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1、第一节 导数的概念导数的概念第二章第二章 导数与微分导数与微分一、问题的提出一、问题的提出二、导数的定义二、导数的定义三、由定义求导数三、由定义求导数四、导数的几何意义与物理意义四、导数的几何意义与物理意义五、可导与连续的关系五、可导与连续的关系六、小结六、小结一、问题的提出1.自由落体运动的瞬时速度问题自由落体运动的瞬时速度问题如图如图,取极限得取极限得2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置播放播放如图如图, 如果割线如果割线MN绕点绕点M旋转而趋向极限位置旋转而趋向极限位置MT,直线直线MT就称为曲线就称为曲线C在点在点M处的处的切线切线.极限位置即极限位置即二、
2、导数的定义定义定义其它形式其它形式即即关于导数的说明：关于导数的说明：注意注意: :播放播放2.导函数导函数(瞬时变化率瞬时变化率)是函数平均变化率的逼是函数平均变化率的逼近函数近函数.2.右导数右导数:单侧导数单侧导数1.左导数左导数:三、由定义求导数步骤步骤:例例1 1解解例例2 2解解例例3 3解解更一般地更一般地例如例如,例例4 4解解例例5 5解解例例6 6解解四、导数的几何意义与物理意义1.几何意义几何意义切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为例例7 7解解由导数的几何意义由导数的几何意义, 得切线斜率为得切线斜率为所求切线方程为所求切线方程为法线方程为法线方程为2.物理意义物理
3、意义非均匀变化量的瞬时变化率非均匀变化量的瞬时变化率.变速直线运动变速直线运动: :路程对时间的导数为物体的路程对时间的导数为物体的瞬时速度瞬时速度.交流电路交流电路: :电量对时间的导数为电流强度电量对时间的导数为电流强度.非均匀的物体非均匀的物体: :质量对长度质量对长度(面积面积,体积体积)的导的导数为物体的线数为物体的线(面面,体体)密度密度.五、可导与连续的关系定理定理 凡可导函数都是连续函数凡可导函数都是连续函数. .证证连续函数不存在导数举例连续函数不存在导数举例0例如例如,注意注意: : 该定理的逆定理不成立该定理的逆定理不成立.01例如例如,例如例如,011/1/例例8 8解
4、解六、小结1. 导数的实质导数的实质: 增量比的极限增量比的极限;3. 导数的几何意义导数的几何意义: 切线的斜率切线的斜率;4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导函数可导一定连续，但连续不一定可导;5. 求导数最基本的方法求导数最基本的方法: 由定义求导数由定义求导数.6. 判断可导性判断可导性不连续不连续,一定不可导一定不可导.连续连续直接用定义直接用定义;看左右导数是否存在且相等看左右导数是否存在且相等.思考题思考题思考题解答思考题解答练习题答案练习题答案第二节 函数的和、差、积、商函数的和、差、积、商 的求导法则的求导法则一、和、差、积、商的求导法则一、和、差、积、商的求导法则二、例
5、题分析二、例题分析三、小结三、小结一、和、差、积、商的求导法则定理定理证证(3)(3)证证(1)(1)、(2)(2)略略. .推论推论二、例题分析例例1 1解解例例2 2解解例例3 3解解同理可得同理可得例例4 4解解同理可得同理可得例例5 5解解同理可得同理可得例例6 6解解三、小结注意注意:分段函数分段函数求导时求导时, 分界点导数用左右导数求分界点导数用左右导数求.思考题思考题 求曲线求曲线 上与上与 轴平行轴平行的切线方程的切线方程.思考题解答思考题解答令令切点为切点为所求切线方程为所求切线方程为和和练练 习习 题题练习题答案练习题答案第三节 反函数与复合函数 的求导法则导法则 一、反
6、函数的导数一、反函数的导数二、复合函数的求导法则二、复合函数的求导法则三、小结三、小结一、反函数的导数定理定理即即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数反函数的导数等于直接函数导数的倒数.证证于是有于是有例例1 1解解同理可得同理可得例例2 2解解特别地特别地二、复合函数的求导法则定理定理即即 因变量对自变量求导因变量对自变量求导, ,等于因变量对中间变等于因变量对中间变量求导量求导, ,乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导.(.(链式法则链式法则) )证证推广推广例例3 3解解例例4 4解解例例5 5解解例例6 6解解例例7 7解解三、小结反函数的求导法则反函数的求导法则（注意成立
7、条件）（注意成立条件）;复合函数的求导法则复合函数的求导法则（注意函数的复合过程（注意函数的复合过程,合理分解正确使用链合理分解正确使用链导法）导法）;已能求导的函数已能求导的函数:可分解成基本初等函数可分解成基本初等函数,或常或常数与基本初等函数的和、差、积、商数与基本初等函数的和、差、积、商.思考题思考题思考题解答思考题解答正确地选择是正确地选择是（3）例例在在 处不可导，处不可导，取取在在 处可导，处可导，在在 处不可导，处不可导，取取在在 处可导，处可导，在在 处可导，处可导，练练 习习 题题练习题答案练习题答案第四节第四节初等函数的求导问题初等函数的求导问题双曲函数与反双曲函数的导数
8、双曲函数与反双曲函数的导数一、初等函数的求导问题一、初等函数的求导问题二、双曲函数与反双曲函数的导数二、双曲函数与反双曲函数的导数三、小结三、小结一、初等函数的求导问题1.常数和基本初等函数的导数公式常数和基本初等函数的导数公式2.函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则设设)(),(xvvxuu= = =可导，则可导，则（1） vuvu = = )(, （2）uccu = = )(（3）vuvuuv + + = = )(, （4）)0()(2 - - = = vvvuvuvu.( ( 是常数是常数) )3.复合函数的求导法则复合函数的求导法则利用上述公式及法则初等函数求导
9、问题可完全解利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决决.注意注意: :初等函数的导数仍为初等函数初等函数的导数仍为初等函数.例例1 1解解例例2 2解解二、双曲函数与反双曲函数的导数即即同理同理例例3 3解解三、小结任何初等函数的导数都可以按常数和基本初任何初等函数的导数都可以按常数和基本初等函数的求导公式和上述求导法则求出等函数的求导公式和上述求导法则求出.关键关键: 正确分解初等函数的复合结构正确分解初等函数的复合结构.思考题思考题幂函数在其定义域内（幂函数在其定义域内（ ）.思考题解答思考题解答正确地选择是正确地选择是（3）例例在在 处不可导，处不可导，在定义域内处处可导，在定义域内
10、处处可导，练练 习习 题题练习题答案练习题答案第五节 高阶导数高阶导数一、高阶导数的定义一、高阶导数的定义二、二、 高阶导数求法举例高阶导数求法举例三、小结三、小结一、高阶导数的定义问题问题: :变速直线运动的加速度变速直线运动的加速度.定义定义记作记作三阶导数的导数称为四阶导数三阶导数的导数称为四阶导数, 二阶和二阶以上的导数统称为二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数.二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数,二、 高阶导数求法举例例例1 1解解1.1.直接法直接法: :由高阶导数的定义逐步求高阶导数由高阶导数的定义逐步求高阶导数.例例2 2解解例例3 3解解注意注意: :
11、 求求n阶导数时阶导数时,求出求出1-3或或4阶后阶后,不要急于合不要急于合并并,分析结果的规律性分析结果的规律性,写出写出n阶导数阶导数.(数学归纳法数学归纳法证明证明)例例4 4解解同理可得同理可得例例5 5解解2. 高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则:莱布尼兹公式莱布尼兹公式例例6 6解解3.3.间接法间接法: :常用高阶导数公式常用高阶导数公式 利用已知的高阶导数公式利用已知的高阶导数公式, 通过四则通过四则运算运算, 变量代换等方法变量代换等方法, 求出求出n阶导数阶导数.例例7 7解解例例8 8解解三、小结高阶导数的定义及物理意义高阶导数的定义及物理意义;高阶导数的运算法则高阶导
12、数的运算法则(莱布尼兹公式莱布尼兹公式);n阶导数的求法阶导数的求法;1.直接法直接法;2.间接法间接法.思考题思考题设设 连续，且连续，且 ，求求 .思考题解答思考题解答可导可导不一定存在不一定存在故用定义求故用定义求练练 习习 题题练习题答案练习题答案第六节第六节隐函数的导数隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数由参数方程所确定的函数的导数相关变化率相关变化率一、隐函数的导数一、隐函数的导数二、对数求导法二、对数求导法三、由参数方程所确定的函数的导数三、由参数方程所确定的函数的导数四、相关变化率四、相关变化率五、小结五、小结一、隐函数的导数定义定义: :隐函数的显化隐函数的显化问题问题
13、:隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则隐函数求导法则: :用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导.例例1 1解解解得解得例例2 2解解所求切线方程为所求切线方程为显然通过原点显然通过原点.例例3 3解解二、对数求导法观察函数观察函数方法方法: :先在方程两边取对数先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导然后利用隐函数的求导方法求出导数方法求出导数.-对数求导法对数求导法适用范围适用范围: :例例4 4解解等式两边取对数得等式两边取对数得例例5 5解解等式两边取对数得等式两边取对数得一般地一般地三、由参数方程所确定的
14、函数的导数例如例如消去参数消去参数问题问题: : 消参困难或无法消参如何求导消参困难或无法消参如何求导?由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数的求导法则得例例6 6解解 所求切线方程为所求切线方程为例例7 7解解例例8 8解解四、相关变化率相关变化率问题相关变化率问题: :已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?例例9 9解解仰角增加率仰角增加率例例1010解解水面上升之速率水面上升之速率4000m五、小结隐函数求导法则隐函数求导法则: : 直接对方程两边求导直接对方程两边求导;对数求导法对数求导法: : 对方程两边取对数对方程两边取对数,按
15、隐函数的求按隐函数的求导法则求导导法则求导;参数方程求导参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则实质上是利用复合函数求导法则;相关变化率相关变化率: : 通过函数关系确定两个相互依赖的通过函数关系确定两个相互依赖的变化率变化率; ; 解法解法: : 通过建立两者之间的关系通过建立两者之间的关系, , 用链用链式求导法求解式求导法求解. .思考题思考题思考题解答思考题解答不对不对练练 习习 题题练习题答案练习题答案第七节第七节 函数的微分函数的微分一、问题的提出一、问题的提出二、微分的定义二、微分的定义三、可微的条件三、可微的条件四、微分的几何意义四、微分的几何意义五、微分的求法五、微分的求
16、法六、微分形式的不变性六、微分形式的不变性七、小结七、小结一、问题的提出实例实例: :正方形金属薄片受热后面积的改变量正方形金属薄片受热后面积的改变量.再例如再例如,既容易计算又是较好的近似值既容易计算又是较好的近似值问题问题: :这个线性函数这个线性函数(改变量的主要部分改变量的主要部分)是否是否所有函数的改变量都有所有函数的改变量都有?它是什么它是什么?如何求如何求?二、微分的定义定义定义( (微分的实质微分的实质) )由定义知由定义知: :三、可微的条件定理定理证证(1) 必要性必要性(2) 充分性充分性例例1 1解解四、微分的几何意义MNT）几何意义几何意义:(:(如图如图) ) P
17、五、微分的求法求法求法: : 计算函数的导数计算函数的导数, 乘以自变量的微分乘以自变量的微分.1.基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式2. 函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则例例2 2解解例例3 3解解六、微分形式的不变性结论结论：微分形式的不变性微分形式的不变性例例4 4解解例例3 3解解例例5 5解解在下列等式左端的括号中填入适当的函数在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使使等式成立等式成立.七、小结微分学所要解决的两类问题微分学所要解决的两类问题:函数的变化率问题函数的变化率问题函数的增量问题函数的增量问题微分的概念微分的概念导数的概念导数的概念求导数与
18、微分的方法求导数与微分的方法,叫做叫做微分法微分法.研究微分法与导数理论及其应用的科学研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做叫做微分学微分学.导数与微分的联系导数与微分的联系:导数与微分的区别导数与微分的区别:思考题思考题思考题解答思考题解答说法不对说法不对. 从概念上讲，微分是从求函数增量引从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到的，导数是从函数变化出线性主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全不同的概念的极限，它们是完全不同的概念. 练练 习习 题题练习题答案练习题答案第八节 微分在近似计算中的应用微
19、分在近似计算中的应用一、计算函数增量的近似值一、计算函数增量的近似值二、计算函数的近似值二、计算函数的近似值三、误差估计三、误差估计四、小结四、小结一、计算函数增量的近似值例例1 1解解二、计算函数的近似值例例1 1解解常用近似公式常用近似公式证明证明例例2 2解解三、误差估计由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差，等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差，而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差，我们把它叫做差，我们把它叫做间接测量误差间接测量误差.定义：定义：问题问题:在实际工作中在实际工作中,绝对误差与相对误差无法求得绝对误差与相对误差无法求得?办法办法: :将误差确定在某一个范围内将误差确定在某一个范围内. .通常把绝对误差限与相对误差限简称为通常把绝对误差限与相对误差限简称为绝对误绝对误差差与与相对误差相对误差.例例3 3解解四、小结近似计算的基本公式近似计算的基本公式练练 习习 题题练习题答案练习题答案
