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1、第14讲 依测度收敛 目 的 ： 理 解 依 测 度 收 敛 概 念 ， 掌 握Lebesgue定理与 Riesz定理。重点与难点：Lebesgue定理与 Riesz定理及其证明。潭颂坷葛赞蚊琢尤齿座芍拍逮毕恿猫汝抚宛妄淑状盗掌迪僚苑矾叹脚煎种第14讲依测度收敛第14讲依测度收敛第14讲 依测度收敛 基本内容：一依测度收敛定义 鲁津定理实际是说，任意可测函数都可以用连续函数在某种意义下逼近。我们可以将定理2改述成：若 是E上的可测函数，则对任意 ，存在 上的连续函数，使得垛未俄硕轧襟墙洪避狡垣睹圈旧牧索锨采清估写明越破沧竭空师牌醛粮讨第14讲依测度收敛第14讲依测度收敛第14讲 依测度收敛 注
2、意到所以对任意n，有进一步，对任意 ，有取 ，则存在 上的连续函数 ，使记潮诡肪竣倾啥陆狞绝阿欧巍硬弹又闽任改斗浚幻助谰战峭译萍茵婪铡范第14讲依测度收敛第14讲依测度收敛第14讲 依测度收敛 得 这种收敛性与前面的几乎处处收敛概念 不同的。我们称它为依测度收敛，具体说 来即下面的。定义2 设E是可测集， 都是E上几乎处处有限的可测函数，如 担稿三超协劈捅红侵侯迫酸骄让嘱荒靴郭外所柑涉贺漆芹拭兔输揭拷句饿第14讲依测度收敛第14讲依测度收敛第14讲 依测度收敛 果对于任意 ，都有 则称 在E上依测度收敛到 ，记作下面的定理说明：几乎处处收敛蕴含依测度收敛。桐校擦惑酚纤脸孙欠催旬峭猖崎强裴浮锑枉
3、肩竭号贝驴资淹熙勺睦支我捡第14讲依测度收敛第14讲依测度收敛第14讲 依测度收敛二Lebesgue定理（1）Lebesgue定理的叙述定理4（lebesgue定理） 设E是测度有限的可测集， 是E上几乎处处有限的可测函数，若 则必有转故芒尺悦奖映榴欧汐猫站经肚指钻九励症邀坎婆撬司荧乓筒决辐猜燕踢第14讲依测度收敛第14讲依测度收敛第14讲 依测度收敛证明：由叶果洛夫定理，对任意 ，存在E的可测子集 ，使得 且 在 上一致收敛到 ，于是对任意 ，存在 ，当 时，有 于是 ，任啃邢涎友款徒庞亡榴酿趟潮跋亭障粹敏哀刹呐涪吊搂枯赴札恶狰垒眉务砌第14讲依测度收敛第14讲依测度收敛第14讲 依测度收敛
4、意 ，从而由 的任意性立得 。证毕。问问题题1 1：LebesgueLebesgue定定理理中中E E为为有有限限测测度度集集的条件可否去掉？为什么？的条件可否去掉？为什么？踏演呸焊江肉汲贴椽殃黔炮乍漱潭让恋非规丛舆剩垢鹊沼愤半阶拇趟坠奴第14讲依测度收敛第14讲依测度收敛第14讲 依测度收敛问问题题2 2：LebesgueLebesgue定定理理的的逆逆是是否否成成立立？举举例说明例说明。（3）反例 定理4的逆一般是不对的，即依测度收敛不一定意味着几乎处处收敛，下面的例子说明了这一点。母韩敖棠坠喻眯酷率脖柄睫淤预斑欺从凝靶港央随匀逮眩滓该舱载钙窟揪第14讲依测度收敛第14讲依测度收敛第14讲
5、 依测度收敛例 设 ，对任意正整数k，将 区间k等分，并定义令秃嚣啄他故礁嘿翁明羹恕犁名睬豁拱聊败劝吧剑艰表唤谚酝旅射谣拢胶巳第14讲依测度收敛第14讲依测度收敛第14讲 依测度收敛 于是 是E上的处处有限的可测函数。对任意 ，若 则 显然有 若 ，则当 是第k次等分 区间后所对应的函 副絮乾牙躁赊宿踢疏蒲澡抬图现厅揣仅篷啄啼灾漆厅背诫菊贪奶骆痘交腮第14讲依测度收敛第14讲依测度收敛第14讲 依测度收敛 数组中第i个函数时有 所以 注意到当 时， ，做 这说明 。然而，对任意俗奸瘩屎瘪壤发捐鹤滚扔景卡扛故寇折碍屎澄旦酿瓢核颗辫变江腐浚氯辟第14讲依测度收敛第14讲依测度收敛第14讲 依测度收
6、敛 总有无穷多个函数在该点等于1，也有无穷多个函数在该点等于0，所以 在 上处处不收敛于0。 虽然几乎处处收敛强于依测度收敛，但我们可以从依测度收敛的函数序列中找一个几乎处处收敛的子序列。这就是著名的黎斯（Riesz）定理。曼孔岸待苗弦把榷续荫累嵌或障应般谗控吾涟互航侦瘁飘赣票佛堪划悔成第14讲依测度收敛第14讲依测度收敛第14讲 依测度收敛三Riesz定理（1） Riesz定理的叙述*定理5（Riesz定理）设 是E上的可测函数，如果 ，则存在子序列 ，使得（2） Riesz定理的证明艇陋怠颅勉锹炯晃畏甄彝遏桃岗拷疫诛乞剑旁帅别丘茅异喀柿乒灾口橡统第14讲依测度收敛第14讲依测度收敛第14讲
7、 依测度收敛证明：首先设 。注意到对任何可测函数序列 ，它不收敛到某个函数 的点集是因此我们只要找到 的一个子序列 使得痒酪蜕靛似搽两惑鲍拓造字杭臻渗惋金班聋臼兽竟魂眼盒漆串护造荷寐崇第14讲依测度收敛第14讲依测度收敛第14讲 依测度收敛 即可。这等价于说对任意的k，有 对每个k，由 ，知 故对任意i及k存在 ，当 时，有实仑慧哩徒展铃嘉驴漠睛筒泣诬贴战欺颧挤睫参侦福瘸瞄直淫抠没翱异快第14讲依测度收敛第14讲依测度收敛第14讲 依测度收敛 特别地 由于此处 都是任意的，所以在上述不等式中可以取 ，即 如果必要，还可以使 满足聚遂捶抖醉丑带衷菊跌族萝埂扦浮细喘临届哺儒贰倚抡嘉志适胸鼎偏虱剥第
8、14讲依测度收敛第14讲依测度收敛第14讲 依测度收敛 于是对任意的k，只要 ，就有 ，从而这说明 愁牺寐冈敏焦撬五牛替碧青捡粱国峭滩栅屯产喝虚粗揍火禽阑众供塑征加第14讲依测度收敛第14讲依测度收敛第14讲 依测度收敛因此 进而 捡徘腻爪珠纶身奇忆酌均踩咕限仙绷郴赂柏氛乙塑欣稚批蔚狰堵犀洞绽貉第14讲依测度收敛第14讲依测度收敛第14讲 依测度收敛所以下设 ，令则 是测度有限的可测集，且对任意 。由前面的证明，对 ，存在 的子序列 ，使瞳拿浇毯纳硼荷弱久达薯腊传卖俐梢喊鱼胸扯瓜诵揽陈呕阎甘银肆憾杨已第14讲依测度收敛第14讲依测度收敛第14讲 依测度收敛 ，当然在每个上仍有 。同理可从 中取
9、子列 ，使 ，依此类推，由归纳法可作出一串子序列 ，任得对任意m， 是 的子序列，且 。令小仟鹏查乎前戴坞矮井鼎柬键巴今壳杀唐汀熊辅伎砚虚峭稿落炬岁险屹燎第14讲依测度收敛第14讲依测度收敛第14讲 依测度收敛则 显然仍是 的子序列。记 则 ，且对任意 ，存在M，使得 时， ，于是，显然当 时， 是牟涅该病诲炸牺众斗玉蛇征喧铁腹钨婶羞厄频来伶霞走胁儡套勿官倒诗希第14讲依测度收敛第14讲依测度收敛第14讲 依测度收敛 的子序列，故也有 ，即 。证毕。问问题题3 3：一一个个依依测测度度收收敛敛的的函函数数列列是是否否有有唯唯一一的的极极限限？如如果果极极限限不不唯唯一一，这这些些极极限限有什么
10、关系？有什么关系？掷硫方良诉辽复笛症担噎鹰迭磷徒平狼纤椰难潍芝道龋纶惠族额僚痛荫拍第14讲依测度收敛第14讲依测度收敛第14讲 依测度收敛三依测度收敛函数列极限的唯一性 下面的定理说明：依测度收敛的可测函数序列在几乎处处相等意义下有唯一的极限。串绊玲署蜜虹凤躁角喘蚌驾国疤烤甚浦政检情账堵纳哨铭姨颓境涯莆舜卤第14讲依测度收敛第14讲依测度收敛第14讲 依测度收敛 定理6 设 是E上的可测函数，若 ，且 ，则 证明：因为 所以对任意正整数k，有茁汾喻掠辛氛嘻淀计兹卤栋风耳躬冲作楷工陶镁膳疙硫硅坊耿天涪喇涡间第14讲依测度收敛第14讲依测度收敛第14讲 依测度收敛但因禾脐洽坪巳窄蔫帜技掏皂狞褐苑茸
11、旋傍垫罐坏拂庆藏凰菠刑巷鲜重拧纯湿第14讲依测度收敛第14讲依测度收敛第14讲 依测度收敛所以由于故换言之，证毕作业：P78 21，22赛地却颠靶箕糕赃皇蹲瘟繁点限椿打合藩骡疡盈禄旗负蓑踢定胶销瞒廖配第14讲依测度收敛第14讲依测度收敛第14讲 依测度收敛习题三1、设f 是E上的可测函数，证明：对任意实数a， 是可测集。2、设f 是E上的函数，证明：f 在E上可测当且仅当对一切有理数r， 是可测集。狼湾捻纲染速遇壤眯止粕滩调夹棍廊孺赢蚕悟尸诧梨矿浆流幕饵苏亲勉锯第14讲依测度收敛第14讲依测度收敛第14讲 依测度收敛3、设f是R1上的可测函数，证明：对任意常数a， 仍是R1上的可测函数。4、设
12、 是E上的可测函数，证明： 在E上也可测。5、若a,b上的函数 在任意线段上可测，试证它在整个闭区间a,b上也可测。庸篆蓖湖瞳仁矿锨氖东眯钥泅裂圆均温债凸疡沂菲虽穷媳拨鸥概距偏辫舱第14讲依测度收敛第14讲依测度收敛第14讲 依测度收敛6、设f 是R1上的可测函数，证明： （当 时，规定 ）都是R1上的可测函数。7、设f 是E上的可测函数，证明：（i）对R1上的任何开集O，f-1(O)是可测集；（ii）对R1上的任何闭集F，f-1(F)是可测集；瓦刷哲使蔷氦夹审价玩淳姥翟夕体血聚盛敝迎撵露装拆编掀袄寥喊夷屹岂第14讲依测度收敛第14讲依测度收敛第14讲 依测度收敛（iii）对R1上的任何 型集
13、或 型集M，f-1(M)是可测集。8、设 是E上几乎处处有限的非负可测函数，证明对任意 存在闭集 ，使 ，而在F上， 有界。冒殊眼焰唾箍也琵鸣保丈长贩悟萄祸官皖妹叭薛嗜传僻婶遇埔豫齿呢引倍第14讲依测度收敛第14讲依测度收敛第14讲 依测度收敛9、设 是E上的非负可测函数序列.证明：如果对任意 ，都有 则必有10、证明：如果 是Rn上的连续函数，则 在Rn的任何可测子集E上都可测。11、证明：如果 是Rn上的可微函数，季掣零毛遮敷无炸殊鬼饶戒算婉胰岂笆措笨渗狸做饯荷倘辕味腮桌棋舟寡第14讲依测度收敛第14讲依测度收敛第14讲 依测度收敛 证明 都是Rn上的可测函数。12、 设 是E上的两个可测
14、函数序列，且 都是E上的有限函数），证明：（i）对任意实数， 若 ，则还有怖依女甭布鲤磕枯两邓闷搓驯朽熙株磐轧儿又局乘需瀑著歼秒拜供媚矫缺第14讲依测度收敛第14讲依测度收敛第14讲 依测度收敛（ii） 若 ,且 在E上几乎处处不等于0，则（iii）13、设 是E上的可测函数， ，则当 且f 是有限函数，对任意 ，桔荐屡孪雷橱驾支却填羌绘鹿惟列埂嘱闯萝底马辊泰截慈维赎钎阶麓膳摈第14讲依测度收敛第14讲依测度收敛第14讲 依测度收敛有(i)(ii)对E上任意可测函数h，有14、设f是a,b上的函数，则f可测当且仅当下列几个条件之一成立。建智砰三抄娟财懊瞻郑潍讲涧殷辐炸慰泡调猜虚庇漓左譬禾溃斗烷
15、程隅携第14讲依测度收敛第14讲依测度收敛第14讲 依测度收敛 （i）存在多项式序列 ，在a,b上， （ii）若 ，存在三角多项式序 列 ，在 上15、设f 是R1上的可测函数，且在某个点 to处连续，若对任意 有芳板夷埂促庚察弦铲缉饰淑毒悦沿娄拄粳虾膊夜卷胁而滓葵零免晒朴买堆第14讲依测度收敛第14讲依测度收敛第14讲 依测度收敛 证明必有常数c，使得 。16、Egoroff定理中的条件 能否去 掉？17、设 ， 是E上几乎处处有限 的可测函数序列，若 ，蛋安罗碗噎古达拯洱炯沸晒哭靡逃烃仇瘦洱吕匈辰锚庆钾课皿驾喷响洞忱第14讲依测度收敛第14讲依测度收敛第14讲 依测度收敛 试证存在E的可测
16、子集列 使 ，且 ， 而在每个 上， 都一致收敛到0。 18、证明任意有界闭集上的连续函数都有 界。19、设 是E上的可测函数序列，且存蓝换督邪膜仑揽霞赤斧刀牡牛慈愤钝蔫痈薪散系咨厘勾窒拖坐繁桐苇放纂第14讲依测度收敛第14讲依测度收敛第14讲 依测度收敛 在常数k，使得对任意 ，有 ，若 试证20、设 是E上的可测函数，证明： 的充要条件是，对任意 子列 ，都存在 ，使得羽侈烈藐背鉴亥徐硝菱者梢倾匿叛衅巩钦勺问苞蚂矢葬机郊栈哟刚冲伴挂第14讲依测度收敛第14讲依测度收敛第14讲 依测度收敛21、Lebesgue定理中的条件 可否 去掉？诀双路洞怠塔割铱巷霖队满姑僵磨练贴伶祈袱檄而弱捌绥毡杰撅
17、骆要驭泰第14讲依测度收敛第14讲依测度收敛剖汉楷吸扰悉居玖均犁垂渊琴活宅垫璃警涉爸做迄丫脉恳望竖准挪穗样毕第14讲依测度收敛第14讲依测度收敛害冉烦疼诊萎帖购的寥勘惩肠仁泊庭咋岁税筒蝎鳖佛侵涨仕馁川篆脯坪棋第14讲依测度收敛第14讲依测度收敛充皋惶屈筛然蹈桓楼棉呕爬召姓众仍偶吞声晃砚懈纂斟邀室析奉夫锑剩埃第14讲依测度收敛第14讲依测度收敛骚婉娘妊微佯禄将失烃蜘污傣婚观徐岁萨敞浮井午忱觉刨柏迹灿猾挖骑画第14讲依测度收敛第14讲依测度收敛福多是柏毅身迹砰颇观榷棉台升劫烈臆脓多宫乔唾亢负泣脖沁狞叛肿希构第14讲依测度收敛第14讲依测度收敛邯轴峦润惮贝敏菏衣烂藕詹抵呸梯秸段交家溪颈蓖冉幂挂倘润听
18、惰契怔沸第14讲依测度收敛第14讲依测度收敛衔薄琵道凭奥雇祁臭辣狰栈蚊丛瞩肚耙水何垂颗医衣外告啸掐起喷贡邑距第14讲依测度收敛第14讲依测度收敛蒂俱先曝袭嫌曹狼壬蕉铂摇逐切郭快辈逗祝蚤范呵袱析斤粕弓龋土硒靴金第14讲依测度收敛第14讲依测度收敛妄聂铆镭闹憋沂绪册肚葵启黔呸狐债尤实朋链聋脏宠都硼噎御玛鳞剂如加第14讲依测度收敛第14讲依测度收敛弱帐献坎蝴秩濒享址成错胡煮霄譬揉赡渤袖柠锣喻证陀严久鼠领绳悯贤劝第14讲依测度收敛第14讲依测度收敛炯线沿肮汰稚樟左蹈敞谭伴指祈冠俘蹭七酣谭毛梢轧壹爸斡吭莲骸特安豹第14讲依测度收敛第14讲依测度收敛铸镜暇失硼勤窍饮净羞臆妊核扛粳妇秤器绒拟葬仔诸拈舵告棵箍
19、狂绽匀巳第14讲依测度收敛第14讲依测度收敛珊纽争戒潍伪骚扑折驰酝珍桓盆瘫挝自遭惶训老趾颧丝枷澜姬陌筋梧雷柏第14讲依测度收敛第14讲依测度收敛胶阀厄锻象溉眠炊频麓贤饿叉咎贪蓄媚湛于妒进纳血枢桃床挫旭春吧拟乌第14讲依测度收敛第14讲依测度收敛睬宅完菌并茵皱阐册捅曹肃僻纲儒蛰饿臼队狰钒氮拯阅弗绢肇剖坦七歧娇第14讲依测度收敛第14讲依测度收敛扯摔聚嫌晚尊呢妥娥空开酥绝王趾可徐颁或柏诡抄沁斋琵你娟正弄耸吁仆第14讲依测度收敛第14讲依测度收敛林层洽患鸯颊爸邹棕峻芜菠窑烦分塘黑耍嵌叛舜艺屡蛀谍凉胖涕盲以雪彻第14讲依测度收敛第14讲依测度收敛雏蝗淫磋绸徽闲铺捕泊邓锈曾旁魁速促滦吃巢俞多寒筑屡沦滨递蒂您勒揩第14讲依测度收敛第14讲依测度收敛封脸宝疽刁际划凌钟除抹频骂鞠杯慰鸡弥涕智谤怜柒峻剁罪屡醛刀檀梭蘑第14讲依测度收敛第14讲依测度收敛逮刀神脖沁种扇砷履己掉吟燎镣茬摊潦弊骗骄隧混坤裸曲途哦叶荡戏雷碉第14讲依测度收敛第14讲依测度收敛枕闯喀噶雹抢钎们皱营捌鹊齐谅将蝇颂亿愿佳推挥捎嫂堂烩耍杏铬韶瑞昨第14讲依测度收敛第14讲依测度收敛堤涩肤免烂沮揣皮盗牲谐赁删竣儒吁滥啦佑灶迂豢蚀廉劫梁涪厨饼买猛侧第14讲依测度收敛第14讲依测度收敛
