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1、人教人教A A版版 数学数学 必修第一册必修第一册基础落实必备知识一遍过重难探究能力素养速提升目录索引学以致用随堂检测促达标现实中存在很多周期变化的现象,这些现象的背后与三角函数密不可分.本单元重点研究与“周而复始”现象相关的函数三角函数.学习中,我们一方面要拓展角度的范围,使之成为任意角;另一方面,我们要引入弧度制,为三角函数的学习做好铺垫.本单元的研究路径为:任意角任意角的分类弧度制的定义角度制与弧度制的换算.这是学习本单元的知识明线,具体内容结构如图所示:学习单元学习单元1任意角和弧度任意角和弧度制制 本学习单元的最终目标是掌握任意角和弧度制,理解任意角的定义、分类;理解弧度制的定义,同
2、时理解为何将角度制化为弧度制,具体的换算规则是什么.培养数学抽象、数学运算等核心素养.学习目标1.了解任意角的概念,能区分各类角的概念.(数学抽象)2.掌握象限角的概念,并会用集合表示象限角.(直观想象)3.理解终边相同的角的含义及表示,并能解决有关问题.(数学运算)基础落实必备知识一遍过知识点一:任意角1.角的概念:平面内的绕着它的端点所成的图形.2.角的分类按旋转方向可将角分为三类:类型 定义图示正角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角负角 一条射线绕其端点按方向旋转形成的角零角 一条射线没有做,就称它形成了一个零角一条射线旋转顺时针任何旋转3.相等角与角的加减(1)相等角:设角由射
3、线OA绕端点O旋转而成,角由射线OA绕端点O旋转而成.如果它们的旋转方向相同且旋转量相等,那么就称=.(2)相反角:把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角的相反角记为-.(3)设,是任意两个角.我们规定,把角的终边旋转角,这时终边所对应的角是+.名师点睛角的概念推广后,角的大小可以任意取值.把角放在直角坐标系中进行研究,对于一个给定的角,都有唯一的一条终边与之对应,并使得角具有代数和几何双重意义.微思考始边与终边重合的角一定是零角吗?提示不一定.只有始边没做任何旋转,始边与终边重合的角才是零角.知识点二:象限角与终边相同的角1.象限角在直角坐标系中,使角的顶点与
4、原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.那么,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上,那么就认为这个角不属于任何一个象限.2.终边相同的角所有与角终边相同的角,连同角在内,可构成一个集合S=|=+k360,kZ,即任一与角终边相同的角,都可以表示成角与360整数倍的和.名师点睛对于集合S=|=+k360,kZ的理解应注意三点:(1)是任意角.(2)“kZ”有三层含义:特殊性:每取一个整数值就对应一个具体的角.一般性:表示所有与角终边相同的角(包括自身).从几何意义上看,k表示角的终边按一定的方向旋转的圈数,k取正整数时,逆时针方向旋转;k取负整数时,顺时针方向旋转;
5、k=0时,没有旋转.(3)集合中“k360”与“”之间用“+”连接,如k360-30应看成k360+(-30),表示与-30角终边相同的角.微思考若角的始边相同,相等的角终边相同吗?反过来,终边相同的角相等吗?提示相等的角终边一定相同.但终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无数个,它们相差360的整数倍.重难探究能力素养速提升问题问题1现实世界中存在大量的周期变化现象现实世界中存在大量的周期变化现象,圆周运动是一种最简单、最圆周运动是一种最简单、最直观描述周期性变化的载体直观描述周期性变化的载体,如何刻画圆周上一点位置的变化如何刻画圆周上一点位置的变化?问题问题2可以发现可以发现,借助角的大
6、小变化容易刻画圆周上点的位置变化借助角的大小变化容易刻画圆周上点的位置变化,但在点但在点的运动过程中的运动过程中,初中所学角的范围已不能满足要求初中所学角的范围已不能满足要求,如何解决如何解决?探究点一探究点一 任意角的概念任意角的概念问题问题3如何用量化的方式刻画任意角如何用量化的方式刻画任意角?【例1】(多选题)下列说法不正确的是()A.三角形的内角不一定是第一、二象限角B.始边相同,终边相同的角不一定相等C.钝角比第三象限角小D.小于180的角是钝角、直角或锐角CD解析A中90的角既不是第一象限角,也不是第二象限角,故A正确;B中始边相同,终边相同的角不一定相等,如360和720,故B正
7、确;C中钝角是大于-100的角,而-100的角是第三象限角,故C不正确;D中零角或负角是小于180的角,但它既不是钝角,也不是直角或锐角,故D不正确.规律方法规律方法理解与角的概念有关问题的关键正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念,弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.另外需要掌握判断结论正确与否的技巧,判断结论正确需要证明,而判断结论不正确只需举一个反例即可.探究点二探究点二 坐标系中角的概念及其表示坐标系中角的概念及其表示问题问题4角的范围推广到了任意角角的范围推广到了任意角,对于终边相同的角如何用代数方式表示对于终边相同的角如何用代数方式表示?1.终边相同的角的求解【例2】写
8、出与75角终边相同的角的集合,并求在3601080范围内与75角终边相同的角.分析根据与角终边相同的角的集合为S=|=k360+,kZ,写出与75角终边相同的角的集合,再取适当的k值,求出3601080范围内的角.解与75角终边相同的角的集合为S=|=k360+75,kZ.当3601080时,即360k360+751080,又kZ,所以k=1或k=2.当k=1时,=435;当k=2时,=795.综上所述,在3601080范围内且与75角终边相同的角为435角和795角.规律方法规律方法求与已知角终边相同的角时,要先将这样的角表示成k360+(kZ)的形式,然后采用赋值法求解或解不等式,确定k的
9、值,求出满足条件的角.问题问题5如果拓展到终边在某条直线上的角如何代数表示如果拓展到终边在某条直线上的角如何代数表示?2.终边在某条直线上的角的集合【例3】写出终边在如图所示的直线上的角的集合.(1)(2)(3)解(1)在0360范围内,终边在直线y=0上的角有两个,即0和180,又所有与0角终边相同的角的集合为S1=|=0+k360,kZ,所有与180角终边相同的角的集合为S2=|=180+k360,kZ,于是,终边在直线y=0上的角的集合为S=S1S2=|=k180,kZ.(2)由图形易知,在0360范围内,终边在直线y=-x上的角有两个,即135和315,因此,终边在直线y=-x上的角的
10、集合为S=|=135+k360,kZ|=315+k360,kZ=|=135+k180,kZ.(3)终边在直线y=x上的角的集合为|=45+k180,kZ,结合(2)知所求角的集合为S=|=45+k180,kZ|=135+k180,kZ=|=45+2k90,kZ|=45+(2k+1)90,kZ=|=45+k90,kZ.规律方法规律方法终边落在x轴的非负半轴上的角的集合为x|x=k360,kZ;终边落在x轴的非正半轴上的角的集合为x|x=k360+180,kZ;终边落在x轴上的角的集合为x|x=k180,kZ;终边落在y轴的非负半轴上的角的集合为x|x=k360+90,kZ;终边落在y轴的非正半轴
11、上的角的集合为x|x=k360-90,kZ;终边落在y轴上的角的集合为x|x=k180+90,kZ;终边落在坐标轴上的角的集合为x|x=k90,kZ.问题问题6若角的终边界于某个区域内若角的终边界于某个区域内,可否用不等式表示这个区域的角可否用不等式表示这个区域的角?3.区域角的求解【例4】如图所示,写出顶点在原点,始边为x轴的非负半轴,终边落在阴影部分内的角的集合(包括边界).分析(1)要注意角的起始边界与终止边界的书写;(2)注意角的终边规律性重复出现.(1)(2)解(1)对于阴影部分,终边落在阴影部分内角的集合为|-60+k36075+k360,kZ.(2)对于阴影部分,集合为|60+k
12、18090+k180,kZ.延伸探究1若将本例(1)改为如图所示的图形,那么阴影部分(包括边界)表示的终边相同的角的集合如何表示?解阴影部分(包括边界),则所有满足条件的角为|k360+150k360+225,kZ.延伸探究2若将本例(2)改为如图所示的图形,那么终边落在阴影部分的角的集合如何表示?解在0360范围内,终边落在阴影部分的角为|n180+60n180+105,nZ.故角的取值集合为|n180+60n180+105,nZ.规律方法规律方法区域角是指终边落在坐标系的某个区域内的角.其写法可分为三步:(1)借助图形,在直角坐标系中先按逆时针的方向找到区域的起始边界和终止边界;(2)按由
13、小到大的顺序分别标出起始边界和终止边界对应的-360360范围内的角和;(3)分别将起始边界、终止边界的对应角,加上360的整数倍,即可求得区域角.探究点三探究点三 确定确定n及及 所所在的象限在的象限 问题问题7若一个角在某个区域内若一个角在某个区域内,则与该角成倍数关系的角又在哪个区域则与该角成倍数关系的角又在哪个区域?【例5】已知是第二象限角:(1)求角所在的象限;(2)求角2所在的象限.解(1)(方法1)是第二象限角,k360+90k360+180(kZ).(方法2)如图,先将各象限分成2等份,再从x轴非负半轴起,按逆时针方向,依次将各区域标上一、二、三、四,则标有二的区域即为的终边所
14、在的区域,故为第一或第三象限角.(2)k360+90k360+180(kZ),k720+1802k720+360(kZ).角2的终边在第三或第四象限或在y轴的非正半轴上.规律方法规律方法n或所在象限的判断方法(1)用不等式表示出角n或的范围;(2)用旋转的观点确定角n或所在象限.探究点四探究点四 角的终边的对称问题角的终边的对称问题问题问题8若两个角的终边关于某些特殊直线对称若两个角的终边关于某些特殊直线对称,这两个角有怎样的代这两个角有怎样的代数数关关系系?【例6】(1)若角的终边与角的终边关于x轴对称,则+=.k360,kZ解析设角与角的终边相同,则-与的终边关于x轴对称,根据终边相同角的
15、表示可得=+k1360,k1Z,=-+k2360,k2Z,故+=(-+k2360)+(+k1360)=(k1+k2)360=k360,kZ.(2)若角的终边与角的终边关于y轴对称,则+=.(2k+1)180,kZ 解析设角与角的终边相同,则180-与关于y轴对称.根据终边相同角的表示,可得=+k3360,k3Z,=180-+k4360,k4Z.故+=(180-+k4360)+(+k3360)=2(k3+k4)+1180=(2k+1)180,kZ.规律方法规律方法角的终边是一条射线,在平面直角坐标系中,当两个角的终边具有对称性,对应的角就有一定的关系.一般地,我们有如下结论:角,终边的位置关系,
16、的关系角与的终边关于x轴对称=-+k360(kZ)角与的终边关于y轴对称=-+(2k+1)180(kZ)角与的终边关于原点对称=+(2k+1)180(kZ)角与的终边在一条直线上=+k180(kZ)学以致用随堂检测促达标123456789 10 11A级必备知识基础练1.下列叙述正确的是()A.四边形的内角必是第一或第二象限角B.始边相同而终边不同的角一定不相等C.第四象限角一定是负角D.钝角比第三象限角小B解析若90角是四边形的内角,它不是第一或第二象限角,故A错;280角是第四象限角,它是正角,故C错;-100角是第三象限角,它比钝角小,故D错.B正确.123456789 10 112.把-1485化成k360+(0360,kZ)的形式是()A.315-5360B.45-4360C.-315-4360D.-45-10180A解析0360,排除C,D选项,经计算可知选项A正确.123456789 10 113.-495角的终边与下列哪个角的终边相同()A.135 B.45 C.225D.-225C解析因为-495=-2360+225,所以与-495角终边相同的是225角.故选C.12
