂；、零次幂；am.an=am+n(am)n=amn(ab)n=anbn aman=am-n （a 0）a 0=1（a 0）你能比较你能比较81813 3与与27274 4的大小吗的大小吗? ?24 64 (- -0.25)42 210104 48 88 86 61、已知已知x x3 3=4,=4,求求x x9 9的值的值. .2 2、若若m mx x=2=2，m my y=3=3，求，求m mx+yx+y
2、和和m3x+2y的值的值. .4、已知、已知2x+4y-3=0,求求(3x-9y)2的值。的值。3.3.若若m mx x=2=2，m my y=3=3，求，求m mx-yx-y 和和m3x-2y的值的值. .3 3、a、b互为相反数且都不为互为相反数且都不为0，n为正整数，为正整数，则下列两数互为相反数的是（则下列两数互为相反数的是（ ）单项式单项式单项式单项式单项式单项式多项式多项式多项式多项式多项式多项式平方差公式平方差公式完全平方公式完全平方公式单项式单项式单项式单项式多项式多项式单项式单项式乘法公式乘法公式知识梳理知识梳理 问题问题1计算下列各题并思考：下列各题中都运用计算下列各题并思
3、考：下列各题中都运用到我们学过的哪些运算法则？它们之间有怎样的关系？到我们学过的哪些运算法则？它们之间有怎样的关系？（1）（2） （3） （4）（5） （6）(l)结果一定是积的形式；(2)每个因式必须是整式；(3)各因式要分解到不能再分解为止把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解因式分解，因式分解因式分解分解因式几个特点即：即：一个多项式一个多项式几个整式的积几个整式的积是互逆的关系一定是恒等变形分解因式与多项式乘法关系分解因式与多项式乘法关系下列变形是否是因式分解？为什么?(1)3x(1)3x2 2y-xy+y=y(3xy-xy+y=y(3x2
4、 2-x)-x)；(2)x(2)x2 2-2x+3=(x-1)-2x+3=(x-1)2 2+2+2；(3)x(3)x2 2y y2 2+2xy-1=(xy+1)(xy-1)+2xy-1=(xy+1)(xy-1)；(4)x(4)xn n(x(x2 2-x+1)=x-x+1)=xn+2n+2-x-xn+1n+1+x+xn n. .提公因式错误，可以用整式乘法检验其真伪. 不满足因式分解的含义 因式分解是恒等变形而本题不恒等. 是整式乘法. 1.下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（）.A.B.C.D. 填空填空1.若若x2+mx-n能分解成能分解成(x-2)(x-5),则则m=,n=。2x2
5、-8x+m=(),m=。3.3.若若9x9x2 2+kxy+36y+kxy+36y2 2是完全平方式，则是完全平方式，则k= k= -7-10x-4x-4165.下列等式中下列等式中,从左到右的变形是分解因式的是从左到右的变形是分解因式的是( )A. (x+5)(x-5)=x2-25 B. x2+3x+1=(x+1)(x+1)-1C.x2+3x+2=(x+1)(x+2) D. a(m+n)=am+an6.下列多项式是完全平方式的是下列多项式是完全平方式的是( )A. 0.01x2+0.7x+49 B. 4a2+6ab+9b2C.9a2b2-12abc+4c2 D. X2-0.25x+0.25C
6、C4.4.若若x x2 2+(k+3)x+9+(k+3)x+9是完全平方式，则是完全平方式，则k=_ k=_ 3或-9 （二）分解因式的方法：（二）分解因式的方法：（1）、提取公因式法提取公因式法（2）、）、运用公式法运用公式法（4 4）、）、分组分解法分组分解法（3 3）、）、十字相乘法十字相乘法1. 提公因式法多项式各项都含有的相同因式，多项式各项都含有的相同因式，定系数定系数定字母定字母定指数定指数系数的最大公约数系数的最大公约数各项中都有的相同的字母。各项中都有的相同的字母。字母的最低次幂。字母的最低次幂。公因式公因式确定公因式的方法提公因式法如果多项式的各项有公因式,把公因式提出来,
7、从而转化为几个因式乘积的形式(2)a-b (2)a-b 与与 -a+b -a+b 互为相反数互为相反数. .(a-b)n=(b-a)n(n是偶数是偶数）(a-b)n=-(b-a)n(n是奇数是奇数）(1)a+b与与b+a互为相同数互为相同数,(a+b)n=(b+a)n(n是整数是整数）（3）a+b与与-a-b互互为相反数为相反数. .(-a-b)n=(a+b)n(n是偶数是偶数）(-a-b)n=-(a+b)n(n是奇数是奇数）例例1 1 用提公因式法将下列各式因式分解用提公因式法将下列各式因式分解. .(1)-x(1)-x3 3z+xz+x4 4y y；(2)3x(a-b)+2y(b-a)(2
8、)3x(a-b)+2y(b-a)把下列各式分解因式：把下列各式分解因式：（xy）3（xy）a2x2y2(2)4p(1-q)3+2(q-1)2练习：练习：6x6x3 3y y2 2-9x-9x2 2y y3 3+3x+3x2 2y y2 2 p p（y-xy-x）-q-q（x-x-y y） (x-y)(x-y)2 2-y(y-x)-y(y-x)2 2(2)(2)完全平方公式：完全平方公式：a a2 22ab+b2ab+b2 2=(a=(ab)b)2 2其中，其中，a a2 22ab+b2ab+b2 2叫做完全平方式叫做完全平方式. .例如：4x4x2 2-12xy+9y-12xy+9y2 2 =
9、(2x) =(2x)2 2-2-22x2x3y+(3y)3y+(3y)2 2=(2x-=(2x-3y)3y)2 2.2. 公式法(1)(1)平方差公式：平方差公式：a a2 2-b-b2 2=(a+b)(a-b).=(a+b)(a-b).例如：4x2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3). 例例2 2 把下列各式分解因式把下列各式分解因式. .(1)(a+b)(1)(a+b)2 2-4a-4a2 2 ； (2)1-10x+25x(2)1-10x+25x2 2； (3)(m+n)(3)(m+n)2 2-6(m+n)+9 -6(m+n)+9 做做一一做做 (m+n-3)(m+n-3)2
10、2. .(3a+b)(b-a)(3a+b)(b-a)(1-5x)(1-5x)2 2(2)(a+b+c)2-(a+b-c)2(4)3ax2-3ay4；(5)m4-1(1)3x+6xy+3xy(6)y24xy4x2(3)xy-4xy+4例例5：把下列各式分解因式：把下列各式分解因式.(a+b)2-4a225(x+m)2-16(x+n)23、-x2-9y2+6xy4、(x2+4)2-2(x2+4)+15、(x+y)2-4(x+y-1)十字相乘法顺口溜：顺口溜：顺口溜：顺口溜：竖分竖分常数常数交叉交叉验，验，横写横写因式不能乱因式不能乱“拆两头，凑中间拆两头，凑中间”例1例例4分解因式分解因式练习练习
11、:(1) X X2 2-5x+6 a-5x+6 a2 2-a-2-a-22.分组后能直接运用公式分组后能直接运用公式1.分组后能直接提取公因式分组后能直接提取公因式分分组组分分解解法法四项四项:常考虑一三分组或者是二二分组常考虑一三分组或者是二二分组五项五项:常考虑二三分组常考虑二三分组分组的原则：分组的原则：分组后要能使因式分解继续下去分组后要能使因式分解继续下去 3x+x 3x+x2 2-y-y2 2-3y x-3y x2 2-2x-4y-2x-4y2 2+1+1因式分解的一般步骤：因式分解的一般步骤：对任意多项式分解因式，都必须首先考对任意多项式分解因式，都必须首先考虑提取公因式。虑提取
12、公因式。 对于二项式，考虑应用平方差公式分解。对于二项式，考虑应用平方差公式分解。对于三项式，考虑应用完全平方公式或十字相对于三项式，考虑应用完全平方公式或十字相乘法分解乘法分解。 一提二套三分四查再考虑分组分解法再考虑分组分解法检查：特别看看多项式各因式是否分解彻底检查：特别看看多项式各因式是否分解彻底问题问题2因式分解：因式分解：（1）（2） （3） （4） 知识梳理知识梳理 (2)16(a-b)2-9(a+b)2解：解：16(a-b)2-9(a+b)2=42(a-b)2-32(a+b)2=(4a-4b)2-(3a+3b)2=(4a-4b)+(3a+3b)(4a-4b)-(3a+3b)=(
13、7a-b)(a-7b)典型例题典型例题例例2因式分解：因式分解： （1） （2） （3）A A层练习层练习一一:将下列各式分解因式：将下列各式分解因式：-a-ab；m-n；x+2xy+y（4）3am-3an；（5）18ac-8bc（6）m4 -81n4(7)x(7)x3 3-2x-2x2 2+x+x；(8)x(8)x2 2(x-y)+y(x-y)+y2 2(y-x)(y-x)把下列各式分解因式：把下列各式分解因式：-x-x3 3y y3 3-2x-2x2 2y y2 2-xy-xy(1) 4x(1) 4x2 2-16y-16y2 2 (2) x (2) x2 2+xy+ y+xy+ y2 2.
14、(4)81a(4)81a4 4-b-b4 4（6)(x-y)2-6x+6y+9(2x+y)(2x+y)2 2- -2(2x+y)+1(2x+y)+1 x x2 2y y2 2+xy-12+xy-12(8)(x+1)(x+5）+4解:原式=4(x2-4y2)=4(x+2y)(x-2y)解:原式=-xy(x2y2+2xy+1)=-xy(xy+1)2解:原式=(9a2+b2)(9a2-b2)=(9a2+b2)(3a+b)(3a-b)解：原式=(2x+y-1)2解：原式=(x-y)2-6(x-y)+9=(x-y-3)2解：原式=(xy-4)(xy+3)解：原式=x2+6x+5+4=(x+3)2a2-9
15、b2+2a-6bx2-2xy+y2-2x+2y+11、(a+b)2=(a-b)2+4ab2、(a-b)2=(a+b)2-4ab3、a2+b2=(a+b)2-2ab4、a2+b2=(a-b)2+2ab（2）若若a-b=8,ab=20,则则a2+b2为多少？为多少？a+b为多少？为多少？1、若、若(a+b)2=11, (a-b)2=7,求求ab的值；的值；(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab1、如果、如果(x+4)(x-5)=x2+px+q,那么那么p=，q=。2 2、如果、如果(x+p)(x+1)的乘积中不含的乘积中不含x x的项，的项，那么那么p p等于等于 。3、已知：、已知：x2
16、+5y2+4xy-6y+9=0，求，求xy的的值。值。2、已知：、已知：4x2+9y2+4x-6y+2=0，求，求x、y的值。的值。利用平方差公式简便计算：利用平方差公式简便计算：拓广探究拓广探究 练习练习1已知已知a、b、c 为三角形的三边长，且满足为三角形的三边长，且满足 ，试判断三角形的形状，并说，试判断三角形的形状，并说明理由明理由拓广探究拓广探究 练习练习2已知已知a、b、c 为三角形的三边长，判断为三角形的三边长，判断的符号的符号(6)若xy99求x2xy2y2xy之值应用：应用：1).计算：计算：20052-20042=2).若若a+b=3,ab=2则则a2b+ab2=3).若若
17、x2-8x+m是完全平方式是完全平方式,则则m=4).若若9x2+axy+4y2是完全平方式是完全平方式,则则a=()A.6B.12C.6D.12D(5).计算计算+=_1).3m2-272).1-a43).9-12x+4x24).-x2+4x-45).y3+4xy2+4x2y6).-8a3b2+12ab3c-6a2b27).(m2+n2)2-4m2n28).(2x+y)2-(x+2y)2B B层练习层练习将下列各式分解因式：将下列各式分解因式： (2a+b)(2a+b)(a(ab)b) ； (2) (x+y)(2) (x+y)-10(x+y)+25-10(x+y)+25 (3) 4a (3)
18、 4a3b(4a3b(4a3b)3b) (4 (4) )(x25)22(x25)1（5 5）(x(x2 2+y+y2 2)(x)(x2 2+y+y2 2-4)+4-4)+4基本方法基本方法第二步第第二步第一环节一环节 C层练习层练习（1 1）不论不论a a、b b为何数，代数式为何数，代数式a a2 2+b+b2 2-2a+4b+5-2a+4b+5的值总是的值总是 （ ）A.0 B.A.0 B.负数负数 C.C.正数正数 D.D.非负数非负数D D(6)已知已知a、b、c是一个三角形的三边，是一个三角形的三边，判断代数式判断代数式a2-b2-c22bc的正负性。的正负性。(7)若若n是任意正整
19、数是任意正整数.试说明试说明3n+2-43n+1+103n能被能被7整除整除.(8)甲、乙两同学分解因式甲、乙两同学分解因式x2+ax+b时，时，甲看错了甲看错了b，分解结果是，分解结果是(x+2)(x+6),乙看错了乙看错了a，分解结果是分解结果是(x+1)(x+16)请你分析一下请你分析一下a、b的值分别为多少，的值分别为多少，(9)应用：1、若100x2-kxy+49y2是一个完全平方式,则k=1402、计算(-2)101+(-2)1003、已知：2x-3=0，求代数式x(x2-x)+x2(5-x)-9的值解：原式=（-2)(-2)100+(-2)100=(-2)100(-2+1)=21
20、00(-1)=-2100解：原式=x3-x2+5x2-x3-9=4x2-9=(2x+3)(2x-3)又2x-3=0,原式=0自我评价自我评价 知识巩固知识巩固 1.1.若若x x2 2+2(m-3)x+16+2(m-3)x+16是完全平方式，则是完全平方式，则m=( ) m=( ) A.3A.3B.-5B.-5C.7. C.7. D.7D.7或或-1-12.2.若若(2x)(2x)n n-81=(4x-81=(4x2 2+9)(2x+3)(2x-3),+9)(2x+3)(2x-3),则则n=( n=( ) ) A.2 A.2B.4B.4C.6C.6D.8D.83.3.分解因式：分解因式：4x4
21、x2 2-9y-9y2 2=_.=_.4.4.已知已知x-y=1,xy=2x-y=1,xy=2，求，求x x3 3y-2xy-2x2 2y y2 2+xy+xy3 3的值的值. . 5.5.把多项式把多项式1-x1-x2 2+2xy-y+2xy-y2 2分解因式分解因式6.6.解方程组解方程组思考题思考题 分解因式分解因式(x(x4 4+x+x2 2-4)(x-4)(x4 4+x+x2 2+3)+10+3)+10 分析分析: :把把x x4 4+x+x2 2作为一个整体，用一个作为一个整体，用一个新字母代替，从而简化式子的结构新字母代替，从而简化式子的结构. . 解：解：令令x x4 4+x+x2 2=m=m，则原式可化为，则原式可化为(m-4)(m+3)+10(m-4)(m+3)+10=m=m2 2-m-12+10-m-12+10=m=m2 2-m-2-m-2=(m-2)(m+1)=(m-2)(m+1)=(x=(x4 4+x+x2 2-2)(x-2)(x4 4+x+x2 2+1)+1)=(x=(x2 2+2)(x+2)(x2 2-1)(x-1)(x4 4+x+x2 2+1)+1)=(x=(x2 2+2)(x+1)(x-1)(x+2)(x+1)(x-1)(x4 4+x+x2 2+1) +1)
