《浙江省9+1高中联盟2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学 Word版含解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《浙江省9+1高中联盟2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学 Word版含解析（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、20232024学年第二学期浙江省9+1高中联盟高一年级期中考试数学试卷考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级姓名考场座位号及准考证号并核对条形码信息.3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷.4.学生和家长可关注“启望教育”公众号查询个人分析报告.一选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析】求出集合A、B，再求交集即可.【详解】，所以.故选：B.2. 设为虚数单位，复数z满足，则复数的虚部是
2、（ ）A. B. C. D. 3【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算法则，求得复数的代数形式，再利用虚部的定义可以求解.【详解】因为，所以，所以复数的虚部为.故选：B3. 在中，点是上靠近的三等分点，是上靠近的三等分点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据平面向量的线性运算结合平面向量基本定理即可得解.【详解】由点是上靠近三等分点，是上靠近的三等分点，得.故选：C.4. 在中，“”是“为等腰三角形”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据题意，结合小范围可以推出大范围，而大范围推不出
3、小范围，即可求解.【详解】为等腰三角形，即充分性成立为等腰三角形或或，不一定得到，即必要性不成立，“”是“为等腰三角形”的充分不必要条件，故选：A5. 唐代是我国古代金银器制造最为成熟与发达的时期.强盛的国力开放的心态丝绸之路的畅通，使得唐代对外交往空前频繁.走进陕西历史博物馆珍宝馆，你会看到“东学西渐”和“西风东来”，各类珍宝无不反映出唐人对自我文化的自信.素面高足银杯（如图1）就是其中一件珍藏.银杯主体可以近似看作半球与圆柱的组合体（假设内壁光滑，杯壁厚度可忽略），如图2所示.已知球的半径为，酒杯容积为，则其内壁表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设圆柱的高为，
4、内壁的表面积为，可得，可得，利用几何体的几何特征可求内壁表面积.【详解】设圆柱的高为，内壁的表面积为，由题意可知：，解得，内壁的表面积等于圆柱的侧面积，加半球的表面积，即.故选：D.6. 已知圆锥的母线长为4，过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为8，则该圆锥底面半径的取值集合为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】依据题意作出圆锥的轴截面，再分析其轴截面是否大于等于，结合三角函数即可得解.【详解】如图所示，为圆锥的轴截面，设圆锥的底面半径为，若，所得截面面积最大值为，不符合题意；若，此时所得截面面积的最大值，符合题意，此时有，所以，又，所以.故选：D.7. 在平面
5、四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，若，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】作出图形，连接，由向量的线性运算和数量积运算可得，从而根据向量的数量积以及模长运算公式求解即可.【详解】连接，如图，可知.所以，即，可得.从而，所以.故选：C8. 若，则实数的值为（ ）A. 3B. 2C. D. 1【答案】D【解析】【分析】由已知解得m，然后切化弦，再由辅助角公式、诱导公式、二倍角公式变形后可得【详解】由已知得，故选：D二多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9
6、. 若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】BC【解析】【分析】由已知可得，可判断A；利用基本不等式的性质计算可判断BCD.【详解】因为，所以，所以，所以，故A错误；所以，所以，所以，则，故B正确；因，所以，故C正确；因为，故D错误.故选：BC.10. 若是平面内两个不共线的向量，则下列选项中正确的是（ ）A. 平面内存在向量不能表示为“”的形式B. 对于平面内的任意向量，有且仅有一个实数对，使得使C. 若共线的非零向量满足，则存在实数，使得D. 若实数满足，则【答案】BCD【解析】【分析】由平面向量基本定理可判断AB；若非零向量共线，则，进而计算可判断C；若实数存在不为零的实数，假设，可
7、得，进而可得判断D.【详解】对于A：由平面向量基本定理，如果是平面内两个不共线的向量，那么这一平面内任一向量，有且只有一对实数，使得，可知平面内不存在向量不能表示为“”的形式，故A错误；对于B：由平面向量基本定理可知，平面内的基底确定，则该平面内的任一个向量在此基底下的实数对是唯一确定的，故B正确；对于C：若非零向量共线，所以存在唯一实数，使得，即存在，使得，根据向量相等的条件，可得，故C正确；对于D：若实数存在不为零的实数，假设，由，可得，可得，则可得与共线，与已知矛盾，故，同理可得，故D正确.故选：BCD.11. 如图，正三棱台的上下底面边长分别为3和6，侧棱长为3，则下列结论中正确的有（
8、 ）A. 过AC的平面截该三棱台所得截面三角形周长的最小值为B. 棱长为的正四面体可以在该棱台内随意转动C. 直径为的球可以整体放入该三棱台内（含与某面相切）D. 该三棱台可以整体放入直径为的球内【答案】ACD【解析】【分析】延长正三棱台侧棱相交于点，分析可知三棱锥为正四面体，根据正四面体的高以及棱台的性质分析求解判断A；转化为判断正四面体的外接球在正三棱台的内判断B；运用等体积法求内切球半径可判断C；根据三棱台的各点都在以底面外心为球心，底面圆半径为球的半径内部判断D.【详解】延长正三棱台侧棱相交于点，在中，因为，所以，同理，所以，可知三棱锥为正四面体.由正棱台的性质可知，过AC的平面截与平
9、面相交时，该三棱台所得截面为梯形，过AC的平面截与侧棱相交时，该三棱台所得截面为三角形，因为为的中点，所以为的高即到的最短距离，同理为到的最短距离，所以截面三角形周长的最小值为的周长,故A正确；由题意知，在等腰梯形中，过作，如图所示，则，又因为，所以，由题意知，、分别为、的中点，又，所以，又因为，即，所以，所以.设正三棱台的内切球球心为，则由等体积法可知，则，所以，解得，所以内切球的直径为，所以直径为的球可以整体放入该三棱台内（含与某面相切），故C正确；先证在正四面体中，棱长，则其外接球的半径为：取的中点，连接，设顶点在底面的射影为，则是底面的重心，连接，则外接球的球心在上，设为，连接，则，则
10、，所以，在直角中，即，所以.对于选项B，棱长为的正四面体的外接球半径为，其直径为，故棱长为的正四面体不可以在该棱台内随意转动，故B错误；对于选项D，因为的外接圆半径为，且，所以正三棱台可以放置在以为球心，半径为的球内，即该三棱台可以整体放入直径为的球内，正确【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间
11、问题平面化的目的；（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.三填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12. 已知向量与的夹角为，且，则在方向上的投影向量坐标为_【答案】【解析】【分析】根据投影向量的定义计算即可.【详解】由题意，所以在方向上的投影向量的坐标为.故答案为：.13. 如图，在正三棱柱中，分别为的中点，则多面体体积为_ 【答案】#【解析】【分析】由题意可知：为三棱台，利用割补法，结合柱体和台体体积公式运算求解.【详解】由题意可知：为三棱台，则，可得正三棱柱的体积，三棱台的体积，所以多面体体积为.故答案为：.14. 在锐角中，且的面积为3，过分
12、别作于，于，则_.【答案】【解析】【分析】由求出，求出，根据求出，再由可得答案.【详解】因为中为锐角三角形，所以分别在之间，因为，所以，因为，所以，所以，所以，所以.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是利用三角形面积公式，结合向量数量积运算，同角三角函数的基本关系式求解，考查整体与部分的思想.四解答题（本题共5题，共77分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）15. 已知向量.（1）求；（2）求与夹角的余弦值；（3）若与共线，求实数的值.【答案】（1） （2） （3）【解析】【分析】（1）先求出的坐标，可求的模；（2）利用向量的夹角公式可求得结果；（3）由已知可得，求解即可.【小问
13、1详解】由题意可得，所以，所以【小问2详解】由（1）得，设与所成夹角为，所以.【小问3详解】因为与共线，所以存在唯一实数，使得，易知不共线，所以，所以，故16. 已知函数.（1）当时，求关于的方程的解；（2）若关于的方程在上有两个不相等的解，求的取值范围.【答案】（1）或 （2）【解析】【分析】（1）将代入，解方程即可（2）构造函数，利用双勾函数的单调性可得判断的单调性并求出相应的值域，然后结合图形即可得出【小问1详解】时，令解得令解得：或【小问2详解】.显然当时，记，如图所示因为在上单调递增，值域为；根据对勾函数性质知在上单调递减，值域为；在上单调递增，值域为综上可知，的取值范围为17. 在
14、这三个条件中任选一个，补充在下面横线中，并加以解答.在锐角中，内角所对的边分别为，且满足_.（1）求角；（2）若，求面积的取值范围.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）若选：根据余弦定理，结合正弦定理进行求解即可；若选：根据正弦定理，利用三角恒等变换可求解；若选：利用正弦定理，结合诱导公式及二倍角的正弦可求解.（2）由，结合正弦定理可得，求得，可求面积的取值范围.【小问1详解】选择，由余弦定理，又，；选择，因为，所以，由正弦定理可得，则，又，所以，因为，所以；选择，由，由正弦定理可得，又，所以，则，则，则，则，故；【小问2详解】，由正弦定理，得，所以，因为为锐角三角形，所以，故，则，所以.18. 在中，为边上的中线，点在边上，设（1）当时，求的值；（2）若为的角平分线，且点也在边上，求的值；（3）在（2）的条件下，若，求为
